Préparer sa kholle : Anneaux
L'exercice qu'il faut savoir faire
Enoncé
On appelle nilradical d'un anneau commutatif $(A,+,\times)$ l'ensemble
de ses éléments nilpotents, c'est-à-dire l'ensemble des $x\in A$ pour lesquels il existe $n\geq 1$ de sorte que $x^n=0$.
Démontrer que le nilradical de $A$ est un idéal de $A$.
L'exercice standard
Exercice 2 - Somme de deux carrés dans $\mathbb Z/7\mathbb Z$ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
- Donner la liste des éléments de $\mathbb Z/7 \mathbb Z$ qui sont des carrés. Combien y en a-t-il ?
- Soit $a$ un élément $\mathbb Z/7 \mathbb Z$. Quel est le cardinal de l'ensemble $\{-x^2+a:x\in\mathbb Z/7 \mathbb Z\}$ ?
- En déduire que, pour un $a$ donné dans $\mathbb Z/7 \mathbb Z$, l'équation $x^2+y^2=a$ a toujours une solution, où $x,y$ sont dans $\mathbb Z/7 \mathbb Z$.
- Donner une solution explicite de l'équation $u^2+v^2 \equiv -1~(\text{mod}~7)$, avec $u,v\in\mathbb Z$.
L'exercice pour les héros
Enoncé
Soit $A$ un anneau commutatif. On dit que $A$ est local si l'ensemble $V(A)$ de ses éléments non inversibles est un idéal.
- Soit $m=p^n$ avec $p$ premier et $n\in\mathbb N^*$. Démontrer que $\mathbb Z/m\mathbb Z$ est local.
- Soit $m\geq 2$. Démontrer que $\mathbb Z/m\mathbb Z$ est local si et seulement s'il existe un entier premier $p$ et $n\in\mathbb N^*$ tel que $m=p^n.$