$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Math spé : Exercices sur les espaces probabilisés

Tribus
Enoncé
Soit $\Omega=\mathbb Z$. On considère $\mathcal T$ la tribu engendrée par les ensembles $S_n=\{n,n+1,n+2\}$ avec $n\in\mathbb Z.$ Quels sont les éléments de la tribu $\mathcal T$?
Indication
Corrigé
Exercice 2 - Tribu image réciproque [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ et $F$ deux ensembles, $\mathcal T$ une tribu sur $F$ et $\phi:E\to F$ une application. Montrer que $\mathcal T'=\{\phi^{-1}(A);\ A\in\mathcal T\}$ est une tribu sur $E$.
Indication
Corrigé
Exercice 3 - Tribu engendrée par une partition [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $X$ un ensemble non-vide et $A_1,\dots,A_n$ une partition de $X$. On note $$\mathcal T=\left\{\bigcup_{i\in J}A_i;\ J\subset\{1,\dots,n\}\right\}.$$ Démontrer que $\mathcal T$ est la tribu engendrée par $A_1,\dots,A_n$.
Indication
Corrigé
Exercice 4 - Tribu engendrée par une partition [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un ensemble infini et $(A_n)_{n\in\mathbb N}$ une partition de $E$. Pour toute partie $J$ de $\mathbb N$, on pose $B_J=\bigcup_{j\in J}A_j$.
  1. Démontrer que $\mathcal T=\{B_J;\ J\in\mathcal P(\mathbb N)\}$ est une tribu sur $E$ et que c'est la plus petite tribu contenant tous les $A_n$.
  2. Trouver une partition $(A_n)_{n\in\mathbb N}$ de $\mathbb N$ de sorte que, pour tout $n\in\mathbb N$, $A_n$ n'est pas fini.
  3. Trouver une tribu incluse dans $\mathcal P(\mathbb N)$, de cardinal infini, dont tous les éléments, sauf l'ensemble vide, sont de cardinal infini.
Indication
Corrigé
Exercice 5 - Limites supérieures et inférieures d'ensembles [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $\Omega$ un ensemble et $(A_n)_{n\in\mathbb N}$ une suite de parties de $\Omega$. On appelle limite supérieure des $A_n$, et on note $\limsup_n A_n$ l'ensemble des éléments de $\Omega$ qui appartiennent à une infinité de $A_n$. On appelle limite inférieure des $A_n$, et on note $\liminf_n A_n$, l'ensemble des éléments de $\Omega$ qui appartiennent à tous les $A_n$, sauf un nombre fini d'entre eux.
  1. Déterminer les ensembles $\limsup_n A_n$ et $\liminf_n A_n$ dans les cas suivants :
    1. $A_n=]-\infty,n]$;
    2. $A_n=]-\infty,-n]$;
    3. $A_{2n}=A$, $A_{2n+1}=B$;
    4. $A_n=]-\infty,(-1)^n]$.
  2. Écrire les définitions de $\liminf_n A_n$ et $\limsup_n A_n$ avec les quantificateurs $\forall$ et $\exists$. Les traduire en termes ensemblistes à l'aide de $\bigcap$ et $\bigcup$.
Corrigé
Calculs sur les probabilités
Exercice 6 - Sur la probabilité de l'intersection [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $A$ et $B$ deux événements d'un espace probabilisé. Démontrer que $$\max\big(0,P(A)+P(B)-1\big)\leq P(A\cap B)\leq \min\big(P(A),P(B)\big).$$
Indication
Corrigé
Exercice 7 - Majorer la probabilité d'une réunion [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Spot $(\Omega,\mathcal A,P)$ un espace probabilisé, et $A_1,\dots,A_n$ des événements. Démontrer que $$P\left(\bigcup_{i=1}^n A_i\right)\leq \min_{1\leq k\leq n}\left(\sum_{i=1}^n P(A_i)-\sum_{\substack{1\leq i\leq n\\ i\neq k}}P(A_i\cap A_k)\right).$$
Indication
Corrigé
Exercice 8 - Inégalité de Bonferroni [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $(\Omega,\mathcal F,\mathbb P)$ un espace probabilisé, et $A_1,\dots,A_n$ des événements. Démontrer que $$\mathbb P(A_1\cap\dots\cap A_n)\geq \left(\sum_{i=1}^n \mathbb P(A_i)\right)-(n-1).$$
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $(\Omega,\mathcal T,P)$ un espace probabilisé.
  1. Soit $A_1,\dots,A_n\in\mathcal T.$ Calculer $$P(A_1\cup A_2)+P(\overline{A_1}\cup A_2)+P(A_1\cup \overline{A_2})+P(\overline{A_1}\cup\overline{A_2}).$$
  2. Soit $n\geq 2$ et $A_1,\dots,A_n\in\mathcal T.$ On pose $$\Gamma_n=\{A_1,\overline{A_1}\}\times\cdots\times \{A_n,\overline{A_n}\}.$$ Calculer $$\sum_{(B_1,\dots,B_n)\in\Gamma_n}P(B_1\cup\cdots\cup B_n).$$
Indication
Corrigé
Espaces probabilisés infinis dénombrables
Exercice 10 - Probabilité sur $\mathbb N$ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $a\in ]0,1[$.
  1. Démontrer qu'il existe une unique probabilité sur $\mathbb N$ telle que, pour tout $n\in\mathbb N,$ $P(\{n\})=(1-a)a^n.$
  2. On considère les deux événements $A=\{2k:\ k\in\mathbb N\}$ et $B=\{2k+1:\ k\in\mathbb N\}$. Calculer $P(A)$ et $P(B)$. Les événements $A$ et $B$ sont-ils incompatibles ? indépendants ?
Indication
Corrigé
Exercice 11 - Obtention d'au moins une boule rouge [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On considère une urne qui contient deux boules vertes, une boule rouge, et dans laquelle une effectue une infinité de tirages successifs avec remise. On définit $E$ l'événement : "On obtient au moins une boule rouge". On souhaite calculer $P(E)$ par trois méthodes différentes. Pour cela, on note pour tout $n\in\mathbb N^*$ les événements suivants :
  • $A_n$ : "on obtient la première boule rouge au $n$-ème tirage".
  • $B_n$ : "on obtient $n$ boules vertes au cours des $n$ premiers tirages".
  • $C_n$ : "on obtient au moins une boule rouge lors des $n$ premiers tirages".
  1. Calculer $P(A_n)$, $P(B_n)$ et $P(C_n)$.
  2. Exprimer $E$ à l'aide des événements $A_n,$ $n\in\mathbb N^*$, et en déduire $P(E)$.
  3. Exprimer $E$ à l'aide des événements $B_n,$ $n\in\mathbb N^*,$ et en déduire $P(E)$.
  4. Exprimer $E$ à l'aide des événements $C_n,$ $n\in\mathbb N^*,$ et en déduire $P(E)$.
  5. Que peut-on en déduire sur $E$?
Indication
Corrigé
Enoncé
Deux joueurs $J_1$ et $J_2$ jouent aux fléchettes. Ils tirent alternativement sur une cible jusqu'à ce que l'un deux deux touche la cible. Le joueur $J_1$ joue en premier. Il a une probabilité $p_1$ de toucher la cible. Le joueur $J_2$ a une probabilité $p_2$ de toucher la cible. On pourra remarquer que $J_1$ joue aux rangs impairs et $J_2$ joue aux rangs pairs. Pour $n\in\mathbb N^*,$ on note $A_{n}$ l'événement : "$J_1$ l'emporte au rang $2n+1$" et $B_{n}$ l'événement : "$J_2$ l'emporte au rang $2n+2$". On note aussi, pour $i\in\{1,2\},$ $G_i$ l'événement "$J_i$ l'emporte".
  1. Calculer $P(A_n)$ et $P(B_n)$.
  2. En déduire $P(G_1)$ et $P(G_2)$, puis la probabilité que le jeu dure indéfiniment.
  3. Montrer que le jeu est équitable si et seulement si $\displaystyle p_2=\frac{p_1}{1-p_1}$.
Indication
Corrigé
Enoncé
On lance un dé équilibré jusqu'à l'obtention d'un 6. Quelle est la probabilité que tous les nombres obtenus soient pairs?
Indication
Corrigé
Exercice 14 - Premier lemme de Borel-Cantelli [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $(\Omega,\mathcal F,\mathbb P)$ un espace probabilisé. Soit $(A_n)_{n\geq 0}$ une suite d'événements. On note $A=\limsup_n A_n=\bigcap_{n\geq 0}\bigcup_{k\geq n}A_k$. On suppose que $\sum_n \mathbb P(A_n)<+\infty$. Pour $n\geq 1$, on note $D_n=\bigcup_{k=n}^{+\infty}A_k$.
  1. Démontrer que $\lim_{n\to+\infty}\mathbb P(D_n)=0$;
  2. En déduire que $\mathbb P(A)=0$. Interpréter ce résultat.
Indication
Corrigé
Enoncé
On considère une suite infinie de lancers d'une pièce de monnaie, la probabilité d'obtenir pile (notée $P$) étant $p\in]0,1[$ et la probabilité d'obtenir face (notée $F$) étant $q=1-p.$
  1. Déterminer la probabilité de l'événement $A$ : "la première séquence $PP$ apparaît avant la première séquence $FP$".
  2. Pour tout $n\geq 2,$ calculer la probabilité de l'événement $B_n$ : "la séquence $PF$ apparaît pour la première fois aux lancers $n-1$ et $n$ et il n'y a pas eu de séquence $FP$ auparavant". En déduire la probabilité de l'événement $B$ : "la première séquence $PF$ apparaît avant la première séquence $FP$".
  3. Sur le même modèle, calculer la probabilité de l'événement $C$ : "la première séquence $PF$ apparaît avant la première séquence $FF$".
Indication
Corrigé
Enoncé
Des joueurs $A_1,A_2,\dots,A_n,\dots$ s'affrontent de la manière suivante : chaque manche oppose deux concurrents qui ont chacun la probabilité $\frac 12$ de gagner. La première manche oppose $A_1$ et $A_2$ et, à l'étape $n$, si elle a lieu, le gagnant de l'épreuve précédente affronte le joueur $A_{n+1}$. Le jeu s'arrête lorsque, pour la première fois, un joueur gagne deux manches consécutives.
  1. Quelle est la probabilité que l'étape $n$ ait lieu?
  2. En déduire que le jeu s'arrête presque sûrement.
  3. Quelle est la probabilité que le joueur $A_n$ gagne?
Indication
Corrigé
Exercice 17 - Deux piles consécutifs [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On joue à pile ou face avec une pièce non équilibrée. A chaque lancer, la probabilité d'obtenir pile est 2/3. Les lancers sont supposés indépendants. Pour $n\geq 1$, on note $A_n$ l'événement "après le $n$-ème lancer, on a obtenu pour la première fois deux piles consécutifs" et $p_n$ la probabilité $P(A_n)$.
  1. Déterminer la valeur de $p_1,$ $p_2$ et $p_3.$
  2. Montrer que l'on a, pour tout $n\geq 4,$ $p_n=\frac{2}{9}p_{n-2}+\frac{1}{3}p_{n-1}$.
  3. En déduire l'expression de $p_n$ pour tout $n\geq 1$.
  4. Calculer $\sum_{n=1}^{+\infty}p_n.$ Interpréter le résultat.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $N\geq 2$ et $p\in]0,1[$. On pose $q=1-p$. Un joueur qui dispose d'une somme de $k$ euros, avec $k\in [0,N]$, joue à un jeu de pile ou face avec les règles suivantes. Il lance successivement une pièce de monnaie. A chaque lancer, avec probabilité $p$, la pièce tombe sur pile et le joueur gagne 1 euro ; et avec probabilité $q$, la pièce tombe sur face et le joueur perd 1 euro. Le jeu s'arrête lorsque le joueur possède $N$ euros ou lorsqu'il est ruiné. On note $p_k$ la probabilité qu'a le joueur d'être ruiné s'il possède la somme de $k$ euros au départ.
  1. Déterminer $p_0,$ $p_N.$
  2. Démontrer que pour tout $k\in\{1,\dots,N-1\},$ on a $$p_k=pp_{k+1}+qp_{k-1}.$$
  3. En déduire la valeur de $p_k$ pour $k\in\{0,\dots,N\}.$
Indication
Corrigé
Exercice 19 - Tirer un nombre au hasard [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On tire au hasard un nombre entier strictement positif. On suppose que la probabilité d'obtenir $n$ vaut $1/2^n$. Pour $k\in\mathbb N^*$, on note $A_k$ l'événement "$n$ est un multiple de $k$".
  1. Vérifier que ceci définit une probabilité sur $\mathbb N^*$.
  2. Calculer la probabilité de $A_k$ pour $k\in\mathbb N^*$.
  3. Calculer la probabilité de $A_2\cup A_3$.
  4. Montrer que pour $p,q\geq 2$, alors $A_p$ et $A_q$ ne sont pas indépendants.
Indication
Corrigé
Exercice 20 - Tirage de boule avec remise double [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Une urne contient initialement une boule blanche et une boule noire. On effectue une série de tirages aléatoires d’une boule jusqu’à obtenir une boule noire. A chaque tirage amenant une boule blanche, on replace la boule blanche puis on multiplie par 2 le nombre de boules blanches présentes dans l’urne après la remise de la boule, puis on procède au tirage suivant. L’objectif de l’exercice est d’évaluer la probabilité de ne jamais obtenir de boule noire, et de déterminer en particulier si cette probabilité est nulle.
  1. Etude algorithmique : Dans cette question, on s'intéresse à l'événement suivant : $E="$les dix premiers tirages ont lieu et n'amènent pas de boule noire".
    1. Compléter la fonction Python suivante afin qu'elle simule la réalisation d'une telle expérience, et affiche $1$ si l'événement $E$ a eu lieu, et $0$ sinon.


      import random

      def experience():
          etape=....
          succes=...
          nbboulesblanches=1
          while ( (succes...) & (etape....)):
              if (random.random()....):
                  ....
              else:
                  ...
              etape=etape+1
          return succes

    2. Créer une autre fonction Python qui répète l'expérience $N$ fois et retourne la fréquence de réalisation de l'événement.
    3. L'exécution de cet algorithme pour $N=10000$ a donné une fréquence valant 0,2091. Donner un intervalle contenant $P(E)$ avec une probabilité supérieure ou égale à 0.95.
  2. Etude pour un nombre fini de tirages. Pour $n\geq 1$, on note $B_n$ l'événement : "Les $n$ premiers tirages ont lieu et n'amènent pas de boules noires". On note $u_n=P(B_n)$.
    1. Démontrer, sans chercher à calculer $u_n$, que la suite $(u_n)$ est convergente.
    2. Démontrer que $u_n=\prod_{k=0}^{n-1}\frac{2^k}{1+2^k}.$
  3. Etude à l'infini. On note $B_\infty$ l'événement : "l'expérience ne s'arrête jamais".
    1. Démontrer que $P(B_\infty)=\lim_{n\to+\infty}u_n$.
    2. Vérifier que $-\ln(u_n)=\sum_{k=0}^{n-1}\ln(1+2^{-k})$.
    3. Démontrer que la série $\sum_{k\geq 0}\ln(1+2^{-k})$ est convergente.
    4. En déduire que $P(B_\infty)>0$.
Corrigé
Probabilités conditionnelles et indépendance
Exercice 21 - Probabilité d'une réunion et indépendance [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $A_1, \dots,A_n$ $n$ événements d’un espace probabilisé $(\Omega,P)$. On les suppose mutuellement indépendants et de probabilités respectives $p_i = P(A_i)$. Donner une expression simple de $P(A_1\cup\dots\cup A_n)$ en fonction de $p_1,\dots,p_n$.
Application : on suppose qu'une personne est soumise à $n$ expériences indépendantes les unes des autres et qu'à chaque expérience, elle ait une probabilité $p$ d'avoir un accident. Quelle est la probabilité qu'elle ait au moins un accident?
Indication
Corrigé
Enoncé
Un livre contient 4 erreurs, numérotées de 1 à 4, et est relu par une suite de relecteurs pour correction. A chaque relecture, chaque erreur est corrigée avec une probabilité 1/3. Les erreurs sont corrigées de manière indépendante les unes des autres, et les relectures sont indépendantes les unes des autres.
  1. Quelle est la probabilité que l’erreur numéro 1 ne soit pas corrigée à l’issue de la $n$-ième lecture ?
  2. Quelle est la probabilité que le livre soit entièrement corrigé à l’issue de la $n$-ième lecture ? Combien faut-il de relectures pour que cette probabilité soit supérieure à 0.9 ?
Indication
Corrigé
Enoncé
Deux joueurs $A$ et $B$ s'affrontent autour d'un jeu. $A$ joue la première partie, $B$ joue la deuxième, $A$ joue la troisième, et ainsi de suite. Les deux joueurs jouent $2n$ parties, et le premier qui gagne une partie a gagné l'ensemble du jeu. On suppose que $A$ a une probabilité $a\in ]0,1[$ de gagner une partie donnée, $B$ une probabilité $b\in]0,1[$, et que les parties sont indépendantes les unes des autres.
  1. Quelle est la probabilité que ni $A$ ni $B$ ne gagne?
  2. Quelle est la probabilité que $A$ gagne? que $B$ gagne?
  3. A quelle condition le jeu est-il équilibré?
Indication
Corrigé
Exercice 24 - Indépendance et réunion [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $(A_n)$ une suite d'événements mutuellement indépendants.
  1. Montrer que $P\displaystyle \left(\bigcup_{n\in \mathbb N}A_n\right)=1-\lim_{n\to+\infty}\prod_{k=0}^n P(\overline{A_k}).$
  2. Soit $(u_k)$ une suite de réels de $]0,1[$. Démontrer que les assertions suivantes sont équivalentes :
    • (a) $\prod_{k=0}^n u_k\to 0$ quand $n\to+\infty$
    • (b) $\sum \ln(u_k)$ diverge
    • (c) $\sum (1-u_k)$ diverge.
  3. On suppose que, pour tout $n\in\mathbb N,$ $P(A_n)\neq 1$. Démontrer que $\displaystyle P\left(\bigcup_{n\in \mathbb N}A_n\right)=1$ si et seulement si la série de terme général $P(A_n)$ diverge.
  4. On suppose que, pour tout $n\in\mathbb N,$ $\displaystyle P(A_n)=\frac{1}{(n+2)^2}.$ Calculer $\displaystyle P\left(\bigcup_{n\in\mathbb N}A_n\right).$
Indication
Corrigé
Exercice 25 - Indépendance d'événements et cardinal de l'univers [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $(\Omega,P)$ un univers fini. On suppose qu'il existe $n$ événements $A_1,\dots,A_n$ mutuellement indépendants et pour lesquels $P(A_k)\in ]0,1[$ pour tout $k=1,\dots,n$.
  1. Soit $B_1,\dots,B_n\in\mathcal P(\Omega)$ avec pour tout $k=1,\dots,n$, $B_k=A_k$ ou $B_k=\overline{A_k}$. Démontrer que $B_1\cap\cdots\cap B_n\neq \varnothing$.
  2. Soit $B_1,\dots,B_n,B'_1,\dots,B'_n\in\mathcal P(\Omega)$ avec pour tout $k=1,\dots,n$, $B_k,B'_k\in\{A_k,\overline{A_k}\}$. On suppose que $(B_1,\dots,B_n)\neq (B'_1,\dots,B'_n)$. Démontrer que $B_1\cap\cdots B_n$ et $B'_1\cap\dots\cap B'_n$ sont disjoints.
  3. En déduire que $\textrm{card}(\Omega)\geq 2^n$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $n>1$ un entier fixé. On choisit de manière équiprobable un entier $x$ dans $\{1,\dots,n\}$. Pour tout entier $m\leq n$, on note $A_m$ l'événement "$m$ divise $x$". On note également $B$ l'événement "$x$ est premier avec $n$". Enfin, on note $p_1,\dots,p_r$ les diviseurs premiers de $n$.
  1. Exprimer $B$ en fonction des $A_{p_k}$.
  2. Pour tout entier naturel $m$ qui divise $n$, calculer la probabilité de $A_m$.
  3. Montrer que les événements $A_{p_1},\dots,A_{p_r}$ sont mutuellement indépendants.
  4. En déduire la probabilité de $B$.
  5. Application : on note $\phi(n)$ le nombre d'entiers compris entre $1$ et $n$ qui sont premiers avec $n$. Démontrer que $$\phi(n)=n\prod_{k=1}^r \left(1-\frac{1}{p_k}\right).$$
Indication
Corrigé
Exercice 27 - Probabilité conditionnelle égale à probabilité [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $(\Omega,\mathcal A,\mathbb P)$ un espace probabilisé et $A$ un événement de probabilité non nulle. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que $\mathbb P_A=\mathbb P$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Une information de type vrai/faux est transmise à l'intérieur d'une population. Avec une probabilité $p$, l'information reçue d'une personne est transmise telle quelle à la personne suivante. Avec une probabilité $1−p$, l'information reçue d'une personne est transmise de façon contraire à la personne suivante. On note $p_n$ la probabilité que l'information après $n$ transmissions soit correcte.
  1. Donner une relation de récurrence entre $p_{n+1}$ et $p_n$.
  2. En déduire la valeur de $p_n$ en fonction de $p$ et de $n$.
  3. En déduire la valeur de $\lim_n p_n$. Qu'en pensez-vous?
Indication
Corrigé
Exercice 29 - Marche aléatoire sur un triangle [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
  1. Question préliminaire : Soit $M$ la matrice $$M=\left( \begin{array}{ccc} \frac 13&0&\frac 1{12}\\ \frac 13&1&\frac 7{12}\\ \frac 13&0&\frac 13 \end{array} \right).$$ Démontrer que $M$ est diagonalisable, et trouver $P$ inversible et $D$ diagonale telles que $M=PDP^{-1}$.
  2. On considère une particule se déplaçant à chaque seconde sur l'un des trois sommets $A$, $B$ et $C$ d'un triangle suivant le procédé suivant :
    • si la particule se trouve en $B$, elle y reste;
    • si la particule se trouve en $A$, elle se rend la seconde suivante sur l'un des trois sommets de façon équiprobable;
    • si la particule se trouve en $C$, à la seconde suivante, elle y reste une fois sur trois, sinon elle va en $B$ sept fois plus souvent qu'en $A$.
    A la première seconde, la particule se pose de façon équiprobable sur un des trois sommets. Pour tout $n\geq 1$, on note $A_n$ (resp. $B_n$, $C_n$) l'événement "à la $n$-ième seconde, la particule se trouve en $A$" (resp. $B$ et $C$), et on note $a_n$, $b_n$ et $c_n$ les probabilités respectives de $A_n$, $B_n$ et $C_n$.
    Que valent $a_1$, $b_1$ et $c_1$?
  3. Donner une relation de récurrence entre $a_{n+1}$, $b_{n+1}$, $c_{n+1}$ et $a_n$, $b_n$ et $c_n$.
  4. On note, pour $n\geq 1$, $X_n$ le vecteur $X_n=\left(\begin{array}{c}a_n\\b_n\\c_n\end{array}\right)$. Vérifier que $X_{n+1}=MX_n$.
  5. En déduire la valeur de $a_n$, $b_n$ et $c_n$.
  6. Étudier la convergence des suites $(a_n)$, $(b_n)$ et $(c_n)$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Une compagnie d'assurance répartit ses clients en trois classes $R_1$, $R_2$ et $R_3$ : les bons risques, les risques moyens, et les mauvais risques. Les effectifs de ces trois classes représentent $20\%$ de la population totale pour la classe $R_1$, $50\%$ pour la classe $R_2$, et $30\%$ pour la classe $R_3$. Les statistiques indiquent que les probabilités d'avoir un accident au cours de l'année pour une personne de l'une de ces trois classes sont respectivement de 0.05, 0.15 et 0.30.
  1. Quelle est la probabilité qu'une personne choisie au hasard dans la population ait un accident dans l'année?
  2. Si M.Martin n'a pas eu d'accident cette année, quelle est la probabilité qu'il soit un bon risque?
Indication
Corrigé
Enoncé
Une forêt se compose de trois types d'arbres : 30% sont des chênes, 50% des peupliers, et 20% des hêtres. Suite à une tempête, une maladie se déclare et touche 10% des chênes, 4% des peupliers, et 25% des hêtres. Sachant qu'un arbre est malade, quelle est la probabilité que ce soit un chêne? un peuplier? un hêtre?
Indication
Corrigé
Enoncé
Vous êtes directeur de cabinet du ministre de la santé. Une maladie est présente dans la population, dans la proportion d'une personne malade sur $10000$. Un responsable d'un grand laboratoire pharmaceutique vient vous vanter son nouveau test de dépistage : si une personne est malade, le test est positif à $99\%$. Si une personne n'est pas malade, le test est positif à $0,\!1\%$. Autorisez-vous la commercialisation de ce test?
Indication
Corrigé
Enoncé
Vous jouez à pile ou face avec un autre joueur. Il parie sur pile, lance la pièce, et obtient pile. Quelle est la probabilité pour qu'il soit un tricheur?
Indication
Corrigé
Enoncé
Un joueur décide de jouer aux machines à sous. Il va jouer sur deux machines ${\mathcal A}$ et ${\mathcal B}$ qui sont réglées de la facon suivante :
  • la probabilité de gagner sur la machine ${\mathcal A}$ est de $\frac15$ ;
  • la probabilité de gagner sur la machine ${\mathcal B}$ est de $\frac1{10}$.
Comme le joueur soupçonne les machines d'avoir des réglages différents, mais ne sait pas laquelle est la plus favorable, il décide d'adopter la stratégie suivante :
  • il commence par choisir une machine au hasard ;
  • après chaque partie, il change de machine s'il vient de perdre, il rejoue sur la même machine s'il vient de gagner.
On définit pour tout $k\ge 1$ les événements suivants :
  • $G_k$ : "Le joueur gagne la $k$-ième partie".
  • $A_k$ : "La $k$-ième partie se déroule sur la machine ${\mathcal A}$".
  1. Écrire une fonction Python $\verb+jouer(n)+$ qui simule le déroulement de $n$ parties et retourne la proportion de parties gagnées parmi ces $n$ parties.
  2. Determiner la probabilité de gagner la première partie.
  3. Déterminer la probabilité de gagner la deuxième partie.
  4. Sachant que la deuxième partie a été gagnée, quelle est la probabilité que la première partie ait eu lieu sur la machine ${\mathcal A}$?
  5. Soit $k\ge 1$.
    1. Exprimer $P(G_k)$ en fonction de $P(A_k)$.
    2. Montrer que $P(A_{k+1})=-\frac7{10}P(A_k)+\frac9{10}$.
    3. En déduire $P(A_k)$ puis $P(G_k)$ en fonction de $k$.
    4. Pour $n\ge 1$, on pose $S_n=\sum_{k=1}^nP(G_k)$. Calculer $S_n$ puis déterminer la limite de $\frac{S_n}n$ quand $n\to+\infty$.
Indication
Corrigé