Préparer sa kholle : topologie des espaces vectoriels normés
L'exercice qu'il faut savoir faire
Enoncé
Les fonctions suivantes ont-elles une limite (finie) en $(0,0)$?
- $f(x,y)=(x+y)\sin\left(\frac{1}{x^2+y^2}\right)$
- $f(x,y)=\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}$
- $f(x,y)=\frac{|x+y|}{x^2+y^2}$
L'exercice standard
Enoncé
Soit $E=\mathcal C([0,1],\mathbb R)$ muni de $\|\cdot\|_\infty$. On pose
$$A=\left\{f\in E;\ f(0)=0\textrm{ et }\int_0^1 f(t)dt\geq 1\right\}.$$
Démontrer que $A$ est une partie fermée de $E$.
L'exercice pour les héros
Enoncé
Soit $A$ une partie d'un espace vectoriel normé $E$. On
rappelle que la frontière de $A$ est l'ensemble $\Fr(A)=\bar A\backslash
\stackrel{\circ}{A}=\bar A\cap \overline{C_E A}$. Montrer que :
- $ \Fr(A)=\{x\in E \mid \forall \epsilon>0, B(x,\epsilon)\cap A \neq\emptyset \textrm{ et } B(x,\epsilon)\cap C_E A\neq\emptyset\}$.
- $\Fr(A)=\Fr(C_E A)$.
- $A$ est fermé si et seulement si $\Fr(A)$ est inclus dans $A$.
- $A$ est ouvert si et seulement si $\Fr(A)\cap A=\emptyset$.
- Montrer que si $A$ est fermé, alors $\Fr(\Fr(A))=\Fr(A)$.