Préparer sa kholle : Suites et séries de fonction

Soit $(f_n)_{n\geq 1}$ la suite de fonctions définies sur $[0,1]$ par $\displaystyle f_n(x)=\frac{2^n x}{1+2^n nx^2}.$

1. Étudier la convergence simple de cette suite de fonctions.
2. Calculer $I_n=\int_0^1 f_n(t)dt$ et $\lim_{n\to+\infty}I_n$. En déduire que la suite $(f_n)$ n'est pas uniformément convergente sur $[0,1]$.
3. Donner une démonstration directe du fait que la suite $(f_n)$ ne converge pas uniformément sur $[0,1]$.

Pour $x>0,$ on considère $\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{1+n^2x^2}$ et $\displaystyle g(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{x^2}{1+n^2x^2}$

1. Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$.
2. Déterminer la limite de $g$ en $+\infty$.
3. En déduire un équivalent simple de $f$ en $+\infty$

On rappelle que $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}\frac 1{n^2}=\frac{\pi^2}6.$

Soit $(f_n)$ une suite croissante (ie $f_n\leq f_{n+1}$) de fonctions continues sur un segment $[a,b]$ qui converge simplement vers une fonction $f$ continue. Pour $\veps>0$ et $n\geq 1$, on pose $$K_n(\veps)=\{x\in[a,b];\ |f(x)-f_n(x)|\geq \veps\}.$$

1. Justifier que si pour tout $\veps>0$, il existe un entier $n$ tel que $K_n(\veps)=\varnothing$, alors $(f_n)$ converge uniformément vers $f$.
2. Démontrer que $(f_n)$ converge uniformément vers $f$ sur $[a,b]$.