Résumé de cours : topologie des espaces vectoriels normés
$(E,\|\cdot\|)$ désigne un espace vectoriel normé sur le corps $\mathbb K=\mathbb R$ ou $\mathbb C$.
Soit $x$ un point de $E$ et $V$ une partie de $E$. On dit que $V$ est un voisinage de $x$ s'il existe $r>0$ tel que $B(x,r)\subset V$.
On dit qu'une partie $U$ de $E$ est un ouvert si elle est voisinage de tous ses points. Autrement dit, $U$ est ouvert lorsque, pour tout $x\in U$, il existe $r>0$ tel que $B(x,r)\subset U$.
Exemples : Toute boule ouverte de $E$ est un ouvert de $E$. Les intervalles de $\mathbb R$ qui sont des parties ouvertes sont les intervalles ouverts, c'est-à-dire ceux de la forme $]a,b[$ avec $-\infty\leq a\leq b\leq+\infty.$
- $E$ et $\varnothing$ sont des ouverts.
- une réunion quelconque d'ouverts est un ouvert.
- une intersection finie d'ouverts est un ouvert.
L'intersection d'un nombre infini d'ouverts
n'est pas forcément un ouvert. Par exemple,
$$\bigcap_{n>0}\left]\frac{-1}n,\frac 1n\right[=\{0\}.$$
On dit qu'une partie $F$ de $E$ est un fermé de $E$ si son complémentaire est un ouvert de $E.$
Exemples : Toute boule fermée de $E$ est un fermé de $E$. Toute sphère de $E$ est un fermé de $E.$ Toute partie finie de $E$ est fermée. Les intervalles de $\mathbb R$ qui sont des parties fermées sont les intervalles fermés, c'est-à-dire ceux de la forme $[a,b]$, avec $a\leq b,$ $[a,+\infty[$ et $]-\infty,a].$
- $E$ et $\varnothing$ sont des fermés.
- une réunion finie de fermés est un fermé.
- une intersection quelconque de fermés est un fermé.
La réunion d'un nombre infini de fermés
n'est pas forcément un fermé. Par exemple,
$$\bigcup_{n>0}\left[\frac{1}n,1\right]=]0,1].$$
La notion d'être une partie ouverte (ou fermée) dépend de la norme choisie sur $E$. Cependant, deux normes équivalentes ont les mêmes ouverts :
- Si $U_1$ est un ouvert de $E_1$ et $U_2$ est un ouvert de $E_2,$ alors $U_1\times U_2$ est un ouvert de $E.$
- Si $F_1$ est un fermée de $E_1$ et $F_2$ est un fermé de $E_2,$ alors $F_1\times F_2$ est un fermé de $E.$
Un ouvert de $E_1\times E_2$ n'est pas forcément
le produit cartésien d'un ouvert de $E_1$ et d'un ouvert de $E_2$. Par exemple, $\{(x,y)\in\mathbb R^2:\ x^2+y^2\leq 1\}$
est un ouvert de $(\mathbb R^2,\|\cdot\|_\infty)$ qui ne s'écrit pas $U_1\times U_2$, avec $U_1,U_2$ des ouverts de $\mathbb R.$
Soit $A$ une partie de $E$. On dit que $x\in E$ est un point intérieur de $A$ s'il existe $r>0$ tel que $B(x,r)\subset A$. On appelle intérieur de $A$ et on note $\mathring A$ l'ensemble des points intérieurs de $A$. L'ensemble $\mathring A$ est un ouvert : c'est le plus grand ouvert contenu dans $A$.
Soit $A$ une partie de $E$. On dit que $x\in E$ un un point adhérent à $A$ si, pour tout $r>0$, on a $B(x,r)\cap A\neq\varnothing$. On appelle adhérence de $A$ et on note $\bar A$ l'ensemble des points adhérents à $A$. L'ensemble $\bar A$ est un fermé : c'est le plus petit fermé contenant $A$.
On appelle également frontière de $A$, et on note $\textrm{Fr}(A)$, l'ensemble $\bar A\backslash \mathring A$. Un élément $x\in E$ appartient donc à la frontière de $A$ si et seulement si, pour tout $r>0,$ la boule $B(x,r)$ rencontre $A$ et son complémentaire $E\backslash A.$
Exemples :
- l'adhérence de la boule ouverte $B(a,r)$ est la boule fermée $\bar B(a,r).$
- l'intérieure de la boule fermée $\bar B(a,r)$ est la boule ouverte $B(a,r).$
- la frontière de la boule ouverte $B(a,r)$ est la sphère $S(a,r).$
- $x\in\bar A$ si et seulement s'il existe une suite $(u_n)$ d'éléments de $A$ qui converge vers $x$.
- $A$ est fermé si et seulement si, pour toute suite $(u_n)$ d'éléments de $A$ qui converge vers $\ell\in E$, alors $\ell\in A$.
Une partie $A$ de $E$ est dense dans $E$ si son adhérence est égale à $E$. Autrement dit, $A$ est dense dans $E$ si et seulement tout $x\in E$ est limite d'une suite $(x_n)$ d'éléments de $A$.
Exemples :
- $\mathbb Q$ est dense dans $\mathbb R.$
- Pour tout $n\geq 1,$ $GL_n(\mathbb R)$ est dense dans $(\mathcal M_n(\mathbb R),\|\cdot\|_\infty)$.
Soit $A$ une partie de $E$. On appelle ouvert relatif de A l'intersection d'un ouvert de $E$ avec $A$. De même, on appelle fermé relatif de A l'intersection d'un fermé de $E$ avec $A$. Un fermé relatif de $A$ est aussi le complémentaire dans $A$ d'un ouvert relatif de $A$.
$(E,\|\cdot\|)$ et $(F,\|\cdot\|)$ désignent deux espaces vectoriels normés, $A$ est une partie de $E$ et $f:A\to F$ est une fonction.
Soit $a\in\bar A$. On dit que $f$ admet une limite en $a$ s'il existe $\ell\in F$ tel que, pour tout $\veps>0$, il existe $\delta>0$ tel que, pour tout $x\in B(a,\delta)\cap A$, on a $\|f(x)-\ell\|<\veps$. Si $f$ admet une limite en $a$, cette limite est nécessairement unique.
Si $F=\mathbb R$, on dit que $f$ admet $+\infty$ comme limite en $a\in\bar A$ si, pour tout $M>0$, il existe $\delta>0$ tel que, pour tout $x\in B(a,\delta)$, on a $f(x)\geq M$.
Si $E=\mathbb R$ et $A$ est une partie non majorée de $\mathbb R$, on dit que $f$ admet pour limite $\ell\in F$ en $+\infty$ si, pour tout $\veps>0$, il existe $M>0$ tel que, pour tout $x\in A$ avec $x\geq M$, on a $\|f(x)-\ell\|\leq \veps$.
Si $A$ est une partie non bornée de $E$, on dit que $f$ admet pour limite $\ell\in F$ lorsque $\|x\|$ tend vers $+\infty$ si, pour tout $\veps>0$, il existe $M>0$ tel que, pour tout $x\in A$ avec $\|x\|\geq M$, on a $\|f(x)-\ell\|\leq \veps$.
$(E,\|\cdot\|)$, $(F,\|\cdot\|)$ et $(G,\|\cdot\|)$ désignent des espaces vectoriels normés, $A$ est une partie de $E$, $B$ est une partie de $F$, et $f:A\to F$, $g:B\to G$, $h:A\to F$ et $u:A\to \mathbb K$ sont des fonctions. Soit $a\in \bar A$.
- Si $f$ et $h$ admettent pour limites respectives $\ell_1$ et $\ell_2$ en $a$, alors pour tout $\lambda\in\mathbb K,$ $f+\lambda h$ admet pour limite $\ell_1+\lambda\ell_2$ en $a$.
- Si $f$ admet pour limite $\ell$ en $a$ et si $u$ admet pour limite $\alpha$ en $a$, alors $uf$ admet pour limite $\alpha\ell$ en $a$.
- $b$ est élément de l'adhérence de $B$.
- si $g$ admet comme limite $\ell$ en $b$, alors $g\circ f$ admet comme limite $\ell$ en $a$.
$(E,\|\cdot\|)$ et $(F,\|\cdot\|)$ désignent deux espaces vectoriels normés. $A$ est une partie de $E$.
On dit que $f:A\to F$ est continue en $a\in A$ si $f$ admet une limite en $a$ (nécessairement égale à $f(a)$). On dit que $f$ est continue sur $A$ si elle est continue en chaque point de $A$.
La somme, la composée de deux applications continues est une application continue. De même, si $f:A\to F$ est continue et $u:A\to\mathbb K$ est continue, alors $u\times f$ est continue.
$(E,\|\cdot\|)$ et $(F,\|\cdot\|)$ désignent deux espaces vectoriels normés, $A$ est une partie de $E$ et $f:A\to F$ est une fonction.
On dit que $f$ est uniformément continue sur $A$ si, pour tout $\veps>0$, il existe $\delta>0$ tel que $$\forall x,y\in A,\ \|x-y\|<\delta\implies \|f(x)-f(y)\|<\veps.$$
On dit que $f$ est lipschitzienne de rapport $k\in\mathbb R$ si $$\forall x,y\in A,\ \|f(x)-f(y)\|\leq k\|x-y\|.$$ On dit aussi que $f$ est $k$-lipschtzienne.
Toute application lipschitzienne est uniformément continue. Toute application uniformément continue est continue. Les réciproques sont fausses.
On note $\mathcal L_c(E,F)$ l'ensemble des applications linéaires continues de $E$ dans $F$.
Si $u:(E,\|\cdot\|_E)\to (F,\|\cdot\|_F)$ est une application linéaire continue, on appelle norme de $u$ et on note $\|u\|_{\textrm{op}}$ le réel \begin{eqnarray*} \|u\|_{\textrm{op}}&=&\sup\{\|u(x)\|_F:\ \|x\|_E\leq 1\}\\ &=&\sup\left\{\frac{\|u(x)\|_F}{\|x\|_E}:\ x\neq 0\right\}. \end{eqnarray*}
De la même façon, on peut caractériser la continuité des applications multilinéaires. Par exemple pour les applications bilinéaires, on a le résultat suivant :