Math spé : Exercices sur les familles sommables
Ensembles dénombrables
Enoncé
Les ensembles suivants sont-ils dénombrables?
- $\{2^n;\ n\geq 0\}$;
- $\mathbb N\times \mathbb R$;
- $\mathbb Q[\sqrt 2]=\{a+b\sqrt 2;\ a,b\in\mathbb Q\}$;
- l'ensemble des nombres premiers;
- l'ensemble des fonctions de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$.
Exercice 2 - Ensemble des fonctions de $\mathbb N$ dans $\mathbb N$. [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $(f_n)$ une suite d'applications de $\mathbb N$ dans $\mathbb N$. Soit $f:\mathbb N\to\mathbb N$ définie par : par tout $n\in\mathbb N$, $f(n)=f_n(n)+1$. Démontrer que pour tout entier $p$, on a $f_p\neq f$. En déduire que l'ensemble des applications de $\mathbb N$ dans $\mathbb N$ n'est pas dénombrable.
Enoncé
Une suite d'entiers $(n_k)$ est dite
- presque nulle s'il existe un entier $p\in\mathbb N$ tel que, pour tout $k\geq p$, $n_k=0$.
- stationnaire s'il existe un entier $p\in\mathbb N$ tel que, pour tout $k\geq p$, $n_k=n_p$.
Exercice 4 - Points de discontinuité d'une fonction monotone [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:[a,b]\to\mathbb R$ une fonction croissante. Pour $x\in ]a,b[$, on pose $\delta(x)=\lim_{y\to x^+}f(y)-\lim_{y\to x^-}f(y)$ (c'est le "saut" de $f$ en $x$).
- Pour $n\in\mathbb N^*$, démontrer que $E_n=\{x\in ]a,b[;\ \delta(x)>1/n\}$ est fini.
- En déduire que l'ensemble des points de discontinuité de $f$ est au plus dénombrable.
- Généraliser ce résultat au cas où $f$ est définie sur $\mathbb R$.
Enoncé
On dit qu'un réel $x$ est un nombre algébrique s'il existe $d\in\mathbb N^*$ et des entiers relatifs $a_0,\dots,a_d$ avec $a_d\neq 0$ tels que
$$a_d x^d+\dots+a_1x+a_0=0.$$
Le plus petit entier $d$ vérifiant cette propriété est alors le degré de $x$.
- Quels sont les nombres algébriques de degré $1$?
- Démontrer que l'ensemble des nombres algébriques de degré $d$ est au plus dénombrable.
- Démontrer que l'ensemble des nombres algébriques est dénombrable.
Exercice 6 - Ensemble des parties de $\mathbb N$. [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
- Démontrer que l'ensemble des parties finies de $\mathbb N$ est dénombrable.
- On suppose que l'ensemble des parties de $\mathbb N$ est dénombrable et on note $f:\mathbb N\to\mathcal P(\mathbb N)$ une bijection. En considérant $A=\{n\in\mathbb N;\ n\notin f(n)\}$, trouver une contradiction.
Enoncé
- Calculer $\sum_{n\geq 0}\frac 1{2^{n+1}}$.
- Soit $(u_n)$ une suite de $[0,1]$. Montrer que, pour tout $n\geq 1$, il existe un élément $x_n$ dans $[0,1]\backslash \bigcup_{k=0}^n \left[u_k-\frac1{2^{k+2}},u_k+\frac 1{2^{k+2}}\right]$.
- Pourquoi peut-on extraire de la suite $(x_n)$ une sous-suite convergente vers $\ell\in [0,1]$?
- Démontrer que $[0,1]$ n'est pas dénombrable.
Enoncé
Soit $(I_\alpha)_{\alpha\in A}$ une famille d'intervalles ouverts non-vides deux à deux disjoints. Démontrer que $A$ est nécessairement au plus dénombrable.
Familles sommables
Exercice 9 - Un exemple simple de famille sommable [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Démontrer que pour $|q|<1$, la famille $(q^{|n|})_{n\in\mathbb Z}$ est sommable, et déterminer sa somme.
Exercice 10 - Exemples de familles non sommables [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Démontrer que les familles suivantes ne sont pas sommables :
- $\left(\frac{1}{x^2}\right)_{x\in \mathbb Q\cap [1,+\infty[}$;
- $(a_{n,p})_{(n,p)\in\mathbb N^2}$, $a_{n,p}=\frac{1}{n^2-p^2}$ si $n\neq p$ et $a_{n,n}=0$.
Enoncé
On pose, pour $(m,n)\in\mathbb N^*\times \mathbb N^*$, $a_{m,n}=\frac{1}{(m+n)^\alpha}$ où $\alpha\in\mathbb R$ est un paramètre donné. Étudier la sommabilité de la famille $(a_{m,n})_{(m,n)\in \mathbb N^*\times\mathbb N^*}$.
Exercice 12 - Sommabilité par permutation des sommes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $(a_p)_{p\geq 1}$ une suite de nombres complexes telle que la série $\sum_p a_p$ est absolument convergente. On pose $I=\mathbb N^*\times \mathbb N^*$ et pour $(n,p)\in I$, on pose
$u_{n,p}=\frac{p}{n(n+1)}a_p$ si $p\leq n$, $u_{n,p}=0$ sinon. Démontrer que la famille $(u_{n,p})_{(n,p)\in I}$ est sommable et calculer sa somme.
Enoncé
Démontrer l'existence et calculer $\sum_{(p,q)\in\mathbb N\times\mathbb N^*}\frac{1}{(p+q^2)(p+q^2+1)}$.
Enoncé
Calculer $\sum_{n=0}^{+\infty}\sum_{k=n}^{+\infty}\frac{1}{k!}.$
Exercice 15 - Série des restes de la série de Riemann [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
- Déterminer, pour $\alpha>1$, un équivalent de $R_n=\sum_{k=n+1}^{+\infty}\frac 1{k^\alpha}$.
- En déduire les valeurs de $\alpha\in\mathbb R$ pour lesquelles $\sum_{n=0}^{+\infty}\sum_{k=n+1}^{+\infty}\frac 1{k^\alpha}$ converge.
- Retrouver ce résultat d'une autre façon, en démontrant de plus que pour ces valeurs de $\alpha$, $$\sum_{n=0}^{+\infty}\sum_{k=n+1}^{+\infty}\frac 1{k^\alpha}=\sum_{p\geq 1}\frac 1{p^{\alpha-1}}.$$
Enoncé
Soit $x\in ]-1,1[$.
- Démontrer que la famille $(x^{kl})_{(k,l)\in(\mathbb N^*)^2}$ est sommable.
- En déduire que $$\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{x^k}{1-x^k}=\sum_{n=1}^{+\infty}d(n)x^n$$ où $d(n)$ est le nombre de diviseurs positifs de $n$.
Enoncé
On note $\ell^1(\mathbb Z)$ l'ensemble des familles de nombres complexes $u=(u_n)_{n\in\mathbb Z}$ qui sont sommables. On définit sur $\ell^1(\mathbb Z)$ une norme en posant $\|u\|$ la somme de la famille $(|u_n|)_{n\in\mathbb Z}$.
- Soit $u,v\in\ell^1(\mathbb Z)$. Démontrer que, pour tout $n\in\mathbb Z$, la famille $(u_kv_{n-k})_{k\in\mathbb Z}$ est sommable.
- Pour $u,v\in\ell^1(\mathbb Z)$, on définit la famille $u\star v$ par $(u\star v)_n=\sum_{k\in\mathbb Z}u_k v_{n-k}$ où $n\in\mathbb Z$. Démontrer que $u\star v\in\ell^1(\mathbb Z)$, puis majorer $\|u\star v\|$ à l'aide de $\|u\|$ et de $\|v\|$.
- Démontrer que la loi $\star$ agissant sur $\ell^1(\mathbb Z)$ est une loi associative, commutative, et possédant un élément neutre.
- On définit $u\in\ell^1(\mathbb Z)$ par $u_0=1$, $u_1=-1$ et $u_n=0$ sinon. Démontrer que $u$ n'est pas inversible dans $\ell^1(\mathbb Z)$ pour $\star$.
Produit de Cauchy
Exercice 18 - Somme d'une série et produit de Cauchy [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $(a,b)\in\mathbb C^2$ tels que $|a|<1$ et $|b|<1$. Prouver que
$$\left\{
\begin{array}{rcll}
\displaystyle \frac{1}{(1-a)(1-b)}&=&\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{a^{n+1}-b^{n+1}}{a-b}&\textrm{ si }a\neq b,
\\
\displaystyle\frac{1}{(1-a)^2}&=&\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}{(n+1)a^n}&\textrm{ si }a=b.
\end{array}\right.$$
Exercice 19 - Somme d'une série par produit de Cauchy [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Pour $n\geq 0$, on pose $w_n=2^{-n}\sum_{k=0}^n \frac{4^k}{k!}$.
- Montrer que la série de terme général $w_n$ converge.
- Calculer sa somme en utilisant le produit d'une série géométrique par une autre série classique.