$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Résumé de cours : espaces probabilisés dénombrables

On considère une expérience aléatoire d'univers $\Omega$.
Langage des probabilités
  • Une tribu sur $\Omega$ est une partie $\mathcal T$ de l'ensemble des parties de $\Omega$ telle que
    • $\Omega\in\mathcal T$;
    • Pour tout $A\in\mathcal T$, le complémentaire $\bar A$ est élément de $\mathcal T$;
    • Si $(A_n)_{n\in\mathbb N}$ est une suite d'éléments de $\mathcal T$, leur réunion $\bigcup_{n=0}^{+\infty} A_n$ est élément de $\mathcal T$.
  • La tribu triviale $\{\varnothing,\Omega\}$ est une tribu, l'ensemble des parties $\mathcal P(\Omega)$ est une tribu.
  • Proposition : Soit $\mathcal T$ une tribu. Alors
    • $\varnothing\in\mathcal T$;
    • toute réunion finie ou dénombrable d'éléments de $\mathcal T$ est un élément de $\mathcal T$;
    • toute intersection finie ou dénombrable d'éléments de $\mathcal T$ est un élément de $\mathcal T$.
  • Si $\mathcal T$ est une tribu, le couple $(\Omega,\mathcal T)$ s'appelle espace probabilisable. Les éléments de $\mathcal T$ sont appelés les événements. $\Omega$ est l'événement certain et $\varnothing$ est l'événement impossible.
  • Deux événements $A$ et $B$ sont incompatibles si $A\cap B=\varnothing$.
  • On appelle système complet d'événements la donnée d'une famille finie ou dénombrable d'événements $(A_i)_{i\in I}$ deux à deux incompatibles et dont la réunion est l'événement certain $\Omega$.
Probabilités
Dans cette partie, $(\Omega,\mathcal T)$ désigne un espace probabilisable.
  • On appelle probabilité sur $(\Omega,\mathcal T)$ une application $P$ définie sur $\mathcal T$, à valeurs dans $[0,1]$ et vérifiant :
    • $P(\Omega)=1$;
    • Pour toute suite $(A_n)_{n\in\mathbb N}$ d'événements deux à deux incompatibles, $$P\left(\bigcup_{n=0}^{+\infty}A_n\right)=\sum_{n=0}^{+\infty}P(A_n).$$
    Le triplet $(\Omega,\mathcal T,P)$ s'appelle alors espace de probabilité.
  • Si $\Omega$ est fini ou dénombrable, et si $\mathcal T=\mathcal P(\Omega)$, la donnée d'une probabilité $P$ correspond à celle d'une famille sommable $(p_\omega)_{\omega\in\Omega}$ de réels positifs et de somme 1 via la formule $P(\{\omega\})=p_\omega$.
  • Propriétés des probabilités : Soit $(\Omega,\mathcal T,P)$ un espace de probabilité. Alors :
    • $P(\varnothing)=0$;
    • Pour tout $A\in\mathcal T$, $P(\bar A)=1-P(A)$;
    • Pour tous $A,B\in\mathcal P(\Omega)$, $A\subset B\implies P(A)\leq P(B)$;
    • Pour tous $A,B\in\mathcal P(\Omega)$, $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$.
  • Proposition (continuité croissante) : Si $(A_n)_{n\in\mathbb N}$ est une suite d'événements croissante pour l'inclusion, c'est-à-dire si $A_n\subset A_{n+1}$ pour tout entier $n$, alors $$\lim_{n\to+\infty}P(A_n)=P\left(\bigcup_{n=0}^{+\infty}A_n\right).$$
  • Proposition (continuité décroissante) : Si $(A_n)_{n\in\mathbb N}$ est une suite d'événements décroissante pour l'inclusion, c'est-à-dire si $A_n\supset A_{n+1}$ pour tout entier $n$, alors $$\lim_{n\to+\infty}P(A_n)=P\left(\bigcap_{n=0}^{+\infty}A_n\right).$$
  • Proposition (sous-additivité) : Si $(A_n)_{n\in\mathbb N}$ est une suite d'événements telle que $\sum_{n=0}^{+\infty}P(A_n)$ converge, alors $$P\left(\bigcup_{n=0}^{+\infty}A_n\right)\leq \sum_{n=0}^{+\infty}P(A_n).$$
  • Un événement $A$ est dit négligeable si $P(A)=0$. Un événement $A$ est dit presque sûr si $P(A)=1$.
  • Proposition : Toute réunion dénombrable d'événements négligeables est un événement négligeable. Toute intersection dénombrable d'événements presque sûrs est un événement presque sûr.
Probabilités conditionnelles et indépendance
Dans cette partie, $(\Omega,\mathcal T,P)$ est un espace de probabilité.
  • On dit que deux événements $A$ et $B$ sont indépendants si $P(A\cap B)=P(A)P(B)$.
  • Soit $(A_i)_{i\in I}$ une famille d'événements. On dit que les $(A_i)_{i\in I}$ sont mutuellement indépendants si, pour toute partie finie $J$ de $I$, on a $$P\left(\bigcap_{j\in J}A_j\right)=\prod_{j\in J}P(A_j).$$
  • Soient $A$ et $B$ deux événements tels que $P(B)>0$. On appelle probabilité conditionnelle de $A$ sachant $B$ le réel $$P(A|B)=P_B(A)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}.$$ $P_B$ est une probabilité sur $\Omega$.
  • Formule des probabilités composées : Soient $A_1,\dots,A_m$ des événements tels que $P(A_1\cap\dots\cap A_m)\neq 0$. Alors : $$P(A_1\cap\dots\cap A_m)=P(A_1)P(A_2|A_1)P(A_3|A_1\cap A_2)\cdots P(A_m|A_1\cap \dots\cap A_{m-1}).$$
  • Formule des probabilités totales : Soit $(A_n)_{n\in\mathbb N}$ un système complet d'événements, tous de probabilité non nulle. Soit $B$ un événement. Alors la série $\sum_n P(B\cap A_n)$ converge et on a : $$P(B)=\sum_{n=0}^{+\infty}P(B\cap A_n)=\sum_{n=0}^{+\infty} P(A_n)P(B|A_n).$$
  • En particulier, on retrouve la formule des probabilités totales pour un nombre fini d'événements : soit $A_1,\dots,A_n$ un système complet d'événements, tous de probabilité non nulle. Soit $B$ un événement. Alors : $$P(B)=\sum_{i=1}^n P(A_i)P(B|A_i).$$
  • Formule de Bayes : Si $I$ est un ensemble fini ou dénombrable, et si $(A_i)$ est un système complet d'événéments dont aucun n'est négligeable, alors pour tout événement $B$ non négligeable et pour tout $k\in I$, on a : $$P(A_k|B)=\frac{P(A_k)P(B|A_k)}{\sum_{i\in I}P(A_i)P(B|A_i)}.$$
  • En particulier, on retrouve la formule de Bayes pour deux événements : si $A$ et $B$ sont deux événements de probabilité non nulle, alors $$P(A|B)=\frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}.$$