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Préparer sa kholle : espaces probabilisés

L'exercice qu'il faut savoir faire

Exercice 1

- Six ou sept? [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Amir et Chloé jouent au jeu suivant : ils lancent successivement deux dés équilibrés. Si Amir obtient un 6, le jeu s'arrête et il a gagné. Si Chloé obtient un 7, le jeu s'arrête et elle a gagné. C'est Amir qui lance les dés le premier. Qui a le plus de chances de gagner?

Indication

Corrigé

Commençons par remarquer que, parmi les $36$ couples possibles pour les lancers des deux dés, cinq donnent une somme égale à $6,$ et six donnent une somme égale à $7.$ A chaque lancer, Amir a donc une probabilité égale à $5/36$ de gagner, et Chloé une probabilité égale à $6/36=1/6$ de gagner.
Soit $A$ l'événement "Amir gagne" et, pour $n\geq 1,$ $A_n$ l'événement : "Amir effectue son $n$-ème lancer et il gagne au $n$-ème lancer". L'événement $A$ est la réunion disjointe des événements $A_n$ et donc $$P(A)=\sum_{n\geq 1}P(A_n).$$ Remarquons que l'événement $A_n$ correspond au déroulement suivant : les $n-1$ premiers lancers d'Amir n'ont pas donné de $6,$ les $n-1$ premiers lancers de Chloé n'ont pas donné de $7,$ et le $n$-ème lancer d'Amir a donné un $6.$ Les lancers étant indépendants, on a $$P(A_n)=\left(\frac {31}{36}\right)^{n-1}\left(\frac 56\right)^{n-1}\times \frac{5}{36}.$$ On en déduit que \begin{align*} P(A)&=\sum_{n=1}^{+\infty}\left(\frac{155}{216}\right)^{n-1}\times\frac 5{36}\\ &=\frac{1}{1-\frac{155}{216}}\times\frac 5{36}\\ &=\frac{216}{61}\times\frac 5{36}\\ &=\frac{30}{61}. \end{align*} De la même façon, notons $C$ l'événement "Chloé gagne" et, pour $n\geq 1,$ $C_n$ l'événement : "Chloé effectue son $n$-ème lancer et elle gagne au $n$-ème lancer". L'événement $C$ est la réunion disjointe des événements $C_n$ et donc $$P(C)=\sum_{n\geq 1}P(C_n).$$ Remarquons que l'événement $C_n$ correspond au déroulement suivant : les $n$ premiers lancers d'Amir n'ont pas donné de $6,$ les $n-1$ premiers lancers de Chloé n'ont pas donné de $7,$ et le $n$-ème lancer de Chloé a donné un $7.$ Les lancers étant indépendants, on a $$P(C_n)=\left(\frac {31}{36}\right)^{n}\left(\frac 56\right)^{n-1}\times \frac{1}{6}.$$ On en déduit que \begin{align*} P(C)&=\sum_{n=1}^{+\infty}\left(\frac{155}{216}\right)^{n-1}\times\frac{31}{36}\times \frac 1{6}\\ &=\frac{1}{1-\frac{155}{216}}\times\frac {31}{216}\\ &=\frac{216}{61}\times\frac {31}{216}\\ &=\frac{31}{61}. \end{align*} Ainsi, il est plus probable que Chloé gagne. Remarquons en outre que puisque $P(A)+P(C)=1,$ le jeu aura presque sûrement un gagnant.

L'exercice standard

Exercice 2

- Une suite de jeux [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Enoncé

Des joueurs $A_1,A_2,\dots,A_n,\dots$ s'affrontent de la manière suivante : chaque manche oppose deux concurrents qui ont chacun la probabilité $\frac 12$ de gagner. La première manche oppose $A_1$ et $A_2$ et, à l'étape $n$, si elle a lieu, le gagnant de l'épreuve précédente affronte le joueur $A_{n+1}$. Le jeu s'arrête lorsque, pour la première fois, un joueur gagne deux manches consécutives.

Quelle est la probabilité que l'étape $n$ ait lieu?
En déduire que le jeu s'arrête presque sûrement.
Quelle est la probabilité que le joueur $A_n$ gagne?

Indication

Corrigé

L'exercice pour les héros

Exercice 3

- Tirer un nombre au hasard [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Enoncé

On tire au hasard un nombre entier strictement positif. On suppose que la probabilité d'obtenir $n$ vaut $1/2^n$. Pour $k\in\mathbb N^*$, on note $A_k$ l'événement "$n$ est un multiple de $k$".

Vérifier que ceci définit une probabilité sur $\mathbb N^*$.
Calculer la probabilité de $A_k$ pour $k\in\mathbb N^*$.
Calculer la probabilité de $A_2\cup A_3$.
Montrer que pour $p,q\geq 2$, alors $A_p$ et $A_q$ ne sont pas indépendants.

Espaces probabilisés