$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Préparer sa kholle : endomorphismes des espaces euclidiens

L'exercice qu'il faut savoir faire
Exercice 1 - Image et noyau de l'adjoint [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un espace vectoriel euclidien, $u\in\mcl(E)$. Montrer que $$\ker(u^*)=(\textrm{Im}(u))^\perp,\ \textrm{Im}(u^*)=(\ker u)^\perp.$$ En déduire que $\textrm{rg}(u)=\textrm{rg}(u^*)$.
Indication
Corrigé
L'exercice standard
Exercice 2 - Identité plus un endomorphisme de rang 1 [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un espace euclidien de dimension $n\geq 2$, $a$ un vecteur unitaire de $E$ et $\lambda$ un réel.
  1. Démontrer que $$f(x)=x+\lambda \langle x,a\rangle a$$ définit un endomorphisme symétrique de $E$.
  2. Déterminer les valeurs propres de $f$ et les sous-espaces propres correspondants.
Indication
Corrigé
L'exercice pour les héros
Exercice 3 - Somme d'une matrice orthogonale et de sa transposée [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $A\in\mathcal M_n(\mathbb R)$. Démontrer que les propriétés suivantes sont équivalentes :
  1. Il existe $B\in O_n(\mathbb R)$ tel que $A=B+B^T$;
  2. $A\in\mathcal S_n(\mathbb R),$ $\textrm{Sp}(A)\subset [-2,2]$ et les valeurs propres de $A$ dans $]-2,2[$ sont de multiplicité paire.
Indication
Corrigé
Endomorphismes des espaces euclidiens