Capes : exercices sur les suites

Exercice 1

- Nature [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Étudier la nature des suites suivantes, et déterminer leur limite éventuelle : $$\begin{array}{lcl} \displaystyle \mathbf 1.\ u_n=\frac{\sin(n)+3\cos\left(n^2\right)}{\sqrt{n}}&&\displaystyle \mathbf 2.\ u_n=\frac{2n+(-1)^n}{5n+(-1)^{n+1}}\\[0.1cm] \displaystyle \mathbf 3.\ u_n=\frac{n^3+5n}{4n^2+\sin(n)+\ln(n)}&&\displaystyle \mathbf 4.\ u_n= \sqrt{2n+1}-\sqrt{2n-1}\\[0.1cm] \displaystyle \mathbf 5.\ u_n=3^ne^{-3n}.&&\displaystyle \mathbf 6.\ u_n=\frac{n^3+2^n}{n^2+3^n}. \end{array}$$

Indication

Corrigé

Exercice 2

- Fonction décroissante - avec indications [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Enoncé

Soit $f:]0,+\infty[\to]0,+\infty[$ définie par $f(x)=1+\frac{2}{x}$. On considère la suite récurrente $(u_n)$ vérifiant $u_{n+1}=f(u_n)$ et $u_0=1$.

Étudier le sens de variation de $f$ sur $[1,3]$ et montrer que l'intervalle $[1,3]$ est stable par $f$. Que peut-on en déduire sur $(u_n)$?
Soit $(v_n)$ et $(w_n)$ les suites définies par $v_{n}=u_{2n}$ et $w_n=u_{2n+1}$. Montrer que $(v_n)$ est croissante.
Démontrer que $(w_n)$ est décroissante.
En déduire que $(v_n)$ et $(w_n)$ sont convergentes et déterminer leur limite respective.
Quelle est la nature de la suite $(u_n)$?

Indication

Corrigé

Exercice 3

- Vrai/Faux [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Enoncé

Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites réelles. Dire si les assertions suivantes sont vraies ou fausses. Lorsqu'elles sont vraies, les démontrer. Lorsqu'elles sont fausses, donner un contre-exemple.

Si $(u_n)$ et $(v_n)$ divergent, alors $(u_n+v_n)$ diverge.
Si $(u_n)$ et $(v_n)$ divergent, alors $(u_n\times v_n)$ diverge.
Si $(u_n)$ converge et $(v_n)$ diverge, alors $(u_n+v_n)$ diverge.
Si $(u_n)$ converge et $(v_n)$ diverge, alors $(u_n\times v_n)$ diverge.
Si $(u_n)$ n'est pas majorée, alors $(u_n)$ tend vers $+\infty$.
Si $(u_n)$ est positive et tend vers 0, alors $(u_n)$ est décroissante à partir d'un certain rang.

Indication

Corrigé

Exercice 4

- Avec des quantificateurs [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Enoncé

Soit $(u_n)$ une suite de nombres réels. Écrire avec des quantificateurs les propositions suivantes :

$(u_n)$ est bornée.
$(u_n)$ n'est pas croissante.
$(u_n)$ n'est pas monotone.
$(u_n)$ n'est pas majorée.
$(u_n)$ ne tend pas vers $+\infty$.

Indication

Corrigé

Exercice 5

- Où est l'erreur? [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Enoncé

Voici un extrait d'une copie d'élève :

Proposition : Soit $(u_n)$ une suite d'éléments de l'intervalle $]0,1[$. Alors la suite $(u_n^n)$ converge vers 0.
Démonstration : Pour tout $n \geq 1$, on a $u_n <1$. L'intervalle $]u_n, 1[$ est donc non vide, donc il existe $a$ tel que $0<u_n < a < 1$. Sur $\mathbb{R}^+$, la fonction $x \mapsto x^n$ est croissante, donc on a $0<u_n^n<a^n$. Comme $0<a<1$, on sait que $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} a^n = 0$ (en effet, $a^n = e^{n \ln(a)}$ et vu que $0<a<1$, on a $\ln(a)<0$ donc $n \ln(a) \to -\infty$ quand $n \to +\infty$).
Par le théorème des gendarmes, vu que $0<u_n^n<a^n$ et que $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} a^n = 0$, on en déduit que $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n^n = 0$.

Démontrer que la proposition énoncée est fausse.
Expliquer de façon claire et précise l'erreur commise.

Indication

Corrigé

Exercice 6

- Une suite définie comme étant la racine d'un polynôme [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Enoncé

Pour $n\geq 1$, on considère le polynôme $P_n(X)=X^n+X^{n-1}+\dots+X-1$.

Démontrer que $P_n$ possède une seule racine dans $\mathbb R_+$, que l'on note $u_n$.
Démontrer que la suite $(u_n)$ est décroissante, et en déduire qu'elle converge.
Démontrer que, pour tout $n\geq 1$, $u_n\geq\frac 12$.
Soit $\rho\in ]1/2,1[$. Démontrer que $\lim_{n\to+\infty}P_n(\rho)>0$.
Démontrer que $(u_n)$ converge vers $\frac 12$.

Indication

Corrigé

Exercice 7

- Irrationalité de $e$ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Enoncé

Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ les deux suites définies pour $n\geq 1$ par : $$u_n=\sum_{k=0}^n\frac{1}{k!},\ \ v_n=u_n+\frac{1}{n\times n!}.$$

Montrer que les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont adjacentes. On note $e$ leur limite commune.
Montrer que, pour tout $n\in\mathbb N^*$, $n! u_n< n! e < n!u_n+\frac 1n.$
En déduire que $e$ est un nombre irrationnel (on pourra procéder par l'absurde).
Écrire une fonction $\verb+approx(ecart)+$ sous Python qui renvoie un encadrement de $e$ avec une amplitude inférieure à ecart.

Indication

Corrigé

Exercice 8

- Méthode d'Archimède [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Enoncé

On définit deux suites $(p_n)$ et $(q_n)$ par les formules suivantes : $$\left\{ \begin{array}{rcl} p_0&=&\displaystyle \frac{3\sqrt 3}2\\ q_0&=&3\sqrt 3\\ q_{n+1}&=&\displaystyle \frac{2p_nq_n}{p_n+q_n}\\ p_{n+1}&=&\displaystyle \sqrt{p_n q_{n+1}} \end{array} \right. $$ On admettra que les suites $(p_n)$ et $(q_n)$ sont bien définies et vérifient, pour tout $n\in\mathbb N$, $p_n>0$ et $q_n>0$. Pour les quatre premières questions, on fera très attention à la nécessité, ou non, d'utiliser un raisonnement par récurrence.

Montrer que, pour tout $n\in\mathbb N$, on a $p_n\leq q_n$.
En déduire que la suite $(q_n)$ est décroissante.
Montrer que, pour tout $n\in\mathbb N$, on a $p_n\leq q_{n+1}$.
En déduire que la suite $(p_n)$ est croissante.
1. Vérifier que, si $x,y$ sont des réels strictement positifs, alors $\frac{2xy}{x+y}\leq\frac 12(x+y)$.
2. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, on a $$q_{n+1}-p_{n+1}\leq \frac 12\left(q_n-p_n\right).$$
Démontrer que les suites $(p_n)$ et $(q_n)$ sont adjacentes. On note $\ell$ leur limite.
Écrire un algorithme donnant un encadrement de $\ell$ à $10^{-10}$ près.
Dans la suite, on souhaite déterminer la valeur de $\ell$ (et donner une explication géométrique à la construction de ces deux suites). On se place dans le plan muni d'un repère orthonormé. Soit $\theta\in [0,\pi]$ et $A(\theta)$ le point d'affixe $e^{i\theta}$. Démontrer que la distance $A(0)A(\theta)$ vaut $2\sin(\theta/2)$.
Pour $n\in\mathbb N$, on note $u_n$ la moitié du périmètre d'un polygone régulier inscrit dans le cercle unité à $3\times 2^n$ côtés. Démontrer que $$u_n=3\times 2^n\times\sin(a_n)$$ où $a_n=\frac{\pi}{3\times 2^n}$.
On définit de même la suite $(v_n)$ pour $n\in\mathbb N$ par $$v_n=3\times 2^n\times\tan(a_n).$$ On démontre que, pour $n\in\mathbb N$, $v_n$ est la moitié du périmètre d'un polygone régulier à $3\times 2^n$ côtés dont le cercle inscrit est le cercle unité.
Vérifier que, pour tout $n\in\mathbb N$, $$u_{n+1}=\sqrt{u_n v_{n+1}}\textrm{ et }v_{n+1}=\frac{2u_nv_n}{u_n+v_n}.$$
Que peut-on en déduire sur les suites $(u_n)$, $(v_n)$, $(p_n)$ et $(q_n)$?
Quelle est la limite commune des suites $(p_n)$ et $(q_n)$?

Indication

Corrigé

Notons, pour $n\in\mathbb N$, $\mathcal P(n)$ la propriété ``$p_n\leq q_n$''. Démontrons par récurrence sur $n$ que la propriété $\mathcal P(n)$ est vérifiée.
Initialisation : On a $p_0=q_0/2$ et donc $p_0\leq q_0$. La propriété $\mathcal P(0)$ est vérifiée.
Hérédité : Soit $n\in\mathbb N$ tel que $\mathcal P(n)$ est vérifiée. Alors on a $$\frac{p_{n+1}}{q_{n+1}}=\frac{\sqrt{p_n q_{n+1}}}{q_{n+1}}=\frac{\sqrt p_n}{\sqrt {q_{n+1}}}=\frac{\sqrt{p_n+q_n}}{\sqrt{2q_n}}.$$ Or, par hypothèse de récurrence, on a $0\leq p_n+q_n\leq 2q_n$. Puisque la fonction racine carrée est croissante, on a $0\leq\sqrt{p_n+q_n}\leq \sqrt{2q_n}$ et donc $p_{n+1}\leq q_{n+1}$. La propriété $\mathcal P(n+1)$ est vraie.
Conclusion : Par le principe de récurrence, pour tout $n\in\mathbb N$, on a $p_n\leq q_n$.
Soit $n\in\mathbb N$. Par la question précédente, on a $$0<2p_n\leq p_n+q_n\implies \frac{2p_n}{p_n+q_n}\leq 1$$ et donc $q_{n+1} \leq q_n$. La suite $(q_n)$ est décroissante.
Soit $n\in\mathbb N$. On a $$\frac{q_{n+1}}{p_n}=\frac{2q_n}{p_n+q_n}$$ et en utilisant que $p_n\leq q_n$, on démontre de la même façon que précédemment que $\frac{2q_n}{p_n+q_n}\geq 1$. Ceci prouve que $q_{n+1}\geq p_n$.
Soit $n\in\mathbb N$. On a $$\frac{p_{n+1}}{p_n}=\sqrt{\frac{q_{n+1}}{p_n}}.$$ On conclut que $p_{n+1}\leq p_n$ en utilisant le résultat de la question précédente et la croissance de la fonction racine carrée.
1. On sait que $(x-y)^2\geq 0$. Développant cette inégalité, on a $x^2+y^2-2xy\geq 0$. Ajoutons $4xy$. On trouve $(x+y)^2=x^2+y^2+2xy\geq 4xy$. Il suffit ensuite de diviser par $x+y>0$ pour obtenir le résultat voulu.
2. Remplaçant $q_{n+1}$ par sa valeur et utilisant le résultat de la question précédente, on a $$q_{n+1}-p_{n+1}=\frac{2p_nq_n}{p_n+q_n}-p_{n+1}\leq \frac 12\left(p_n+q_n-2p_{n+1}\right).$$ Ensuite, par croissance de la suite $(p_n)$, on a $p_n\leq p_{n+1}$ et donc $$p_n+q_n-2p_{n+1}\leq p_n+q_n-2p_n=q_n-p_n.$$ Le résultat en découle.
On a $q_0-p_0=\frac{3\sqrt 3}2$, et on sait que pour tout $n\in\mathbb N$, $$q_{n+1}-p_{n+1}\leq \frac 12\left(q_n-p_n\right).$$ Par une récurrence facile dont la rédaction est laissée au lecteur, on a pour tout $n\in\mathbb N$, $$q_n-p_n\leq \frac{3\sqrt 3}2\left(\frac 12\right)^n.$$ Puisque de plus $q_n-p_n\geq 0$, on déduit du théorème des gendarmes que $(q_n-p_n)$ tend vers 0. Comme on savait déjà que $(p_n)$ est croissante et que $(q_n)$ est décroissante, on obtient bien que les deux suites $(p_n)$ et $(q_n)$ sont adjacentes.
Il y a deux points un peu subtils dans l'algorithme. D'abord, du fait que les $(p_n)$ et $(q_n)$ sont adjacentes, on a pour tout $n\in\mathbb N$, $p_n\leq \ell\leq q_n$. Il suffit que $q_n-p_n\leq 10^{-10}$ pour avoir un encadrement de $\ell$ à $10^{-10}$ près. D'autre part, pour le calcul successif des termes de la suite à l'intérieur d'une boucle Tant que, il est préférable de calculer d'abord $q_{n+1}$ (qui utilise les "anciennes valeurs" $p_n$ et $q_n$), puis $p_{n+1}$ (qui utilise l'ancien $p_n$, mais le nouveau $q_n$). Ceci donne en Python :

from math import *

p=3*sqrt(3)/2
q=3*sqrt(3)

while (q-p)>10**(-10):
q=(2*p*q)/(p+q)
p=sqrt(p*q)

print p,q
En utilisant (par exemple) les coordonnées de $A(0)$ et de $A(\theta)$, et la formule de trigonométrie $1-\cos u=2\sin^2(u/2)$, on a \begin{eqnarray*} A(0)A(\theta)&=&\sqrt{(1-\cos\theta)^2+\sin^2\theta}\\ &=&\sqrt{1-2\cos\theta+\cos^2\theta+\sin^2\theta}\\ &=&\sqrt{2-2\cos\theta}\\ &=&2\sqrt{\sin^2(\theta/2)}\\ &=&2\sin(\theta/2) \end{eqnarray*} puisque $\sin(\theta/2)\geq 0$ lorsque $\theta\in [0,\pi]$.
Les points $A(e^{\frac{ik2\pi}{3\cdot 2^n}})$, pour $k=0,\dots,n-1$, sont les sommets d'un polygone régulier à $3\times 2^n$ côtés inscrit dans le cercle unité. Son périmètre vaut $3\times 2^n A(0)A(e^{\frac{i2\pi}{3\times 2^n}})$. La question précédente donne alors le résultat.
Remarquons que $a_{n+1}=a_n/2$. On en déduit que $$\sqrt{\sin(a_n)\tan(a_{n+1})}=\sqrt{2\sin(a_{n+1})\cos(a_{n+1})\tan(a_{n+1})}=\sqrt 2 \sin(a_{n+1)}$$ (car $\sin(a_{n+1})\geq 0$). Ceci donne facilement $u_{n+1}=\sqrt{u_n v_{n+1}}$. De la même façon, on écrit que \begin{eqnarray*} \frac{2\sin(a_n)\tan(a_n)}{\sin(a_n)+\tan(a_n)}&=&\frac{2\sin(a_n)\sin(a_n)}{\sin(a_n)\cos(a_n)+\sin(a_n)}\\ &=&\frac{2\sin(a_n)}{1+\cos(a_n)}\\ &=&\frac{4\sin^2(a_n/2)\cos(a_n/2)}{2\cos^2(a_n/2)}\\ &=&2\tan(a_n/2). \end{eqnarray*} Ceci donne la relation $v_{n+1}=\frac{2u_n v_n}{u_n+v_n}$.
On remarque que $u_0=p_0$ et que $v_0=q_0$. De plus, les relations de récurrence liant $u_{n+1}$ et $v_{n+1}$ à $u_n$ et $v_n$ sont les mêmes que les relations de récurrence liant $p_{n+1}$ et $q_{n+1}$ à $p_n$ et $q_n$. Ainsi, on déduit (par récurrence laissée au lecteur...) que pour tout $n\in\mathbb N$, on a $u_n=p_n$ et $v_n=q_n$.
Puisque $\sin x\sim_0 x$, on a $$u_n=3\times 2^n\times\sin(a_n)\sim_{+\infty} 3\times 2^n\times \frac{\pi}{3\times 2^n}=\pi.$$ Ainsi, la suite $(u_n)$ converge vers $\pi$. Il en est de même des suites $(p_n)$ et $(q_n)$.

Exercice 9

- Moyenne de Ces\`aro [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Enoncé

Soit $(u_n)_{n\geq 1}$ une suite réelle. On pose $S_n=\frac{u_1+\dots+u_n}{n}$.

On suppose que $(u_n)$ converge vers 0. Soient $\veps>0$ et $n_0\in\mathbb N^*$ tel que, pour $n\geq n_0$, on a $|u_n|\leq\veps$.
1. Montrer qu'il existe une constante $M$ telle que, pour $n\geq n_0$, on a $$|S_n|\leq \frac{M(n_0-1)}{n}+\veps.$$
2. En déduire que $(S_n)$ converge vers 0.
On suppose que $u_n=(-1)^n$. Que dire de $(S_n)$? Qu'en déduisez-vous?
On suppose que $(u_n)$ converge vers $l$. Montrer que $(S_n)$ converge vers $l$.
On suppose que $(u_n)$ tend vers $+\infty$. Montrer que $(S_n)$ tend vers $+\infty$.

Indication

Corrigé

Exercice 10

- Toute suite croissante et majorée converge [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Enoncé

Le but de cet exercice est de démontrer que toute suite croissante et majorée converge.

Rappeler la définition de la borne supérieure d'une partie $A$ de $\mathbb R$.
La condition "$A$ est non-vide et majorée" est-elle une condition nécessaire pour que $A\subset \mathbb R$ admette une borne supérieure? une condition suffisante? une condition nécessaire et suffisante?
Les ensembles suivants admettent-ils une borne supérieure? Si oui, la déterminer. $$A=\left\{\frac 1n;\ n\in\mathbb N^*\right\},\ B=\left\{1-\frac 1n;\ n\in\mathbb N^*\right\}.$$
Soit $(u_n)_{n\in\mathbb N}$ une suite croissante de réels, majorée. On note $A=\{u_n;\ n\in\mathbb N\}$ et $\ell =\sup A$. Soit $\veps>0$. Justifier qu'il existe $n_0\in\mathbb N$ tel que $u_{n_0}\in [\ell-\veps;\ell]$.
En déduire que $(u_n)_{n\in\mathbb N}$ converge vers $\ell$.

Indication

Corrigé