Préparer sa kholle : Groupes
L'exercice qu'il faut savoir faire
Exercice 1 - Exemple de groupes - centre d'un groupe [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Montrer que l'ensemble $G$ des matrices de la forme $\begin{pmatrix}1&x&z\\0&1&y\\ 0&0&1\end{pmatrix}$ est un groupe pour le produit matriciel. Déterminer son centre, c'est-à-dire les matrices $A$ de $G$ telles que $AB=BA$ pour tout $B\in G.$
L'exercice standard
Enoncé
Soit $(G,\star)$ un groupe commutatif et $A$ l'ensemble des éléments dont l'ordre est fini et est un nombre impair.
- Démontrer que $A$ est un sous-groupe de $G$.
- Démontrer que l'application $f:x\mapsto x^2$ est un morphisme injectif du groupe $A$ dans lui-même.
L'exercice pour les héros
Enoncé
- Soit $G$ un groupe et $H,K$ deux sous-groupes de $G$ d'ordre des entiers premiers. Démontrer que $H=K$ ou que $H\cap K=\{e\}$.
- Démontrer que dans un groupe d'ordre 35, il existe un élément d'ordre 5 et un élément d'ordre 7.