$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Préparer sa kholle : Anneaux

L'exercice qu'il faut savoir faire
Enoncé
On appelle nilradical d'un anneau commutatif $(A,+,\times)$ l'ensemble de ses éléments nilpotents, c'est-à-dire l'ensemble des $x\in A$ pour lesquels il existe $n\geq 1$ de sorte que $x^n=0$. Démontrer que le nilradical de $A$ est un idéal de $A$.
Indication
Corrigé
L'exercice standard
Exercice 2 - Somme de deux carrés dans $\mathbb Z/7\mathbb Z$ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
  1. Donner la liste des éléments de $\mathbb Z/7 \mathbb Z$ qui sont des carrés. Combien y en a-t-il ?
  2. Soit $a$ un élément $\mathbb Z/7 \mathbb Z$. Quel est le cardinal de l'ensemble $\{-x^2+a:x\in\mathbb Z/7 \mathbb Z\}$ ?
  3. En déduire que, pour un $a$ donné dans $\mathbb Z/7 \mathbb Z$, l'équation $x^2+y^2=a$ a toujours une solution, où $x,y$ sont dans $\mathbb Z/7 \mathbb Z$.
  4. Donner une solution explicite de l'équation $u^2+v^2 \equiv -1~(\text{mod}~7)$, avec $u,v\in\mathbb Z$.
Indication
Corrigé
L'exercice pour les héros
Enoncé
Soit $A$ un anneau commutatif. On dit que $A$ est local si l'ensemble $V(A)$ de ses éléments non inversibles est un idéal.
  1. Soit $m=p^n$ avec $p$ premier et $n\in\mathbb N^*$. Démontrer que $\mathbb Z/m\mathbb Z$ est local.
  2. Soit $m\geq 2$. Démontrer que $\mathbb Z/m\mathbb Z$ est local si et seulement s'il existe un entier premier $p$ et $n\in\mathbb N^*$ tel que $m=p^n.$
Indication
Corrigé