Préparer sa kholle : endomorphismes des espaces euclidiens
L'exercice qu'il faut savoir faire
Enoncé
Soit $E$ un espace vectoriel euclidien, $u\in\mcl(E)$. Montrer que
$$\ker(u^*)=(\textrm{Im}(u))^\perp,\ \textrm{Im}(u^*)=(\ker u)^\perp.$$
En déduire que $\textrm{rg}(u)=\textrm{rg}(u^*)$.
L'exercice standard
Exercice 2 - Identité plus un endomorphisme de rang 1 [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un espace euclidien de dimension $n\geq 2$, $a$ un vecteur unitaire de $E$ et $\lambda$ un réel.
- Démontrer que $$f(x)=x+\lambda \langle x,a\rangle a$$ définit un endomorphisme symétrique de $E$.
- Déterminer les valeurs propres de $f$ et les sous-espaces propres correspondants.
L'exercice pour les héros
Exercice 3 - Somme d'une matrice orthogonale et de sa transposée [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $A\in\mathcal M_n(\mathbb R)$. Démontrer que les propriétés suivantes sont équivalentes :
- Il existe $B\in O_n(\mathbb R)$ tel que $A=B+B^T$;
- $A\in\mathcal S_n(\mathbb R),$ $\textrm{Sp}(A)\subset [-2,2]$ et les valeurs propres de $A$ dans $]-2,2[$ sont de multiplicité paire.