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Résumé de cours : Suites et séries de fonction

Convergence simple, convergence uniforme

Soit $A$ une partie de $\mathbb R$; soit $(f_n)$ une suite de fonctions de $A$ dans $\mathbb R$ et $f:A\to \mathbb R$.

On dit que $(f_n)$ converge simplement vers $f$ sur $A$ si : $$\forall \veps>0,\ \forall x\in A,\ \exists n_0\in\mathbb N\textrm{ tel que }\forall n\geq n_0,\ |f_n(x)-f(x)|\leq \veps.$$

On dit que $(f_n)$ converge uniformément vers $f$ sur $A$ si : $$\forall \veps>0,\ \exists n_0\in\mathbb N\textrm{ tel que }\forall x\in A,\ \forall n\geq n_0,\ |f_n(x)-f(x)|\leq \veps.$$

La convergence simple traduit que pour chaque $x\in A$, la suite de réels $(f_n(x))$ converge vers $f(x)$. La convergence uniforme impose en plus que la convergence se fait toujours à la même vitesse. Si toutes les fonctions $f_n$ et $f$ sont bornées, alors $(f_n)$ converge uniformément vers $f$ sur $A$ si et seulement si $(\|f_n-f\|_{A,\infty})$ tend vers $0$, où $$\|g\|_{\infty,A}=\sup\{|g(x)|;\ x\in A\}.$$

Explication de la différence entre convergence simple et convergence uniforme :

Propriétés conservées

Soit $I$ un intervalle de $\mathbb R$, $(f_n)$ une suite de fonctions de $I$ dans $\mathbb R$ et $f:I\to\mathbb R$. La convergence simple préserve les propriétés liées à l'ordre : par exemple, si $(f_n)$ converge simplement vers $f$ sur $I$ et si toutes les $f_n$ sont croissantes, alors $f$ est croissante, si toutes les $f_n$ sont convexes, alors $f$ est convexe. En revanche, les propriétés de régularité ne sont pas conservées par la convergence simple.

Continuité : On suppose que toutes les $f_n$ sont continues en $a\in I$ et que $(f_n)$ converge uniformément vers $f$ sur $I$. Alors $f$ est continue en $a$.

En particulier, si toutes les $f_n$ sont continues sur $I$, alors $f$ est continue sur $I$.

Permutation limite/intégrale : On suppose que $I=[a,b]$ est un segment, que toutes les fonctions $f_n$ sont continues et que $(f_n)$ converge uniformément vers $f$ sur $I$. Alors $$\lim_{n\to+\infty}\int_a^b f_n(t)dt=\int_a^b \lim_n f_n(t)dt=\int_a^b f(t)dt.$$

Dérivabilité : On suppose que toutes les fonctions $f_n$ sont de classe $\mathcal C^1$ et qu'il existe $g:I\to\mathbb R$ vérifiant

$(f_n)$ converge simplement vers $f$ sur $I$.
La suite de fonctions $(f'_n)$ converge uniformément vers $g$ sur tout segment contenu dans $I$.

Alors la fonction $f$ est de classe $\mathcal C^1$ et $f'=g$.

Caractère $\mathcal C^k$ : On suppose que toutes les fonctions $f_n$ sont de classe $\mathcal C^k$ et qu'il existe des fonctions $g_j:I\to\mathbb R$, $0\leq j\leq k$ telles que

pour tout $j=0,\dots,k-1$, $(f_n^{(j)})$ converge simplement vers $g_j$ sur $I$;
$(f_n^{(k)})$ converge uniformément vers $g_k$ sur tous les segments contenus dans $I$.

Alors $g_0$ est de classe $\mathcal C^k$ sur $I$ et pour tout $j\leq k$, $g_0^{(j)}=g_j$.

Théorème d'interversion des limites : On suppose que $I=[a,b[$ et que $(f_n)$ converge uniformément vers $f$ sur $I$. On suppose de plus que chaque fonction $f_n$ admet une limite $\ell_n$ en $b$. Alors la suite $(\ell_n)$ converge vers une limite $\ell$, $f$ admet une limite en $b$ et $\lim_{x\to b}f(x)=\ell$.

Ce théorème est souvent appliqué avec $b=+\infty$.

Séries de fonctions

Soit $I$ un intervalle de $\mathbb R$, $(u_n)_{n\geq 0}$ une suite de fonctions de $I$ dans $\mathbb R$ et $S:I\to\mathbb R.$

On dit que la série de fonctions $\sum_{n\geq 0} u_n$ converge simplement vers $S$ sur $I$ si la suite de ses sommes partielles $S_n(x)=\sum_{k=1}^n u_k(x)$ converge simplement vers $S$ sur $I.$

On dit que la série de fonctions $\sum_{n\geq 0} u_n$ converge uniformément vers $S$ sur $I$ si la suite de ses sommes partielles $S_n(x)=\sum_{k=1}^n u_k(x)$ converge uniformément vers $S$ sur $I.$

Si la série de fonctions $\sum_{n\geq 0}u_n$ converge simplement sur $I$, pour $n\in\mathbb N,$ on introduit son reste d'ordre $n$ défini sur $I$ par $R_n(x)=\sum_{k=n+1}^{+\infty}u_k(x).$ Dire que la série $\sum_{n\geq 0} u_n$ converge uniformément sur $I$ revient à dire que la suite des restes $(R_n)$ converge uniformément vers $0$ sur $I$.

On dit que la série de fonctions $\sum_{n\geq 0} u_n$ converge normalement sur $I$ si chaque fonction $u_n$ est bornée sur $I$ et si la série numérique $\sum_{n\geq 0} \|u_n\|_{\infty,I}$ est convergente.

Théorème : Si $\sum_n u_n$ converge normalement sur $I$, alors elle converge uniformément.

Les théorèmes relatifs aux suites de fonctions restent vrais dans ce nouveau cadre. Ils ont désormais les énoncés suivants :

Continuité : On suppose que toutes les $u_n$ sont continues en $a\in I$ et que $\sum_{n\geq 0} u_n$ converge uniformément vers $S$ sur $I$. Alors $S$ est continue en $a$.

En particulier, si toutes les $u_n$ sont continues sur $I$, alors $S$ est continue sur $I$.

Permutation somme/intégrale : On suppose que $I=[a,b]$ est un segment, que toutes les fonctions $u_n$ sont continues et que $\sum_n u_n$ converge uniformément sur $[a,b].$ Alors la série $\sum_{n\geq 0} \int_a^b u_n(t)dt$ converge et on a $$\int_a^b \sum_{n=0}^{+\infty} u_n(t)dt=\sum_{n=0}^{+\infty}\int_a^b u_n(t)dt.$$

Dérivabilité : On suppose que toutes les fonctions $u_n$ sont de classe $\mathcal C^1$ et que

$\sum_{n\geq 0} u_n$ converge simplement sur $I$.
$\sum_{n\geq 0} u_n'$ converge uniformément sur tout segment contenu dans $I$.

Alors la fonction $S:x\mapsto \sum_{n=0}^{+\infty}u_n(x)$ est de classe $\mathcal C^1$ et $S'(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}u_n'(x)$.

Caractère $\mathcal C^k$ : On suppose que toutes les fonctions $u_n$ sont de classe $\mathcal C^k$ et que

pour tout $j=0,\dots,k-1$, $\sum_{n\geq 0} u_n^{(j)}$ converge simplement sur $I$;
$\sum_{n\geq 0} u_n^{(k)}$ converge uniformément sur tous les segments contenus dans $I$.

Alors la fonction $S:x\mapsto \sum_{n=0}^{+\infty}u_n(x)$ est de classe $\mathcal C^k$ et pour tout $j=0,\dots,k$, $S^{(j)}(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}u_n^{(j)}(x)$.

Théorème d'interversion des limites : On suppose que $I=[a,b[$ et que $\sum_{n\geq 0} u_n$ converge uniformément vers $S$ sur $I$. On suppose de plus que chaque fonction $u_n$ admet une limite $\ell_n$ en $b$. Alors la série $\sum_{n\geq 0} \ell_n$ converge, $S$ admet une limite en $b$ et $$\lim_{x\to b}S(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\ell_n.$$

Autrement dit, sous les hypothèses précédentes, $$\lim_{x\to b}\sum_{n=0}^{+\infty}u_n(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\lim_{x\to b}u_n(x).$$

Extension aux espaces vectoriels normés

Certains des résultats précédents restent vrais si on définit maintenant nos fonctions sur une partie $A$ d'un espace vectoriel normé $E$, et si elles sont à valeurs dans un autre espace vectoriel normé $F$. C'est par exemple le cas de la préservation de la continuité par convergence uniforme. En revanche, toutes les propriétés relatives à l'intégration et à la dérivation nécessitent que l'ensemble de départ soit un intervalle (il faut bien pouvoir donner un sens aux objets considérés!).

Approximation uniforme

Théorème : Toute fonction continue par morceaux sur un segment est limite uniforme sur ce segment de fonctions en escalier.

Théorème de Weierstrass : Toute fonction continue sur un segment est limite uniforme sur ce segment de fonctions polynomiales.

Suites et séries de fonctions

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