Préparer sa kholle : Fonctions définies par une intégrable
L'exercice qu'il faut savoir faire
Exercice 1 - Théorème de convergence dominée - 2 [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Pour $x\geq 0$ et $n\geq 1$, on pose $f_n(x)=\left(1+\frac xn\right)^n$.
- Démontrer que, pour tout $x\geq 0$, $f_n(x)\to e^x$ et que $|f_n(x)|\leq e^x$.
- En déduire, pour $b>1$, la limite de $\int_0^{+\infty}\left(1+\frac xn\right)^n e^{-bx}dx$.
L'exercice standard
Enoncé
On pose $f(x)=\int_0^1 \frac{t^{x-1}}{1+t}dt$.
- Déterminer le domaine de définition de $f$.
- Démontrer que $f$ est continue sur son domaine de définition.
- Calculer $f(x)+f(x+1)$ pour tout $x>0$.
- En déduire un équivalent de $f$ en $0$.
- Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$.
L'exercice pour les héros
Exercice 3 - Calcul d'une transformée de Fourier par résolution d'une équation différentielle [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
En formant une équation différentielle vérifiée par $f$, calculer la valeur de
$$f(x)=\int_0^{+\infty}\frac{e^{-t}}{\sqrt t}e^{itx}dt.$$
On rappelle que $\int_0^{+\infty}e^{-u^2}du=\sqrt\pi/2$.
Permutation limites/intégrales et fonctions définies par une intégrale