Résumé de cours : groupes
On trouvera ci-dessous les nouveautés du cours de Math Spé concernant les groupes. Il pourra être utile de réviser le programme de Math Sup.
Soit $(G,\star)$ un groupe. Une partie $H$ de $G$ est appelée un sous-groupe de $G$ si $H$ est stable par $\star$ et si $(H,\star)$ est lui-même un groupe.
Exemple : $(\mathbb Z,+)$ est un sous-groupe de $(\mathbb R,+),$ $(\mathbb U,\times)$ est un sous-groupe de $(\mathbb C,\times).$
- $H$ est non-vide;
- $H$ est stable par passage au produit : pour tous $x,y\in H$, alors $x\star y\in H$;
- $H$ est stable par passage à l'inverse : pour tout $x\in H$, alors $x^{-1}\in H$.
Soit $A$ une partie de $G$. Le plus petit sous-groupe de $G$ contenant $A$ est appelé le sous-groupe engendré par $A$. Si ce sous-groupe est $G$, on dit que $A$ est une partie génératrice de $G$. On dit que $x\in G$ est générateur de $G$ si $\{x\}$ est une partie génératrice de $G.$
En particulier, le sous-groupe engendré par $a\in G$ est $\{a^n:\ n\in\mathbb Z\}.$
Soit $n\in\mathbb N^*$. La relation de congruence modulo $n$ est une relation d'équivalence sur $\mathbb Z$ : $k\equiv \ell\ [n]\iff k-\ell\in n\mathbb Z$. On note $\bar k$ la classe d'équivalence de $k$, et $\mathbb Z/n\mathbb Z$ l'ensemble des classes d'équivalence pour cette relation.
En considérant le reste de la division euclidienne par $n,$ on constate que tout entier est toujours congru modulo $n$ à un entier compris entre $0$ et $n-1.$ On a en particulier $\mathbb Z/n\mathbb Z=\{\bar 0,\bar 1,\dots,\overline {n-1}\}$ et donc le cardinal de $\mathbb Z/n\mathbb Z$ est égal à $n.$
Soit $G$ un groupe. On dit que $G$ est monogène s'il existe $a\in G$ tel que le sous-groupe engendré par $a$ est égal à $G$. Autrement dit, s'il existe $a\in G$ tel que $G=\{a^n;\ n\in\mathbb Z\}$. $G$ est dit cyclique s'il est monogène et fini.
Exemple : $\mathbb Z/n\mathbb Z$ est un groupe cyclique. De plus, $\bar k$ est un générateur de $\mathbb Z/n\mathbb Z$ si et seulement si $k\wedge n=1$.
- tout groupe monogène infini est isomorphe à $\mathbb Z$;
- tout groupe monogène fini de cardinal $n$ est isomorphe à $\mathbb Z/n\mathbb Z$.
Exemple : Pour $n\geq 2,$ le groupe $\mathbb U_n$ est isomorphe à $\mathbb Z/n\mathbb Z.$
Soit $G$ un groupe d'élément neutre $e$. Un élément $a\in G$ est dit d'ordre fini s'il existe $n\geq 1$ tel que $a^n=e$. Le plus petit entier $n$ vérifiant cette égalité est alors appelé l'ordre de $a$.