$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Résumé de cours : topologie des espaces vectoriels normés

$(E,\|\cdot\|)$ désigne un espace vectoriel normé sur le corps $\mathbb K=\mathbb R$ ou $\mathbb C$.

Ouverts, fermés, parties denses

Soit $x$ un point de $E$ et $V$ une partie de $E$. On dit que $V$ est un voisinage de $x$ s'il existe $r>0$ tel que $B(x,r)\subset V$.

On dit qu'une partie $U$ de $E$ est un ouvert si elle est voisinage de tous ses points. Autrement dit, $U$ est ouvert lorsque, pour tout $x\in U$, il existe $r>0$ tel que $B(x,r)\subset U$.

Exemples : Toute boule ouverte de $E$ est un ouvert de $E$. Les intervalles de $\mathbb R$ qui sont des parties ouvertes sont les intervalles ouverts, c'est-à-dire ceux de la forme $]a,b[$ avec $-\infty\leq a\leq b\leq+\infty.$

Proposition :
  • $E$ et $\varnothing$ sont des ouverts.
  • une réunion quelconque d'ouverts est un ouvert.
  • une intersection finie d'ouverts est un ouvert.

L'intersection d'un nombre infini d'ouverts n'est pas forcément un ouvert. Par exemple, $$\bigcap_{n>0}\left]\frac{-1}n,\frac 1n\right[=\{0\}.$$

On dit qu'une partie $F$ de $E$ est un fermé de $E$ si son complémentaire est un ouvert de $E.$

Exemples : Toute boule fermée de $E$ est un fermé de $E$. Toute sphère de $E$ est un fermé de $E.$ Toute partie finie de $E$ est fermée. Les intervalles de $\mathbb R$ qui sont des parties fermées sont les intervalles fermés, c'est-à-dire ceux de la forme $[a,b]$, avec $a\leq b,$ $[a,+\infty[$ et $]-\infty,a].$

Proposition :
  • $E$ et $\varnothing$ sont des fermés.
  • une réunion finie de fermés est un fermé.
  • une intersection quelconque de fermés est un fermé.

La réunion d'un nombre infini de fermés n'est pas forcément un fermé. Par exemple, $$\bigcup_{n>0}\left[\frac{1}n,1\right]=]0,1].$$

La notion d'être une partie ouverte (ou fermée) dépend de la norme choisie sur $E$. Cependant, deux normes équivalentes ont les mêmes ouverts :

Théorème : Soit $N_1$ et $N_2$ deux normes sur $E$. Alors $N_1$ et $N_2$ sont équivalentes si et seulement si les parties ouvertes de $(E,N_1)$ sont les parties ouvertes de $(E,N_2).$
Théorème : Soit $E_1$ et $E_2$ deux espaces vectoriels normés et $E=E_1\times E_2$ que l'on munit d'une norme produit.
  • Si $U_1$ est un ouvert de $E_1$ et $U_2$ est un ouvert de $E_2,$ alors $U_1\times U_2$ est un ouvert de $E.$
  • Si $F_1$ est un fermée de $E_1$ et $F_2$ est un fermé de $E_2,$ alors $F_1\times F_2$ est un fermé de $E.$

Un ouvert de $E_1\times E_2$ n'est pas forcément le produit cartésien d'un ouvert de $E_1$ et d'un ouvert de $E_2$. Par exemple, $\{(x,y)\in\mathbb R^2:\ x^2+y^2\leq 1\}$ est un ouvert de $(\mathbb R^2,\|\cdot\|_\infty)$ qui ne s'écrit pas $U_1\times U_2$, avec $U_1,U_2$ des ouverts de $\mathbb R.$

Soit $A$ une partie de $E$. On dit que $x\in E$ est un point intérieur de $A$ s'il existe $r>0$ tel que $B(x,r)\subset A$. On appelle intérieur de $A$ et on note $\mathring A$ l'ensemble des points intérieurs de $A$. L'ensemble $\mathring A$ est un ouvert : c'est le plus grand ouvert contenu dans $A$.

Soit $A$ une partie de $E$. On dit que $x\in E$ un un point adhérent à $A$ si, pour tout $r>0$, on a $B(x,r)\cap A\neq\varnothing$. On appelle adhérence de $A$ et on note $\bar A$ l'ensemble des points adhérents à $A$. L'ensemble $\bar A$ est un fermé : c'est le plus petit fermé contenant $A$.

On appelle également frontière de $A$, et on note $\textrm{Fr}(A)$, l'ensemble $\bar A\backslash \mathring A$. Un élément $x\in E$ appartient donc à la frontière de $A$ si et seulement si, pour tout $r>0,$ la boule $B(x,r)$ rencontre $A$ et son complémentaire $E\backslash A.$

Exemples :

  • l'adhérence de la boule ouverte $B(a,r)$ est la boule fermée $\bar B(a,r).$
  • l'intérieure de la boule fermée $\bar B(a,r)$ est la boule ouverte $B(a,r).$
  • la frontière de la boule ouverte $B(a,r)$ est la sphère $S(a,r).$
Théorème (caractérisation séquentielle) : Soit $A$ une partie de $E$ et $x\in E$.
  • $x\in\bar A$ si et seulement s'il existe une suite $(u_n)$ d'éléments de $A$ qui converge vers $x$.
  • $A$ est fermé si et seulement si, pour toute suite $(u_n)$ d'éléments de $A$ qui converge vers $\ell\in E$, alors $\ell\in A$.

Une partie $A$ de $E$ est dense dans $E$ si son adhérence est égale à $E$. Autrement dit, $A$ est dense dans $E$ si et seulement tout $x\in E$ est limite d'une suite $(x_n)$ d'éléments de $A$.

Exemples :

  • $\mathbb Q$ est dense dans $\mathbb R.$
  • Pour tout $n\geq 1,$ $GL_n(\mathbb R)$ est dense dans $(\mathcal M_n(\mathbb R),\|\cdot\|_\infty)$.

Soit $A$ une partie de $E$. On appelle ouvert relatif de A l'intersection d'un ouvert de $E$ avec $A$. De même, on appelle fermé relatif de A l'intersection d'un fermé de $E$ avec $A$. Un fermé relatif de $A$ est aussi le complémentaire dans $A$ d'un ouvert relatif de $A$.

Proposition : Soit $A$ une partie de $E$ et $F$ une partie de $A$. Alors $F$ est un fermé relatif de $A$ si, pour toute suite $(x_n)$ d'éléments de $F$ qui converge vers un élément $\ell$ de $A$, alors $\ell\in F$.
Limites

$(E,\|\cdot\|)$ et $(F,\|\cdot\|)$ désignent deux espaces vectoriels normés, $A$ est une partie de $E$ et $f:A\to F$ est une fonction.

Soit $a\in\bar A$. On dit que $f$ admet une limite en $a$ s'il existe $\ell\in F$ tel que, pour tout $\veps>0$, il existe $\delta>0$ tel que, pour tout $x\in B(a,\delta)\cap A$, on a $\|f(x)-\ell\|<\veps$. Si $f$ admet une limite en $a$, cette limite est nécessairement unique.

Proposition : $f$ admet pour limite $\ell$ en $a\in\bar A$ si et seulement si pour toute suite $(x_n)$ de $A$ qui converge vers $a$, alors $\big(f(x_n)\big)$ converge vers $\ell$.

Si $F=\mathbb R$, on dit que $f$ admet $+\infty$ comme limite en $a\in\bar A$ si, pour tout $M>0$, il existe $\delta>0$ tel que, pour tout $x\in B(a,\delta)$, on a $f(x)\geq M$.

Si $E=\mathbb R$ et $A$ est une partie non majorée de $\mathbb R$, on dit que $f$ admet pour limite $\ell\in F$ en $+\infty$ si, pour tout $\veps>0$, il existe $M>0$ tel que, pour tout $x\in A$ avec $x\geq M$, on a $\|f(x)-\ell\|\leq \veps$.

Si $A$ est une partie non bornée de $E$, on dit que $f$ admet pour limite $\ell\in F$ lorsque $\|x\|$ tend vers $+\infty$ si, pour tout $\veps>0$, il existe $M>0$ tel que, pour tout $x\in A$ avec $\|x\|\geq M$, on a $\|f(x)-\ell\|\leq \veps$.

Proposition : Soit $F=F_1\times\dots\times F_p$ un espace vectoriel normé produit et $f=(f_1,\dots,f_p)$ une application de $A$ dans $F$. L'application $f$ admet au point $a$ la limite $\ell=(\ell_1,\dots,\ell_p)$ si et seulement si, pour tout $i=1,\dots,p$, l'application $f_i$ admet au point $a$ la limite $\ell_i$.
Opérations sur les limites

$(E,\|\cdot\|)$, $(F,\|\cdot\|)$ et $(G,\|\cdot\|)$ désignent des espaces vectoriels normés, $A$ est une partie de $E$, $B$ est une partie de $F$, et $f:A\to F$, $g:B\to G$, $h:A\to F$ et $u:A\to \mathbb K$ sont des fonctions. Soit $a\in \bar A$.

Proposition :
  • Si $f$ et $h$ admettent pour limites respectives $\ell_1$ et $\ell_2$ en $a$, alors pour tout $\lambda\in\mathbb K,$ $f+\lambda h$ admet pour limite $\ell_1+\lambda\ell_2$ en $a$.
  • Si $f$ admet pour limite $\ell$ en $a$ et si $u$ admet pour limite $\alpha$ en $a$, alors $uf$ admet pour limite $\alpha\ell$ en $a$.
Théorème : On suppose que $f(A)\subset B$ et que $f$ admet comme limite $b$ en $a$. Alors
  • $b$ est élément de l'adhérence de $B$.
  • si $g$ admet comme limite $\ell$ en $b$, alors $g\circ f$ admet comme limite $\ell$ en $a$.
Continuité

$(E,\|\cdot\|)$ et $(F,\|\cdot\|)$ désignent deux espaces vectoriels normés. $A$ est une partie de $E$.

On dit que $f:A\to F$ est continue en $a\in A$ si $f$ admet une limite en $a$ (nécessairement égale à $f(a)$). On dit que $f$ est continue sur $A$ si elle est continue en chaque point de $A$.

Théorème : $f:A\to F$ est continue en $a\in A$ si et seulement si, pour toute suite $(x_n)$ de $A$ qui tend vers $a$, alors $\big(f(x_n)\big)$ tend vers $f(a)$.
Corollaire : Deux applications continues $f,g:A\to F$ qui coïncident sur une partie dense de $A$ sont égales.

La somme, la composée de deux applications continues est une application continue. De même, si $f:A\to F$ est continue et $u:A\to\mathbb K$ est continue, alors $u\times f$ est continue.

Théorème : L'image réciproque d'un ouvert par une application continue est un ouvert. L'image réciproque d'un fermé par une application continue est un fermé.
Continuité uniforme, applications lipschitiziennes

$(E,\|\cdot\|)$ et $(F,\|\cdot\|)$ désignent deux espaces vectoriels normés, $A$ est une partie de $E$ et $f:A\to F$ est une fonction.

On dit que $f$ est uniformément continue sur $A$ si, pour tout $\veps>0$, il existe $\delta>0$ tel que $$\forall x,y\in A,\ \|x-y\|<\delta\implies \|f(x)-f(y)\|<\veps.$$

On dit que $f$ est lipschitzienne de rapport $k\in\mathbb R$ si $$\forall x,y\in A,\ \|f(x)-f(y)\|\leq k\|x-y\|.$$ On dit aussi que $f$ est $k$-lipschtzienne.

Toute application lipschitzienne est uniformément continue. Toute application uniformément continue est continue. Les réciproques sont fausses.

Exemple : Soit $A$ une partie non vide de $E$. Pour $x\in E,$ on appelle distance de $x$ à $A,$ et on note $d(x,A),$ le réel $$d(x,A)=\inf\{\|x-a\|:\ a\in A\}.$$ Alors $x\mapsto d(x,A)$ est une application $1$-lipschitizienne.
Applications linéaires continues
Théorème : Soient $(E,\|\cdot\|_E)$, $(F,\|\cdot\|_F)$ deux espaces vectoriels normés, et soit $u\in\mathcal L(E,F)$ une application linéaire. Alors $u$ est continue si et seulement s'il existe $C>0$ tel que, pour tout $x\in E$, $$\|u(x)\|_F\leq C\|x\|_E.$$

On note $\mathcal L_c(E,F)$ l'ensemble des applications linéaires continues de $E$ dans $F$.

Si $u:(E,\|\cdot\|_E)\to (F,\|\cdot\|_F)$ est une application linéaire continue, on appelle norme de $u$ et on note $\|u\|_{\textrm{op}}$ le réel \begin{eqnarray*} \|u\|_{\textrm{op}}&=&\sup\{\|u(x)\|_F:\ \|x\|_E\leq 1\}\\ &=&\sup\left\{\frac{\|u(x)\|_F}{\|x\|_E}:\ x\neq 0\right\}. \end{eqnarray*}

Théorème : L'application $\|\cdot\|_{\textrm{op}}$ est une norme sur $\mathcal L_c(E,F)$. On l'appelle norme subordonnée aux normes $\|\cdot\|_E$ et $\|\cdot\|_F.$
Proposition : Soit $u\in\mathcal L_c(E,F)$ et $v\in\mathcal L_c(F,G)$. Alors $$\|v\circ u\|_{\textrm{op}}\leq \|v\|_{\textrm{op}}\cdot \|u\|_{\textrm{op}}.$$

De la même façon, on peut caractériser la continuité des applications multilinéaires. Par exemple pour les applications bilinéaires, on a le résultat suivant :

Théorème : Soient $(E,\|\cdot\|_E)$, $(F,\|\cdot\|_F)$ et $(G,\|\cdot\|_G)$ trois espaces vectoriels normés, et soit $B:E\times F\to G$ bilinéaire. Alors $B$ est continue si et seulement s'il existe $C>0$ tel que, pour tout $(x,y)\in E\times F,$ $$\|B(x,y)\|_G\leq C\|x\|_E\|y\|_F.$$
Topologie des espaces vectoriels normés