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Résumé de cours : Équations différentielles linéaires

Dans la suite, $I$ désigne un intervalle de $\mathbb R$ et $E$ un espace vectoriel normé de dimension finie $n$.

Généralités

On appelle équation différentielle linéaire du premier ordre une équation de la forme $$x'(t)+a(t)\big(x(t)\big)=b(t)$$ où $a:I\to\mathcal L(E)$ et $b:I\to E$ sont deux fonctions continues. Résoudre l'équation différentielle, c'est déterminer les fonctions $x:I\to E$ dérivables qui satisfont l'équation précédente.
L'équation différentielle homogène associée à l'équation différentielle précédente est l'équation $$x'(t)+a(t)\big(x(t)\big)=0.$$
Si $x_1$ est une solution de $$x'(t)+a(t)\big(x(t)\big)=b_1(t)$$ et $x_2$ est une solution de $$x'(t)+a(t)\big(x(t)\big)=b_2(t),$$ alors $x_1+x_2$ est une solution de $$x'(t)+a(t)\big(x(t)\big)=b_1(t)+b_2(t).$$ C'est le principe de superposition des solutions.
Si on introduit une base $\mathcal B=(e_1,\dots,e_n)$ de $E$ et en posant $A(t)$, $B(t)$ et $X(t)$ les matrices respectives de $a(t)$, $b(t)$ et $x(t)$ dans $\mathcal B$, alors l'équation différentielle $x'(t)+a(t)\big(x(t)\big)=b(t)$ se réécrit sous la forme d'un système différentiel : $$X'(t)+A(t)X(t)=B(t).$$

Résolution des problèmes de Cauchy

Soit $(t_0,x_0)\in I\times E$ et $x'(t)+a(t)\big(x(t)\big)=b(t)$ une équation différentielle linéaire. On appelle problème de Cauchy associé la détermination des solutions de l'équation différentielle vérifiant de plus $x(t_0)=x_0$.
Proposition (mise sous forme intégrale du problème de Cauchy) : Soit $a:I\to\mathcal L(E)$ et $b:I\to E$ deux fonctions continues, $x:I\to E$ dérivable et $(t_0,x_0)\in I\times E$. Alors les assertions suivantes sont équivalentes :
1. $x$ est solution du problème de Cauchy $$\left\{\begin{array}{rcl} x'(t)+a(t)\big(x(t)\big)&=&b(t)\\ x(t_0)&=&x_0. \end{array}\right.$$
2. $x$ vérifie, pour tout $t\in I$, $$x(t)=x_0+\int_{t_0}^t \Big(-a(u)\big(x(u)\big)+b(u)\Big)du.$$
Théorème de Cauchy linéaire : Soit $a:I\to\mathcal L(E)$, $b:I\to E$ deux fonctions continues et $(t_0,x_0)\in I\times E$. Alors le problème de Cauchy $$\left\{\begin{array}{rcl} x'(t)+a(t)\big(x(t)\big)&=&b(t)\\ x(t_0)&=&x_0 \end{array}\right.$$ admet une solution unique définie sur $I$.
Théorème (structure de l'ensemble des solutions) : Soit $a:I\to\mathcal L(E)$, $b:I\to E$ deux fonctions continues. L'ensemble des solutions $\mathcal S$ de l'équation différentielle linéaire homogène $$x'(t)+a(t)\big(x(t)\big)=0$$ est un sous-espace vectoriel de $\mathcal C^1(I,E)$ de dimension $n=\dim(E)$. De plus, l'application $x\mapsto x(t_0)$ est un isomorphisme de $\mathcal S$ sur $E$.
L'ensemble des solutions de l'équation complète $$x'(t)+a(t)\big(x(t))=b(t)$$ est un sous-espace affine de dimension $n=\dim(E)$.

Exponentielle de matrice

Soit $u\in\mathcal L(E)$. Alors la série $\sum_{n\geq 0}\frac{u^n}{n!}$ converge absolument. Sa somme s'appelle l'exponentielle de $u$ et est notée $\exp(u)$ ou $e^u$.
De même, si $A\in\mathcal M_n(\mathbb K)$, on appelle exponentielle de $A$ la matrice $$\exp(A)=\sum_{n\geq 0}\frac{A^n}{n!}.$$
Théorème : L'application exponentielle vérifie les propriétés suivantes :
- $A\mapsto \exp(A)$ est une application continue de $\mathcal M_n(\mathbb K)$ dans $\mathcal M_n(\mathbb K)$.
- Si $A,B\in\mathcal M_n(\mathbb K)$ sont tels que $AB=BA$, alors $\exp(A+B)=\exp(A)\exp(B)$.
- Pour tout $A\in\mathcal M_n(\mathbb K)$, l'application $t\mapsto \exp(tA)$ est dérivable, de dérivée $t\mapsto A\exp(tA)$.

Systèmes différentiels homogènes à coefficients constants

Théorème : Soit $a\in\mathcal L(E)$, $t_0\in\mathbb R$ et $x_0\in E$. L'unique solution au problème de Cauchy $$\left\{ \begin{array}{rcl} x'(t)&=&a\big(x(t)\big)\\ x(t_0)&=&x_0 \end{array}\right.$$ est la fonction $t\mapsto \exp\big((t-t_0)a\big)(x_0)$.
Corollaire : Soit $a\in\mathcal L(E)$ diagonalisable, $(x_1,\dots,x_n)$ une base de vecteurs propres de $a$ associés respectivement à $\lambda_1,\dots,\lambda_n$. Notons $\varphi_i(t)=e^{\lambda_i t}x_i$. Alors $(\varphi_1,\dots,\varphi_n)$ est une base de l'espace vectoriel des solutions de l'équation homogène $x'=ax$.

Méthode de variation des constantes

On considère un système différentiel du type $$X'(t)=A(t)X(t)+B(t),$$ avec $A:I\to\mathcal M_n(\mathbb K)$ et $B:I\to\mathbb K^n$ continues.

On appelle système fondamental de solutions de ce système toute base $(X_1,\dots,X_n)$ de l'espace vectoriel des solutions de l'équation homogène associée.
Proposition : Soit $(X_1,\dots,X_n)$ un système fondamental de solutions, et $(C_1,\dots,C_n)$ une famille de $n$ fonctions de classe $\mathcal C^1$ de $I$ dans $\mathcal M_n(\mathbb K)$. L'application $X$ définie par $$X(t)=\sum_{i=1}^n C_i(t)X_i(t)$$ est solution de l'équation avec second membre si et seulement si, pour tout $t\in I$, $$\sum_{i=1}^n C_i'(t)X_i(t)=B(t).$$
Corollaire : Soit $a\in\mathcal L(E)$, $b:I\to E$ continue et $t_0\in I$. Alors l'ensemble des solutions de l'équation $x'(t)=a\big(x(t)\big)+b(t)$ est $$\left\{t\mapsto e^{ta}x+e^{ta}\int_{t_0}^t e^{-sa}\big(b(s)\big)ds;\ x\in E\right\}.$$

Cas des équations différentielles scalaires d'ordre $n$

On appelle équation différentielle linéaire scalaire d'ordre $n$ définie sur $I$ toute équation de la forme $$x^{(n)}(t)=a_{n-1}(t)x^{(n-1)}(t)+a_{n-2}(t)x^{(n-2)}(t)+\dots+a_0(t)x(t)+b(t)$$ avec $a_0,\dots,a_{n-1}$ et $b:I\to \mathbb K$ des fonctions continues et $x:I\to\mathbb K$ une fonction inconnue $n$ fois dérivable sur $I$.
Traduction matricielle : Notons $X$ le vecteur $$X(t)=\left(\begin{array}c x(t)\\ x'(t) \\ \vdots \\ x^{(n-1)}(t)\end{array}\right)$$ et $A$, $B$ les matrices $$A(t)=\left( \begin{array}{ccccc} 0&1&0&\dots&\dots\\ 0&0&1&\ddots&\vdots\\ \vdots&\vdots&\ddots&\ddots&\vdots\\ 0&0&\dots&\dots&1\\ a_0(t)&a_1(t)&\dots&\dots&a_{n-1}(t) \end{array}\right),\quad B(t)=\left( \begin{array}{c} 0\\ 0\\ \vdots\\ \vdots\\ 0\\ b(t) \end{array}\right),$$ l'équation différentielle scalaire d'ordre $n$ $$x^{(n)}(t)=a_{n-1}(t)x^{(n-1)}(t)+a_{n-2}(t)x^{(n-2)}(t)+\dots+a_0(t)x(t)+b(t)$$ est "équivalente" au système $X'(t)=A(t)X(t)+B(t)$ au sens où $x$ est solution de l'équation scalaire si et seulement si c'est la première coordonnée de $X$ solution de l'équation vectorielle.
Soit une équation différentielle linéaire scalaire d'ordre $n$ $$x^{(n)}(t)=a_{n-1}(t)x^{(n-1)}(t)+a_{n-2}(t)x^{(n-2)}(t)+\dots+a_0(t)x(t)+b(t).$$ Soit également $(t_0,x_0,\dots,x_{n-1})\in I\times \mathbb K^n$. On appelle problème de Cauchy associé la détermination des solutions de l'équation différentielle vérifiant de plus $x(t_0)=x_0,\ x'(t_0)=x_1,\dots,\ x^{(n-1)}(t_0)=x_{n-1}$.
Théorème : Si $a_0,\dots,a_{n-1}$ et $b:I\to \mathbb K$ sont des fonctions continues, le problème de Cauchy $$\left\{ \begin{array}{l} x^{(n)}(t)=a_{n-1}(t)x^{(n-1)}(t)+a_{n-2}(t)x^{(n-2)}(t)+\dots+a_0(t)x(t)+b(t)\\ x(t_0)=x_0,\ x'(t_0)=x_1,\dots,\ x^{(n-1)}(t_0)=x_{n-1} \end{array} \right.$$ admet une solution unique.
Corollaire : Si $a_0,\dots,a_{n-1}$ et $b:I\to \mathbb K$ sont des fonctions continues, l'ensemble des solutions de l'équation différentielle linéaire scalaire homogène d'ordre $n$ $$x^{(n)}(t)=a_{n-1}(t)x^{(n-1)}(t)+a_{n-2}(t)x^{(n-2)}(t)+\dots+a_0(t)x(t)$$ est un sous-espace vectoriel de dimension $n$. L'ensemble des solutions de l'équation avec second membre $$x^{(n)}(t)=a_{n-1}(t)x^{(n-1)}(t)+a_{n-2}(t)x^{(n-2)}(t)+\dots+a_0(t)x(t)+b(t)$$ est un sous-espace affine de dimension $n$.

Cas particulier des équations différentielles scalaires d'ordre 2

On considère une équation différentielle linéaire scalaire d'ordre $2$ $$x''(t)=a(t)x'(t)+b(t)x(t)+c(t)$$ où $a,b,c:I\to\mathbb K$ sont continues.

Soit $f,g$ deux solutions de l'équation homogène. On appelle wronskien de ces deux solutions l'application $$W:t\in I\mapsto \left| \begin{array}{cc} f(t)&g(t)\\ f'(t)&g'(t)\\ \end{array}\right|.$$
Théorème : Soit $(f,g)$ deux solutions de l'équation homogène. Les assertions suivantes sont équivalentes :
- $(f,g)$ est un système fondamental de solutions;
- Pour tout $t\in I$, $W(t)\neq 0$;
- Il existe $t\in I$ tel que $W(t)\neq 0$.
Méthode de variation des constantes pour les équations différentielles linéaires d'ordre $2$ : soit $(f,g)$ un système fondamental de solutions de l'équation homogène. On cherche une solution particulière $x(t)$ sous la forme $$x(t)=\lambda(t)f(t)+\mu(t)g(t).$$ La méthode de variation des constantes s'écrit alors : $$\left\{ \begin{array}{rcl} \lambda'(t) f(t)+\mu'(t)g(t)&=&0\\ \lambda'(t) f'(t)+\mu'(t)g'(t)&=&c(t). \end{array} \right. $$
Cas des équations à coefficients constants : on suppose qu'on a une équation homogène $$x''=ax'+bx$$ à coefficients constants. On introduit l'équation caractéristique $$r^2=ar+b.$$
- Résolution sur $\mathbb C$ :
  - si l'équation caractéristique admet deux racines $r_1$ et $r_2$, alors les solutions de l'équation homogène $y''+ay'+by=0$ sont les fonctions $$x\mapsto \lambda e^{r_1 x}+\mu e^{r_2 x}\quad\textrm{ avec }\lambda,\mu\in\mathbb C.$$
  - si l'équation caractéristique admet une racine double $r$, alors les solutions de l'équation homogène $y''+ay'+by=0$ sont les fonctions $$x\mapsto (\lambda x+\mu)e^{rx}\quad\textrm{ avec }\lambda,\mu\in\mathbb C.$$
- Résolution sur $\mathbb R$ :
  - si l'équation caractéristique admet deux racines réelles $r_1$ et $r_2$, alors les solutions de l'équation homogène $y''+ay'+by=0$ sont les fonctions $$x\mapsto \lambda e^{r_1 x}+\mu e^{r_2 x}\quad\textrm{ avec }\lambda,\mu\in\mathbb R.$$
  - si l'équation caractéristique admet une racine double $r$, alors les solutions de l'équation homogène $y''+ay'+by=0$ sont les fonctions $$x\mapsto (\lambda x+\mu)e^{rx}\quad\textrm{ avec }\lambda,\mu\in\mathbb R.$$
  - si l'équation caractéristique admet deux racines complexes conjuguées, $\alpha\pm i\beta$, alors les solutions de l'équation homogène sont les fonctions $$x\mapsto \lambda e^{\alpha x}\cos(\beta x)+\mu e^{\alpha x}\sin(\beta x).$$