Préparer sa kholle : espaces préhilbertiens
L'exercice qu'il faut savoir faire
Exercice 1 - Matrice symétrique à puissance nulle [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $A\in\mathcal M_n(\mathbb R)$ symétrique. On suppose qu'il existe $p\in\mathbb N$ tel que $A^p=0$. Que vaut $A$?
L'exercice standard
Enoncé
Soit $u$ un endomorphisme autoadjoint d'un espace euclidien $E$ de dimension $n$. On note $\lambda_1\leq \lambda_2\leq\dots\leq\lambda_n$ les valeurs propres de $u$, comptées avec leur multiplicité. Démontrer que, pour tout $x\in E$, on a
$$\lambda_1 \|x\|^2\leq \langle u(x),x\rangle \leq \lambda_n \|x\|^2.$$
L'exercice pour les héros
Exercice 3 - Polynôme annulateur d'une matrice symétrique [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $n\geq 1$ et $S\in\mathcal S_n(\mathbb R)$ telle que $S^4=2S^3-3S^2.$
Démontrer que $S=0.$