Préparer sa kholle : Séries entières

On procède par analyse-synthèse. On suppose qu'il existe une solution développable en série entière $y(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n x^n$, de rayon de convergence $R>0$. On introduit ce développement dans l'équation : $$x^2(1-x)\sum_{n\geq 2}n(n-1)a_n x^{n-2}-x(1+x)\sum_{n\geq 1}na_nx^{n-1}+\sum_{n\geq 0}a_n x^n=0$$ pour tout $x\in]-R,R[$, soit encore $$\sum_{n\geq 2}n(n-1)a_n x^{n}-\sum_{n\geq 2}n(n-1)a_nx^{n+1}-\sum_{n\geq 1}n a_n x^{n}-\sum_{n\geq 1}n a_n x^{n+1}+\sum_{n\geq 0}a_n x^n=0.$$ On réindexe les deuxième et quatrième somme de sorte d'obtenir à l'intérieur le terme $x^n$ : $$\sum_{n\geq 2}n(n-1)a_n x^n-\sum_{n\geq 3}(n-1)(n-2)a_{n-1}x^n-\sum_{n\geq 1}n a_n x^{n}-\sum_{n\geq 2}(n-1)a_{n-1}x^n+\sum_{n\geq 0}a_n x^n,$$ ceci étant identiquement nul sur $]-R,R[$. Sachant qu'une série entière est nulle si et seulement si tous ses coefficients sont nuls, on peut identifier. Le terme en $x^0$ donne $a_0=0$, celui en $x^1$ donne $0=0$, celui en $x^2$ donne $2a_2-2a_2-a_1+a_2=0$, soit $a_2=a_1$. Pour $n\geq 3$, , on obtient $$\big(n(n-1)-n+1\big)a_n+\big(-(n-1)(n-2)-(n-1)\big)a_{n-1}=0$$ i.e. $a_{n}=a_{n-1}$ pour tout $n\geq 3$. Toute solution développable en série entière s'écrit donc : $$y(x)=a\sum_{n\geq 1}x^n=\frac{ax}{1-x},\ a\in\mathbb R$$ et en particulier n'est définie que sur $]-1,1[$.
Réciproquement (c'est la partie synthèse du raisonnement), on vérifie aisément, en les introduisant dans l'équation différentielle, que les fonctions $x\mapsto \frac{ax}{1-x}$ sont solutions de l'équation.
Une fois cette solution trouvée, on peut alors résoudre complètement l'équation différentielle en utilisant la méthode d'abaissement de l'ordre.

1. Le rayon de convergence de la série entière est 1. De plus, puisque $$\left|\frac{(-1)^n}{n(n-1)}\right|\leq\frac C{n^2}$$ on a aussi convergence en $1$ et $-1$. L'intervalle de convergence est donc $[-1,1]$.
2. Les théorèmes usuels concernant les séries entières ne donnent la continuité que sur l'intervalle ouvert $]-1,1[$. Si on veut obtenir la continuité sur l'intervalle fermé, il faut aller plus loin! Pour cela, on va montrer la convergence normale de la série sur l'intervalle $[-1,1]$. En effet, pour tout $x\in[-1,1]$ et tout $n\geq 2$, on a $$\left|\frac{(-1)^n x^n}{n(n-1)}\right|\leq\frac C{n^2}$$ et cette dernière série est convergente. Puisque chaque fonction $x\mapsto \frac{(-1)^n}{n(n-1)}x^n$ est continue sur $[-1,1]$, on en déduit la continuité de $f$ sur $[-1,1]$.
3. $f$ est dérivable sur $]-1,1[$ et on a $$f'(x)=\sum_{n=2}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{n-1}x^{n-1}=\ln(1+x).$$ Par intégration, pour tout $x\in]-1,1[$, on a $$f(x)=(1+x)\ln(1+x)-x+C.$$ La constante $C$ se calcule en remarquant que $f(0)=0=C$.
4. L'égalité précédente est, a priori, vraie sur $]-1,1[$, mais puisque $f$ et $x\mapsto (1+x)\ln(1+x)-x$ sont continues en 1, elle est aussi vraie en $1$. On en déduit $$\sum_{n\geq 2}\frac{(-1)^n}{n(n-1)}=f(1)=2\ln(2)-1.$$