Préparer sa kholle : variables aléatoires discrètes
L'exercice qu'il faut savoir faire
Enoncé 
On possède une pièce de monnaie truquée de telle sorte que la probabilité d'obtenir pile soit 0,3.
- On lance 10 fois la pièce. Quelle est la probabilité d'obtenir exactement $3$ fois pile?
- On lance la pièce jusqu'à ce que l'on obtienne pile pour la première fois.
On note $Y$ la variable aléatoire égale au nombre de lancers effectués jusqu'à l'obtention du premier pile.
- Écrire une fonction $\verb+simul_lancer()+$ sous Python qui simule la variable aléatoire $Y.$
- Quelle est la loi de $Y$ ? Combien effectuera-t-on en moyenne de lancers ?
L'exercice standard
Enoncé
Dans un bureau de poste, il y a deux guichets. Chacune des personnes arrivant à la poste choisit le premier guichet avec une probabilité $p$,
ou le deuxième guichet avec une probabilité $q=1-p$. Les personnes effectuent leur choix de façon indépendante. En une heure, le nombre $X$ de personnes arrivés à la poste suit une loi de Poisson $\mathcal{P}(m)$.
On désigne par $Y$ le nombre de personnes ayant choisi le premier guichet.
- Exprimer la probabilité conditionnelle de $Y=k$ sachant que $X=n$.
- En déduire la loi conjointe du couple $(X,Y)$.
- Déterminer la loi de $Y$. On trouvera que $Y$ suit une loi de Poisson de paramètre $mp$.
L'exercice pour les héros
Exercice 3 - La somme de deux dés truqués ne suit jamais la loi uniforme ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
- Démontrer que toutes les racines (complexes) non-nulles du polynôme $P(X)=X^2+X^3+\dots+X^{12}$ sont simples.
- Peut-on truquer un dé de sorte que, en le lançant deux fois de suite, la somme des numéros obtenus suive la loi uniforme sur $\{2,\dots,12\}$?
Variables aléatoires discrètes