Résumé de cours : Fonctions définies par une intégrale
$\mathbb K$ désigne le corps $\mathbb R$ ou $\mathbb C$ et $I$ un intervalle.
Alors toutes les fonctions $f_\lambda$ et $f$ sont intégrables sur $I$, et on a
$$\lim_{\lambda\to b}\int_I f_\lambda=\int_I f.$$
Passage à la limite sous l'intégrale
Théorème de convergence dominée :
Soit $(f_n)$ une suite de fonctions continues par morceaux de $I$ dans $\mathbb K$, et $f,\varphi:I\to\mathbb K$ continues par morceaux avec $\varphi$ positive.
On suppose que
Alors toutes les fonctions $f_n$ et $f$ sont intégrables sur $I$, et on a
$$\lim_{n\to+\infty}\int_I f_n=\int_I f.$$
- pour tout $t\in I$, $(f_n(t))$ converge vers $f(t)$;
- pour tout $t\in I$ et tout $n\geq 1$, $|f_n(t)|\leq \varphi(t)$;
- la fonction $\varphi$ est intégrable sur $I$.
En utilisant la caractérisation séquentielle de la continuité, on peut étendre le théorème de convergence dominée au cas d'une famille de fonctions $(f_\lambda)_{\lambda\in J}$ où $J$ est un intervalle de $\mathbb R$. Par exemple, pour $J=[a,b[,$ (avec éventuellement $b=+\infty$), si $(f_\lambda)_{\lambda\in J}$ est une suite de fonctions continues par morceaux de $I$ dans $\mathbb K$, et $f,\varphi:I\to\mathbb K$ sont continues par morceaux avec $\varphi$ positive, si on suppose que
- pour tout $t\in I$, $(f_\lambda(t))$ converge vers $f(t)$ lorsque $\lambda\to b$,
- pour tout $t\in I$ et tout $\lambda\in J$, $|f_\lambda(t)|\leq \varphi(t)$,
- la fonction $\varphi$ est intégrable sur $I$,
Théorème d'intégration terme à terme (cas des fonctions positives) :
Soit $(u_n)$ une suite de fonctions de $I$
dans $\mathbb R_+$ continues par morceaux et intégrables et $f:I\to\mathbb K$ continue par morceaux.
On suppose que pour tout $t\in I$, la série $\sum_{n\geq 1}u_n(t)$ converge vers $f(t)$. Alors,
dans $[0,+\infty]$, on a
$$\sum_{n\geq 1}\int_I u_n=\int_I f.$$
En particulier, sous les hypothèses précédentes, l'intégrabilité de $f=\sum_{n=1}^{+\infty}u_n$ sur $I$ est équivalente à $$\sum_{n=1}^{+\infty}\int_I u_n(t)dt<+\infty.$$
Théorème d'intégration terme à terme (cas général) :
Soit $(u_n)$ une suite de fonctions de $I$
dans $\mathbb K$ continues par morceaux et intégrables et $f:I\to\mathbb K$ continue par morceaux.
On suppose que
Alors $f$ est intégrable sur $I$, et on a
$$\sum_{n\geq 1}\int_I u_n=\int_I f.$$
- pour tout $t\in I$, la série $\sum_{n\geq 1}u_n(t)$ converge vers $f(t)$;
- la série $\sum_{n\geq 1}\int_I |u_n(t)|dt$ est convergente.
Régularité d'une intégrale à paramètres
Théorème de continuité des intégrales à paramètres :
Soit $A$ une partie d'un espace normé de dimension finie, $I$ un intervalle de $\mathbb R$
et $f$ une fonction définie sur $A\times I$ à valeurs dans $\mathbb K$. On suppose que
- pour tout $t\in I$, la fonction $x\mapsto f(x,t)$ est continue sur $A$;
- pour tout $x\in A$, la fonction $t\mapsto f(x,t)$ est continue par morceaux sur $I$;
- il existe $\varphi:I\to\mathbb R_+$ intégrable telle que, pour tout $x\in A$ et tout $t\in I$, $$|f(x,t)|\leq \varphi(t).$$
En général, $A$ est un intervalle de $\mathbb R$. Dans ce cas, en utilisant le fait que la continuité est une propriété locale, il suffit de vérifier les hypothèses (notamment celle de domination) sur tout segment $K$ contenu dans $A$.
Théorème de dérivabilité des intégrales à paramètres :
Soit $I,J$ deux intervalles de $\mathbb R$
et $f$ une fonction définie sur $J\times I$ à valeurs dans $\mathbb K$. On suppose que
- pour tout $x\in J$, la fonction $t\mapsto f(x,t)$ est intégrable sur $I$;
- pour tout $t\in I,$ la fonction $x\mapsto f(x,t)$ est de classe $\mathcal C^1$ sur $J$;
- pour tout $x\in J$, la fonction $t\mapsto \frac{\partial f}{\partial x}(x,t)$ est continue par morceaux sur $I$;
- il existe $\varphi:I\to\mathbb R_+$ intégrable telle que, pour tout $x\in J$ et tout $t\in I$, $$\left|\frac{\partial f}{\partial x}(x,t)\right|\leq \varphi(t).$$
À nouveau, il suffit de vérifier l'hypothèse de domination sur tout segment $K\subset J$.
Classe $\mathcal C^k$ des intégrales à paramètres :
Soit $I,J$ deux intervalles de $\mathbb R$,
$f$ une fonction définie sur $J\times I$ à valeurs dans $\mathbb K$ et $k\geq 1$. On suppose que
- pour tout $t\in I,$ la fonction $x\mapsto f(x,t)$ est de classe $\mathcal C^k$ sur $J$;
- pour tout $x\in J$ et tout $0\leq j\leq k$, la fonction $t\mapsto \frac{\partial^j f}{\partial x^j}(x,t)$ est intégrable sur $I$;
- il existe $\varphi:I\to\mathbb R_+$ intégrable telle que, pour tout $x\in J$ et tout $t\in I$, $$\left|\frac{\partial^k f}{\partial x^k}(x,t)\right|\leq \varphi(t).$$
Permutation limites/intégrales et fonctions définies par une intégrale