Math spé : Groupes
Groupes et sous-groupes
Enoncé
On définit, pour $(x,y)$ et $(x',y')$ dans $\mathbb R^*\times\mathbb R$,
$$(x,y)\star (x',y')=(xx',xy'+y).$$
- Démontrer que $(\mathbb R^*\times \mathbb R,\star)$ est un groupe. Est-il commutatif?
- Simplifier $(x,y)^n$ pour tout $(x,y)\in\mathbb R^*\times\mathbb R$ et tout $n\in\mathbb N^*$.
Enoncé
Soit $(G,\cdot)$ un groupe. Démontrer que les parties suivantes sont des sous-groupes de $G$ :
- $C(G)=\{x\in G;\ \forall y\in G, xy=yx\}$ ($C(G)$ s'appelle le centre de $G$);
- $aHa^{-1}=\{aha^{-1};\ h\in H\}$ où $a\in G$ et $H$ est un sous-groupe de $G$.
- On suppose de plus que $G$ est commutatif. On dit que $x$ est un élément de torsion de $G$ s'il existe $n\in\mathbb N^*$ tel que $x^n=e$. Démontrer que l'ensemble des éléments de torsion de $G$ est un sous-groupe de $G$.
Exercice 3 - Inversibles à coefficients dans $\mathbb Z$. [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On note $GL_n(\mathbb Z)$ l'ensemble des matrices de $\mathcal M_n(\mathbb R)$, à coefficients dans $\mathbb Z$, qui sont inversibles et dont l'inverse est à coefficients dans $\mathbb Z$.
- Démontrer que si $M$ est à coefficients dans $\mathbb Z$, alors $M\in GL_n(\mathbb Z)$ si et seulement si $\det(M)=\pm 1$.
- En déduire que $GL_n(\mathbb Z)$ est un sous-groupe de $GL_n(\mathbb R)$.
Exercice 4 - Sous-groupe engendré par le complémentaire d'un sous-groupe [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $H$ un sous-groupe strict d'un groupe $(G,\cdot)$. Déterminer le sous-groupe engendré par le complémentaire de $H$.
Enoncé
Soit $(G,\cdot)$ un groupe fini et $H$ un sous-groupe de $G$.
- Montrer que pour tout $a\in G$, $H$ et $aH=\{ah;\ h\in H\}$ ont le même nombre d'éléments.
- Soient $a,b\in G$. Démontrer que $aH=bH$ ou $aH\cap bH=\varnothing$.
- En déduire que le cardinal de $H$ divise le cardinal de $G$.
Enoncé
Soit $(G,\cdot)$ un groupe et $A$, $B$ deux sous-groupes de $G$.
On note $AB=\{ab;\ a\in A,\ b\in B\}$. Montrer que $AB$ est un sous-groupe de $G$ si
et seulement si $AB=BA$.
Morphismes de groupe
Exercice 7 - Exemples ou contre-exemples de morphismes de groupes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Les applications $\phi:G\to H$ définies ci-dessous sont-elles des morphismes de groupes?
- $G=(GL_n(\mathbb R),\times)$, $H=(\mathbb R,+)$, $\phi(A)=\textrm{tr}(A)$.
- $G=(M_n(\mathbb R),+)$, $H=(\mathbb R,+)$, $\phi(A)=\textrm{tr}(A)$.
- $G=(\mathbb R^*,\times)$, $H=(\mathbb R^*,\times)$, $\phi(x)=|x|$.
- $G=(\mathbb R^*,\times)$, $H=(\mathbb R^*,\times)$, $\phi(x)=2x$.
- $G=(\mathbb R,+)$, $H=(GL_2(\mathbb R),\times)$, $\phi(x)=\begin{pmatrix} 1&x\\0&1\end{pmatrix}$.
Enoncé
Soit $(G,\cdot)$ un groupe. Pour $a\in G$, on note $\tau_a:G\to G$ défini par $\tau_a(x)=axa^{-1}$.
- Démontrer que $\tau_a$ est un endomorphisme de $G$.
- Vérifier que, pour tous $a,b\in G$, $\tau_a\circ \tau_b=\tau_{ab}$.
- Montrer que $\tau_a$ est bijective et déterminer son inverse.
- En déduire que $\Theta=\{\tau_a;\ a\in G\}$ muni du produit de composition est un groupe.
Enoncé
Soit $f$ un morphisme non constant d'un groupe fini $(G,\cdot)$ dans $(\mathbb C^*,\cdot)$. Calculer
$\sum_{x\in G}f(x)$.
Exercice 10 - Morphismes de $\mathbb Z$ dans $\mathbb Z$ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Déterminer tous les morphismes de $(\mathbb Z,+)$ dans lui-même. Lesquels sont injectifs? surjectifs?
Exercice 11 - Morphismes que $(\mathbb Q,+)$ dans $(\mathbb Z,+)$ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Déterminer tous les morphismes de groupes de $(\mathbb Q,+)$ dans $(\mathbb Z,+)$.
Exercice 12 - Morphisme entre groupes de torsion et groupes sans torsion [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Dans un groupe $(G,\cdot)$, un élément $x$ est dit de torsion s'il existe $n\geq 1$ tel que $x^n=e$. On dit que $G$ est de torsion si tous ses éléments sont de torsion.
On dit que $G$ est sans torsion si son seul élément de torsion est l'élément neutre.
Soit $G_1$ un groupe de torsion et $G_2$ un groupe sans torsion. Déterminer tous les morphismes de groupe de $G_1$ dans $G_2$.
Exercice 13 - Morphismes de $\mathbb Z/n\mathbb Z$ dans $\mathbb Z/m\mathbb Z$ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
- Déterminer tous les morphismes de $\mathbb Z/3\mathbb Z$ dans $\mathbb Z/4\mathbb Z$.
- Déterminer tous les morphismes de $\mathbb Z/6\mathbb Z$ dans $\mathbb Z/8\mathbb Z$.
Ordre d'un élément, groupes cycliques
Enoncé
Quel est l'ordre de $\bar 9$ dans $(\mathbb Z/12\mathbb Z,+)$?
Enoncé
Soit $G$ un groupe et $x\in G$ d'ordre $n$. Quel est l'ordre de $x^2$?
Exercice 16 - Tous les éléments sont d'ordre deux [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $G$ un groupe dont tous les éléments (sauf l'élément neutre) sont d'ordre au plus deux. Démontrer que $G$ est abélien.
Exercice 17 - Un groupe infini dont tous les éléments sont d'ordre fini [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $G=[0,1[\cap \mathbb Q.$ On munit $G$ de la loi de composition interne suivante : pour $x,y\in G,$
$$x\star y=\left\{\begin{array}{ll}
x+y&\textrm{ si }x+y<1\\
x+y-1&\textrm{ si }x+y\geq 1.
\end{array}\right.$$
- Démontrer que $(G,\star)$ est un groupe commutatif.
- Démontrer que tous les éléments de $G$ sont d'ordre fini.
Exercice 18 - Groupe admettant un nombre fini de sous-groupes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $G$ un groupe admettant un nombre fini de sous-groupes.
- Démontrer que tout élément de $G$ est d'ordre fini.
- En déduire que $G$ est fini.
Enoncé
Soit $G$ un groupe d'ordre $4$. Démontrer que $G$ est isomorphe ou à $\mathbb Z/4\mathbb Z$, ou à $\mathbb Z/2\mathbb Z\times\mathbb Z/2\mathbb Z.$
Exercice 20 - Sous-groupes de $(\mathbb Z/20\mathbb Z)^*$ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $G=(\mathbb Z/20\mathbb Z)^*$ le groupe des éléments inversibles de $\mathbb Z/20\mathbb Z$.
- Donner la liste de tous les éléments de $G$.
- Pour tout $a\in G$, déterminer le sous groupe $<a>$ engendré par $a$.
- Déterminer un ensemble minimal de générateurs de $(G,\cdot)$.
- $ (G, \cdot)$ est-il un groupe cyclique ?
- Déterminer tous les sous-groupes de $G$ et, pour chaque sous-groupe, préciser un ensemble de générateurs.
- Parmi les sous-groupes de $(G,\cdot)$, lesquels sont isomorphes à un groupe additif $(\mathbb Z/m\mathbb Z,+)$?
Enoncé
Soit $G$ un groupe de cardinal $2n$.
- Démontrer que la relation $\mathcal R$ définie sur $G$ par $$x\mathcal R y\iff x=y\textrm{ ou }x=y^{-1}$$ est une relation d'équivalence sur $G$.
- En déduire que $G$ admet des éléments d'ordre deux.
Enoncé
Soit $G$ un groupe abélien, $x$ et $y$ deux éléments de $G$ d'ordres respectifs $p$ et $q$.
- On suppose que $p$ et $q$ sont premiers entre eux. Démontrer que $xy$ est d'ordre $pq$.
- Importance des hypothèses - 1 : Si $H=GL_2(\mathbb R)$, $A=\left(\begin{array}{cc}0&-1\\1&0\end{array}\right)$ et $B=\left(\begin{array}{cc}0&1\\-1&-1\end{array}\right)$, vérifier que $A$ et $B$ sont d'ordre fini, mais que $AB$ n'est pas d'ordre fini.
- Importance des hypothèses - 2 : Si $p$ et $q$ ne sont pas supposés premiers entre eux, démontrer que le produit $xy$ n'est pas nécessairement d'ordre $pq$, ou d'ordre $\textrm{ppcm}(p,q)$.
- Une application :
- Soit $d$ un diviseur de $p$. Démontrer qu'il existe un élément d'ordre $d$ dans $G$.
- En déduire que $G$ admet des éléments d'ordre $\textrm{ppcm}(p,q)$.
- On suppose de plus que $G$ est fini. Démontrer que $G$ admet un élément dont l'ordre est le ppcm de l'ordre des éléments de $G$.
Enoncé
Soient $G$ et $H$ deux groupes.
- Montrer que si $g$ est un élément d'ordre $p$ de $G$ et $h$ un élément d'ordre $q$ de $H$, alors $(g,h)$ est d'ordre $\textrm{ppcm}(p,q)$ dans $G\times H$.
- On suppose que $G$ et $H$ sont cycliques. Démontrer que $G\times H$ est cyclique si et seulement si les ordres de $G$ et $H$ sont premiers entre eux.
Enoncé
Soit $G$ un groupe cyclique et soit $H$ un sous-groupe de $G$. Démontrer que $H$ est cyclique.