Préparer sa kholle : Équations différentielles

Exercice 1

- Solutions bornées [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Enoncé

Déterminer tous les couples $(a,b)\in\mathbb R^2$ tels que toute solution de $y''+ay'+by=0$ soit bornée.

Indication

Corrigé

Exercice 2

- Raccordement de solutions - dimensions possibles [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Enoncé

$a$ et $b$ étant deux fonctions continues sur $\mathbb R$, on considère $(E)$ l'équation différentielle $$x^2y''+a(x)y'+b(x)y=0.$$ On note $S^+$ l'espace vectoriel des fonctions de classe $C^2$ solutions de $(E)$ sur l'intervalle $I=]0,+\infty[$ et $S^-$ l'espace vectoriel des fonctions de classe $C^2$ solutions de $(E)$ sur l'intervalle $J=]-\infty,0[$, et on note $S$ l'espace vectoriel des fonctions de classe $C^2$ solutions de $(E)$ sur $\mathbb R$ tout entier. L'objectif de l'exercice est d'étudier les valeurs possibles pour la dimension de $S$.

Rappeler la dimension de $S^+$ et de $S^-$.
On note $\varphi$ l'application linéaire de $S$ vers $S^+\times S^-$ définie par $\varphi(f)=(f_{|I},f_{|J})$. Donner le noyau de $\varphi$. En déduire que $\dim S\leq 4$.
Dans cette question, on suppose que $a(x)=x$ et que $b(x)=0$, d'où $(E)$ est l'équation $x^2y''+xy'=0$. Déterminer $S^+$ et $S^-$. En déduire ensuite $S$ et sa dimension.
Dans cette question, $(E)$ est l'équation $x^2y''-6xy'+12y=0$. Déterminer deux solutions sur $I$ de la forme $x\mapsto x^\alpha$ ($\alpha$ réel). En déduire $S^+$ puis $S^-$. En déduire $S$ et sa dimension.
En s'inspirant de la question précédente, donner un exemple d'équation différentielle du type $x^2y''+a(x)y'+b(x)y=0$ tel que $\dim S=0$.

Indication

Corrigé

La fonction $x\mapsto x^2$ ne s'annulant pas sur $I$ (resp. sur $J$), on a affaire à une équation différentielle linéaire du second ordre. $S^+$ et $S^-$ sont alors deux espaces vectoriels de dimension 2.
Si $\varphi(f)=0$, alors $f$ est identiquement nulle sur $I$ et sur $J$. Par continuité de $f$, elle est aussi nulle en $0$ et donc identiquement nulle sur $\mathbb R$. Ainsi, le noyau de $\varphi$ est réduit à $\{0\}$. L'application est donc injective. Comme la dimension de l'espace d'arrivée est $\dim(S^+)\times \dim(S^-)=4$, la dimension de l'espace de départ est nécessairement inférieure ou égale à $4$.
On pose $z=y'$ et on se ramène à résoudre l'équation $xz'+z=0$ sur $I$ et sur $J$. La résolution est la même, les solutions sont les fonctions de la forme $x\mapsto \frac Cx$, $C\in\mathbb R$. Par intégration, on trouve que $S^+=\textrm{vect}\left(x\mapsto 1,x\mapsto \ln|x|\right)$. C'est la même description pour $S^-$. Ainsi, si $y$ est solution de $(E)$ sur $\mathbb R$, elle est solution sur $I$ donc il existe $a,b\in\mathbb R$ tels que, pour tout $x>0$, $$y(x)=a\ln |x|+b.$$ De même, elle est solution sur $J$ et il existe $c,d\in\mathbb R$ tels que, pour tout $x<0$, $$y(x)=c\ln |x|+d.$$ La fonction admettant une limite en zéro, il est nécessaire que $a=c=0$ et que $b=d$. Finalement, $S$ est constitué des fonctions constantes et est donc de dimension 1.
$x\mapsto x^\alpha$ est solution de $(E)$ si et seulement si $\alpha(\alpha-1)-6\alpha+12=0$. Les solutions sont $\alpha=3$ et $\alpha=4$. Comme les fonction $x\mapsto x^3$ et $x\mapsto x^4$ sont indépendantes et que l'on sait que $\dim(S^+)=\dim(S^-)=2$, alors on peut conclure que $$S^+=\textrm{vect}\left(x\mapsto x^3,x\mapsto {x^4}\right).$$ La même description vaut pour $S^-$. Maintenant, si $y$ est élément de $S$, en raisonnant comme auparavant, il existe $a,b\in\mathbb R$ tels que, pour tout $x>0$, $$y(x)=ax^3+bx^4.$$ De même, il existe $c,d\in\mathbb R$ tels que, pour tout $x<0$, $$y(x)=cx^3+dx^4.$$ Mais alors, pour toutes valeurs de $a,b,c,d$, la fonction définie ci-dessus et prolongée par continuité en posant $y(0)=0$ est de classe $C^2$ sur $\mathbb R$. On en déduit que $\dim(S)=4$.
L'idée est de trouver une équation différentielle admettant deux solutions du type $x\mapsto x^\alpha$ avec deux valeurs de $\alpha$ négatives, par exemple $\alpha=-1$ et $\alpha=-2$. Si $x\mapsto x^\alpha$ est solution de $x^2+axy'+by$, alors on a $$\alpha(\alpha-1)+a\alpha+b=0.$$ Nous, si nous voulons que $\alpha=-1$ et $\alpha=-2$ soient solutions, nous sommes ramenés à l'équation $$(\alpha+1)(\alpha+2)=0\iff \alpha^2+3\alpha+2=0\iff \alpha(\alpha-1)+4\alpha+2=0.$$ On considère alors l'équation $x^2y''+4xy'+2=0$. On a $$S^+=\textrm{vect}\left(x\mapsto \frac 1x,x\mapsto \frac1{x^2}\right)$$ et on en déduit que $S=\{0\}$ et donc que $\dim(S)=0$.

Exercice 3

- Au moins/au plus un zéro! [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Enoncé

Soit $p:\mathbb R\to\mathbb ]0,+\infty[$ une fonction continue.

Soit $y$ une solution de l'équation différentielle $y''+py=0$. Montrer que $y$ s'annule au moins une fois.
Soit $z$ une solution de l'équation différentielle $z''-pz=0$. Montrer que $z$ est identiquement nulle, ou que $z$ s'annule au plus une fois.

Indication

Corrigé