Préparer sa kholle : Séries

1. En utilisant le développement limité du cosinus, ou l'équivalent $1-\cos x\sim_0 \frac{x^2}{2}$, on voit que : $$u_n\sim_{+\infty} \frac{\pi^2}{2n^2},$$ et la série est convergente.
2. On va faire un développement limité de $u_n$. Dans un premier temps, en utilisant le développement limité de $\cos x$ en zéro, on a $$u_n=\exp\left(1-\frac{1}{2n^2}+o\left(\frac 1{n^2}\right)\right)-\exp\left(1-\frac{2}{n^2}+o\left(\frac 1{n^2}\right)\right).$$ On met $e$ en facteur puis on utilise le développement limité de $\exp$ en $0$ : \begin{align*} u_n&=e\left(\exp\left(-\frac{1}{2n^2}+o\left(\frac 1{n^2}\right)\right)-\exp\left(\frac{-2}{n^2}+o\left(\frac 1{n^2}\right)\right)\right)\\ &=e\left(1-\frac{1}{2n^2}-1+\frac{2}{n^2}+o\left(\frac 1{n^2}\right)\right)\\ &=\frac{3e}{2n^2}+o\left(\frac 1{n^2}\right)\\ &\sim_{+\infty}\frac{3e}{2n^2}. \end{align*} Par comparaison à une série de Riemann convergente, la série de terme général $u_n$ est convergente.
3. On a : \begin{eqnarray*} u_n&=& \exp\left(n^2\ln\left(\frac{n}{n+1}\right)\right)\\ &=&\exp\left(-n^2\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)\right)\\ &=&\exp\left(-n^2\left(\frac 1n-\frac{1}{2n^2}+o\left(\frac1{n^2}\right)\right)\right)\\ &=&\exp\left(-n+\frac 12+o(1)\right)\\ &\sim_{+\infty}& e^{1/2}e^{-n}. \end{eqnarray*} Par comparaison à une série géométrique positive et convergente, la série de terme général $u_n$ converge.

On va d'abord déterminer un équivalent du numérateur par encadrement à une intégrale. En effet, la fonction $x\mapsto \sqrt x$ est croissante sur $[0,+\infty[$, donc pour tout $k\in\mathbb R$, on a $$\int_{k-1}^{k}\sqrt xdx\leq \sqrt k\leq \int_{k}^{k+1} \sqrt xdx.$$ On somme ces inégalités pour $k$ allant de $1$ à $n$ pour trouver $$\int_0^{n} \sqrt xdx\leq v_n\leq \int_1^{n+1} \sqrt xdx$$ où on a posé $$v_n=\sqrt 1+\sqrt 2+\dots+\sqrt n.$$ On calcule les intégrales, et on en déduit que $$v_n\sim_{+\infty}\frac 23n^{3/2}.$$ Il vient $$u_n\sim_{+\infty}\frac 23n^{\frac32-\alpha}.$$ La série $\sum_n u_n$ converge donc si et seulement si $\alpha>\frac 52$.
On peut aussi démontrer ceci par des majorations et des minorations un peu plus simple. D'abord, il est clair que $$0\leq u_n\leq \frac{n\sqrt n}{n^{\alpha}}=\frac 1{n^{\alpha-\frac 32}},$$ ce qui démontre la convergence si $\alpha>5/2$. D'autre part, si $k$ est compris entre $n/2$ et $n$, alors $\sqrt k\geq \frac{\sqrt n}{\sqrt 2}$ et donc $$u_n\geq \frac{\left( n-\lfloor \frac n2\rfloor\right)\sqrt n}{\sqrt 2 n^{\alpha}}\geq \frac{n\sqrt n}{2\sqrt 2 n^\alpha}.$$ Notons $v_n$ le membre de droite de cette inégalité. Il est équivalent à $\frac{C}{n^{\alpha-\frac 32}}.$ Si $\alpha\leq 5/2$, la série $\sum_n v_n$ diverge et il en est de même de $\sum_n u_n$ puisque $0\leq v_n\leq u_n$.

On va commencer par étudier la suite $\ln(u_n)$. On a, en effectuant un développement limité du logarithme, \begin{eqnarray*} \ln(u_n)&=&\sum_{q=2}^n \ln\left(1+\frac{(-1)^q}{\sqrt q}\right)\\ &=&\sum_{q=2}^n \left(\frac{(-1)^q}{\sqrt{q}}-\frac{1}{2q}+O(1/q^{3/2})\right). \end{eqnarray*} Or, les séries $\sum_{q=2}^n \frac{(-1)^q}{\sqrt{q}}$ et $\sum_{q=2}^n O(1/q^{3/2})$ convergent par, respectivement, le critère des séries alternées et par convergence absolue et comparaison à une série de Riemann. D'autre part, il est bien connu (par comparaison à une intégrale) que $$\sum_{q=2}^n\frac1q=\ln n+\lambda+o(1)$$ où $\lambda\in\mathbb R$. On en déduit que $$\ln(u_n)=-\frac 12\ln n+\alpha+o(1)$$ soit, en prenant l'exponentielle, $$u_n=\frac{e^\alpha}{n^{1/2}}\exp(o(1)).$$ On a donc $u_n\sim_{+\infty}\frac{e^\alpha}{n^{1/2}}$, et la série de terme général $u_n$ est donc divergente.