$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Math spé : Exercices de compléments d'algèbre linéaire

Sommes directes de plusieurs sous-espaces
Exercice 1 - Par deux, mais par trois? [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E=\mathbb R^4$. On considère $(u_1,u_2,u_3,u_4)$ une famille libre de $E$ et on pose $$F=\textrm{vect}(u_1+u_2,u_3),\ G=\textrm{vect}(u_1+u_3,u_4),\ H=\textrm{vect}(u_1+u_4,u_2).$$ Démontrer que $F\cap G=\{0\}$, que $F\cap H=\{0\}$ et que $G\cap H=\{0\}$. La somme $F+G+H$ est-elle directe?
Indication
Corrigé
Exercice 2 - Somme directe ou non de trois sous-espaces [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On considère le $\mathbb R$-espace vectoriel $\mathbb R^4$ muni de sa base canonique $(e_1,e_2,e_3,e_4)$. Soit $$E=\{(x,y,z,t)\in\mathbb R^4:\ 2x+y+z-t=0\textrm{ et }x+y+z=0\}$$ et $F=\textrm{vect}(v)$ où $v=e_1+e_3$.
  1. On pose $G_1=\textrm{vect}(w_1)$ où $w_1=e_1+e_2$. La somme directe $E+F+G_1$ est-elle directe? Préciser la dimension de $E+F+G_1$.
  2. On pose $G_2=\textrm{vect}(w_2)$ où $w_2=e_1+e_2+e_3$. La somme directe $E+F+G_2$ est-elle directe? Préciser la dimension de $E+F+G_2$.
Indication
Corrigé
Exercice 3 - Caractérisation de la somme directe de 3 sous-espaces vectoriels [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $E$ un espace vectoriel et $F,G,H$ trois sous-espaces vectoriels de $E$. Démontrer que $F$, $G$ et $H$ sont en somme directe si et seulement si ($F\cap G=\{0\}$ et $(F+G)\cap H=\{0\}$).
Corrigé
Applications linéaires définies sur une somme directe
Exercice 4 - Factorisation et inclusion de noyaux [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Dans cet exercice, on admet que dans tout espace vectoriel, un sous-espace admet un supplémentaire.
Soient $E,F$ deux espaces vectoriels et $u,v\in\mathcal L(E,F)$. Montrer que $$\ker(u)\subset\ker(v)\iff \exists f\in\mathcal L(F)\textrm{ tel que }v=f\circ u.$$
Indication
Corrigé
Exercice 5 - Factorisation et inclusion des images [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Dans cet exercice, on suppose connue la propriété suivante : si $E_1$ est un espace vectoriel et $F_1$ est un sous-espace vectoriel de $E_1$, alors il possède un supplémentaire. Soient alors $E,F,G$ trois espaces vectoriels, $u\in\mathcal L(F,G)$ et $v\in\mathcal L(E,G)$. Démontrer que les propriétés suivantes sont équivalentes :
  1. $\textrm{Im}(v)\subset\textrm{Im}(u)$;
  2. Il existe $w\in\mathcal L(E,F)$ tel que $v=u\circ w$.
Indication
Corrigé
Matrices par blocs
Exercice 6 - Matrice triangulaire par blocs inversible [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $A\in GL_n(\mathbb K)$, $B\in GL_m(\mathbb K)$, $C\in\mathcal M_{n,m}(\mathbb K)$ et $T$ la matrice triangulaire par blocs donnée par $$T=\begin{pmatrix}A&C\\0&B\end{pmatrix}.$$ Justifier que $T$ est inversible et donner son inverse.
Corrigé
Exercice 7 - Trace du produit tensoriel de deux matrices [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Pour $A\in\mathcal M_n(\mathbb R)$ et $B\in\mathcal M_p(\mathbb R)$, on définit le produit tensoriel de $A$ et $B$ par $$A\otimes B=\left(\begin{array}{ccc} a_{1,1}B&\dots&a_{1,n}B\\ \vdots&&\vdots\\ a_{n,1}B&\dots&a_{n,n}B \end{array}\right).$$ Quelle est la taille de la matrice $A\otimes B$? Démontrer que $\textrm{tr}(A\otimes B)=\textrm{tr}(A)\textrm{tr}(B)$.
Corrigé
Exercice 8 - Déterminant d'une matrice par blocs et complément de Schur [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $M=\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}$ où $A\in GL_p(\mathbb R)$ et $D\in\mathcal M_q(\mathbb R).$
  1. Déterminer une matrice triangulaire supérieure par blocs $N$ telle que $$MN=\begin{pmatrix} A&0\\ C&S \end{pmatrix}$$ où $S=D-CA^{-1}B$.
  2. En déduire que $$\det(M)=\det(A)\det(D-CA^{-1}B).$$
Indication
Corrigé
Exercice 9 - Rang d'une matrice triangulaire par blocs [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $A\in GL_p(\mathbb R)$, $B\in\mathcal M_{q,p}(\mathbb R)$, $C\in\mathcal M_{q}(\mathbb R)$ et $M\in\mathcal M_{p+q}(\mathbb R)$ la matrice définie par blocs $$M=\begin{pmatrix} A&0\\ B&C \end{pmatrix}.$$ Démontrer que $\textrm{rg}(M)=\textrm{rg}(A)+\textrm{rg}(C)$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $B$ la matrice diagonale par blocs $$B=\left( \begin{array}{cccc} A_1&0&\dots&0\\ 0&A_2&\ddots&\vdots\\ \vdots&\dots&\ddots&\vdots\\ 0&\dots&0&A_n \end{array} \right).$$ Calculer le rang de $B$ en fonction du rang des $A_i$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $A\in\mathcal M_n(\mathbb K)$ une matrice de rang $r$.
  1. Démontrer que $A$ est semblable à une matrice par blocs $\begin{pmatrix}B&0\\C&0\end{pmatrix}$ avec $B\in\mathcal M_r(\mathbb K)$ et $C\in\mathcal M_{n-r,r}(\mathbb K)$.
  2. On suppose de plus que $\textrm{Im}(A)$ et $\ker(A)$ sont supplémentaires. Démontrer que l'on peut demander $C=0$. Que dire de $B$?
Corrigé
Compléments d'algèbre linéaire