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Résumé de cours : Réduction des endomorphismes

$E$ désigne un $\mathbb K$-espace vectoriel, $\mathbb K$ étant le corps $\mathbb R$ ou $\mathbb C$.

Sous-espaces stables

Soit $u,v\in\mathcal L(E)$ et soit $A,B\in\mathcal M_n(\mathbb K)$.

On dit qu'un sous-espace vectoriel $F$ de $E$ est stable par $u$ si $u(F)\subset F$. On peut alors définir un endomorphisme $u_F$ de $F$ en posant $u_F(x)=u(x)$ pour tout $x\in F$. $u_F$ s'appelle l'endomorphisme induit par $u$ sur $F$.

Proposition : si $u$ et $v$ commutent, alors $\textrm{Im}(u)$ et $\ker(u)$ sont stables par $v$.

Lorsque $E$ est de dimension finie, on a la caractérisation matricielle suivante de la stabilité.

Proposition : Soit $F$ un sous-espace vectoriel de $E$ et soit $\mathcal B$ une base de $E$ dont les premiers vecteurs forment une base de $F$. Alors la matrice de $u$ dans cette base a la forme $$\left(\begin{array}{c|c} A&B\\ \hline 0&C \end{array}\right)$$ si et seulement si $F$ est stable par $u$.

Plus généralement, si $E=\bigoplus_{i=1}^p E_i$ et si $\mathcal B$ est une base adaptée à cette décomposition, alors tous les sous-espaces vectoriels $E_i$ sont stables par $u$ si et seulement si $u$ admet dans cette base une matrice diagonale par blocs $$\textrm{Mat}(u,\mathcal B)=\begin{pmatrix} A_1&0&\dots&0\\ 0&A_2&0&\vdots\\ 0&\ddots&\ddots&\vdots\\ 0&\dots&0&A_p \end{pmatrix}.$$

Éléments propres d'un endomorphisme et d'une matrice carrée

On dit que $\lambda\in\mathbb K$ est une valeur propre de $u$ s'il existe un vecteur non-nul $x\in E$ tel que $u(x)=\lambda x$. Le vecteur $x$ s'appelle alors un vecteur propre associé à la valeur propre $\lambda$ et la droite $\textrm{vect}(x)$ est une droite stable par $u.$

Si $\lambda\in\mathbb K$ est une valeur propre de $u$, le sous-espace propre associé à $\lambda$ est le sous-espace $E_\lambda=\ker(u-\lambda Id_E)$.

L'ensemble des valeurs propres de $u$ s'appelle le spectre de $u$ et est noté $\textrm{Sp}(u)$.

Théorème : Si $\lambda_1,\dots,\lambda_p$ sont des valeurs propres distinctes de $u$, alors les sous-espaces propres associés $E_{\lambda_1},\dots,E_{\lambda_p}$ sont en somme directe.

Corollaire : Des vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes forment toujours une famille libre.

Corollaire : Si $E$ est de dimension finie $n$, $u$ admet au plus $n$ valeurs propres.

La matrice $A\in\mathcal M_n(\mathbb K)$ définit un endomorphisme de $\mathbb K^n$ par $X\mapsto AX$. On définit valeurs propres, vecteurs propres et espaces propres de $A$ comme les valeurs propres, vecteurs propres et espaces propres de l'endomorphisme de $\mathbb K^n$ défini par $X\mapsto AX$. En particulier, un vecteur $X$ non-nul est un vecteur propre de $A$ pour la valeur propre $\lambda$ si et seulement si $AX=\lambda X$.

On dit que deux matrices $A$ et $B$ de $\mathcal M_n(\mathbb K)$ sont semblables s'il existe $P\in GL_n(\mathbb K)$ tel que $A=PBP^{-1}$.

Proposition : Deux matrices semblables ont le même spectre.

Polynôme caractéristique

$E$ est désormais de dimension finie $n$, soit $u\in\mathcal L(E)$ et $A\in\mathcal M_n(\mathbb K)$.

On appelle polynôme caractéristique de $A$ le polynôme de degré $n$ $$\chi_A(X)=\det(XI_n-A).$$ En particulier, si $A$ est une matrice triangulaire (inférieure ou supérieure) dont les coefficients diagonaux sont $\lambda_1,\dots,\lambda_n$, alors le polynôme caractéristique de $A$ est $$\chi_A(X)=(X-\lambda_1)\cdots (X-\lambda_n).$$

Proposition : Deux matrices semblables ont le même polynôme caractéristique.

On appelle polynôme caractéristique de $u$ le polynôme caractéristique de toute matrice $A$ représentant $u$ dans une base de $E$. On le note $\chi_u(X)$.

Proposition : $\chi_A$ est un polynôme unitaire qui s'écrit $$\chi_A(X)=X^{n}-\textrm{tr}(A)X^{n-1}+\dots+(-1)^n\det(A).$$

En particulier, si $A\in\mathcal M_2(\mathbb K),$ on a $$\chi_A(X)=X^2-\textrm{tr}(A) X+\det(A).$$

Le polynôme caractéristique est intéressant pour déterminer les valeurs propres d'une matrice.

Théorème : Les racines du polynôme caractéristique de $A$ (resp. $u$) sont exactement les valeurs propres de $A$ (resp. $u$).

On appelle multiplicité de la valeur propre $\lambda$ sa multiplicité comme racine du polynôme caractéristique. On la note $\textrm{mult}(\lambda)$.

Proposition : Pour tout $\lambda\in \textrm{Sp}(u),$ on a $\dim(E_\lambda)\leq \textrm{mult}(\lambda)$.

Proposition : Si $F$ est un sous-espace de $E$ stable par $u$ et si $u_F$ est l'endomorphisme induit par $u$ sur $F$, alors $\chi_{u_F}$ divise $\chi_u$.

Endomorphismes et matrices diagonalisables

L'espace vectoriel $E$ est de dimension finie $n$.

On dit que $u\in\mathcal L(E)$ est diagonalisable s'il existe une base de $E$ dans laquelle la matrice de $u$ est diagonale. Une telle base est donc constituée de vecteurs propres pour $u$.

Proposition : Soit $u\in\mathcal L(E)$. Les assertions suivantes sont équivalentes :

$u$ est diagonalisable.
la somme des sous-espaces propres de $u$ est égale à $E$.
$\sum_{\lambda\in \textrm{Sp(u)}}\dim(E_\lambda)=\dim(E).$

Exemple : Un projecteur et une symétrie sont diagonalisables.

Théorème : $u\in\mathcal L(E)$ est diagonalisable si et seulement si $\chi_u$ est scindé et si, pour toute valeur propre $\lambda$, on a $\dim(E_\lambda)=\textrm{mult}(\lambda)$.

Corollaire : Un endomorphisme de $E$ admettant $n$ valeurs propres distinctes est diagonalisable.

On dit que la matrice $A\in\mathcal M_n(\mathbb K)$ est diagonalisable si l'endomorphisme canoniquement associé de $\mathbb K^n$ défini par $X\mapsto AX$ est diagonalisable.

Proposition : $A\in\mathcal M_n(\mathbb K)$ est diagonalisable si et seulement si $A$ est semblable à une matrice diagonale.

En particulier, si $A$ est diagonalisable, sa trace est égale à la somme de ses valeurs propres (chaque valeur propre étant répétée autant de fois que sa multiplicité) et son déterminant est égal au produit de ses valeurs propres (répétées là aussi autant de fois que leur multiplicité).

Endomorphismes et matrices trigonalisables

L'espace vectoriel $E$ est de dimension finie $n$.

On dit que $u\in\mathcal L(E)$ est trigonalisable s'il existe une base de $E$ dans laquelle la matrice de $u$ est triangulaire supérieure.

Théorème : Un endomorphisme $u\in\mathcal L(E)$ est trigonalisable si et seulement si $\chi_u$ est scindé. En particulier, si $\mathbb K=\mathbb C$, tout endomorphisme de $E$ est trigonalisable.

On dit que $A\in\mathcal M_n(\mathbb K)$ est trigonalisable si l'endomorphisme canoniquement associé de $\mathbb K^n$ défini par $X\mapsto AX$ est trigonalisable.

Proposition : $A$ est trigonalisable si et seulement si $A$ est semblable à une matrice triangulaire supérieure.

En particulier, si $A$ est trigonalisable, sa trace est égale à la somme de ses valeurs propres (chaque valeur propre étant répétée autant de fois que sa multiplicité) et son déterminant est égal au produit de ses valeurs propres (répétées là aussi autant de fois que leur multiplicité).

Réduction des endomorphismes

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