Capes : exercices sur les séries
Pour réviser
Enoncé
Etudier la convergence des séries $\sum u_n$ suivantes :
$$\begin{array}{lllll}
\displaystyle \mathbf 1.\ u_n=\frac{n}{n^3+1}&&\displaystyle \mathbf 2.\ u_n=\frac{\sqrt n}{n^2+\sqrt n}&&\displaystyle \mathbf 3.\ \dis u_n=n\sin(1/n)\\
\displaystyle \mathbf 4.\ u_n=\frac{1}{\sqrt{n}}\ln\left(1+\frac{1}{\sqrt{n}}\right)&&
\displaystyle \mathbf 5.\ u_n=\frac{(-1)^n +n}{n^2+1}
&&\displaystyle \mathbf 6.\ u_n=\frac{1}{n!}\\
\displaystyle \mathbf 7.\ u_n=\frac{3^n+n^4}{5^n-2^n}
&&\displaystyle \mathbf 8.\ u_n=\frac{n+1}{2^n+8}
&&\displaystyle \mathbf 9.\ u_n=\frac{1}{\ln(n^2+1)}
\end{array}$$
Enoncé
Discuter, suivant la valeur des paramètres, la convergence des séries suivantes :
$$\begin{array}{lll}
\displaystyle \mathbf 1.\ e^{\frac 1n}-a-\frac{b}{n},\ a,b\in\mathbb R &&
\displaystyle \mathbf 2.\ \cos\left(\frac 1n\right)-a-\frac bn,\ a,b\in\mathbb R.\\
\displaystyle \mathbf 3.\ \frac{1}{an+b}-\frac{c}n,\ a,b,c\in\mathbb R,\ (a,b)\neq (0,0)
\end{array}$$
Enoncé
- Démontrer que la série $\sum_n \frac{(-1)^n}{\sqrt n}$ converge.
- Démontrer que $\displaystyle \frac{(-1)^n}{\sqrt n+(-1)^n}=\frac{(-1)^n}{\sqrt n}-\frac1n+\frac{(-1)^n}{n\sqrt n}+o\left(\frac 1{n\sqrt n}\right)$.
- Étudier la convergence de la série $\displaystyle \sum_n \frac{(-1)^n}{\sqrt n+(-1)^n}$.
- Qu'a-t-on voulu mettre en évidence dans cet exercice?
Enoncé
Montrer que la série de terme général
$$u_n=\frac{1}{\sqrt{n-1}}-\frac{2}{\sqrt{n}}+\frac{1}{\sqrt{n+1}}$$
(pour $n\geq 2$) est convergente, et calculer sa somme.
Enoncé
Soit $\sum_n u_n$ une série à termes positifs.
- On suppose que $\sum_n u_n$ converge. Prouver que, pour tout $\alpha>1$, $\sum_n u_n^\alpha$ converge.
- On suppose que $\sum_n u_n$ diverge. Prouver que, pour tout $\alpha\in]0,1[$, $\sum_n u_n^\alpha$ diverge.
Pour progresser
Enoncé
Soit $x\in ]-1,1[$. Calculer $\displaystyle \sum_{k=0}^{+\infty}kx^k$.
Exercice 7 - Une preuve du théorème des séries alternées [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Le but de l'exercice est de démontrer le théorème des séries alternées : si $(a_n)$ est une suite décroissante de réels positifs qui tend vers $0$, alors la suite $(S_n)$ définie pour $n\geq 0$ par
$$S_n=\sum_{k=0}^n (-1)^k a_k$$
est convergente. On pose pour $n\geq0$, $u_n=S_{2n}$ et $v_n=S_{2n+1}$.
- Démontrer que les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont adjacentes.
- En déduire que la suite $(S_n)$ est convergente. On note $\ell$ sa limite.
- Justifier que, pour tout $n\in\mathbb N$, $v_n\leq \ell\leq u_n$.
- On suppose pour toute la suite de l'exercice que $a_n=\frac{1}{n+1}$. Donner un algorithme donnant un encadrement de $\ell$ d'amplitude inférieur ou égal à $10^{-6}$.
- Dans cette question, on va prouver que $\ell=\ln 2$.
- Pour $n\geq 1$ et $x\in[0,1]$, justifier l'égalité $$\frac{1}{1+x}=1-x+\dots+(-1)^n x^n+\frac{(-1)^{n+1}x^{n+1}}{1+x}.$$
- On pose, pour $n\geq 1$, $$I_n=\int_0^1 \frac{x^{n+1}}{1+x}dx.$$ Démontrer que $(I_n)$ tend vers 0.
- Conclure.
Enoncé
Pour $n\geq 1$, on note $H_n=\sum_{k=1}^n \frac 1k$.
- Démontrer que, pour tout $n\geq 1$, $$\ln(n+1)\leq H_n\leq 1+\ln(n).$$
- En déduire un équivalent de $H_n$.
- On pose pour $n\geq 1$, $v_n=H_n-\ln(n+1)$. Vérifier que, pour $n\geq 2$, $v_{n}-v_{n-1}=\frac 1n-\ln\left(1+\frac 1n\right)$.
- Étudier la monotonie de $(v_n)$. En déduire que $(v_n)$ est convergente. On note $\gamma$ sa limite et on pose pour $n\geq 1$, $w_n=H_n-\ln(n+1)-\gamma$.
-
- Vérifier que, pour tout $x\geq 0$, $$\ln(1+x)=x-\int_0^x \frac{(x-t)}{(1+t)^2}dt.$$
- En déduire que, pour tout $x\geq 0$, $$\left|\ln(1+x)-x\right|\leq\frac{x^2}2.$$
- Démontrer que, pour tout $n\geq 2$, $$\left|w_n-w_{n-1}\right|\leq \frac{1}{2n^2}.$$
- Soit $M>N\geq 1$. Démontrer que $$\sum_{k=N+1}^M \frac1{k^2}\leq \frac1{N}.$$
- En déduire, sous les mêmes hypothèses, que $$|w_M-w_N|\leq \frac1{2N}$$ puis que $$|v_N-\gamma|\leq \frac{1}{2N}.$$
- Écrire un algorithme permettant de calculer une valeur approchée de $\gamma$ à $10^{-3}$ près.
Exercice 9 - Somme de la série des inverses des carrés [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Le but de l'exercice est de calculer $\sum_{n\geq 1}\frac1{n^2}$.
- Soit $f$ une fonction de classe $C^1$ sur $[0,\pi]$. Démontrer que $$\int_0^\pi f(t)\sin\left(\frac{(2n+1)t}{2}\right)dt\longrightarrow_{n\to+\infty}0.$$
- On pose $A_n(t)=\frac12+\sum_{k=1}^n \cos(kt).$ Vérifier que, pour $t\in]0,\pi]$, on a $$A_n(t)=\frac{\sin\left((2n+1)t/2\right)}{2\sin(t/2)}.$$
- Déterminer deux réels $a$ et $b$ tels que, pour tout $n\geq 1$, $$\int_0^\pi (at^2+bt)\cos(nt)dt=\frac1{n^2}.$$ Vérifier alors que $$\int_0^\pi(at^2+bt)A_n(t)=S_n-\frac{\pi^2}6$$ où on a posé $S_n=\sum_{k=1}^n \frac1{k^2}$.
- Déduire des questions précédentes que $S_n\to \frac{\pi^2}6.$
Enoncé
Dans l'exercice donné aux étudiants, on considère la suite $(S_n)$ définie par
$$S_n=\sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{k+1}.$$
On a prouvé que $(S_n)$ converge vers une limite $\ell$, et que, si on pose $u_n=S_{2n}$ et $v_n=S_{2n+1}$, alors pour tout entier $n$, on a $v_n\leq \ell\leq u_n$. Il est demandé aux étudiants d'écrire un algorithme donnant un encadrement de $\ell$ d'amplitude inférieur ou égal à $0.001$. Voici leurs réponses. Analysez-les.
Étudiant 1 :
n:=2
u:=5/6
v:=7/12
Tant que u-v>0.001 faire
u=u-1/(2n)+1/(2n+1)
v=u-1/(2n+2)
Fin Tant que
Retourner u et v.
a=1
c=1/2
n=0
b=a
d=c
tant que (a-c>0.001) faire
n=n+1
b=a
a=b+(-1)/(2n+1)+1/(2n+2)
d=c
c=d+1/(2n+2)-1/(2n+3)
Afficher a et b
Entrées :
u=1
v=1/2
n=0
Traitement :
Tant que (v-u>0.001)
n=n+1
u=u+somme{k=0 à 2n}(-1)^k/(k+1)
v=v+somme{k=0 à 2n+1}(-1)^k/(k+1)
Sortie : u,v
Variables : u,v,n,k
Initialisation :
u=1
v=1/2
k=0
n=0
Traitement :
Tant que (u-v>0.001) faire
Pour k allant de 1 à 2n faire
u=u+(-1)^k/k+1
Pour k allant de 1 à 2n+1 faire
v=v+(-1)^k/(k+1)
n=n+1
Sortie : Afficher u,v
Variables : a,b,n,u,v
Initialisation :
u=1
v=1/2
a=1/2
b=1
Traitement
Tant que (a>0.001)
n=n+1
a=1/(2n+2)
b=1/(2n+1)
u=v+b
v=u-a
Sortie : u,v
s=0
t=0
Pour k=0 à 1000 faire
s=s+(-1)^k/(k+1)
Fin Pour.
t=s+(-1)^(1001)/1002
Afficher s,t
Étudiant 1 :
n:=2
u:=5/6
v:=7/12
Tant que u-v>0.001 faire
u=u-1/(2n)+1/(2n+1)
v=u-1/(2n+2)
Fin Tant que
Retourner u et v.
Étudiant 2 :
a=1
c=1/2
n=0
b=a
d=c
tant que (a-c>0.001) faire
n=n+1
b=a
a=b+(-1)/(2n+1)+1/(2n+2)
d=c
c=d+1/(2n+2)-1/(2n+3)
Afficher a et b
Étudiant 3 :
Entrées :
u=1
v=1/2
n=0
Traitement :
Tant que (v-u>0.001)
n=n+1
u=u+somme{k=0 à 2n}(-1)^k/(k+1)
v=v+somme{k=0 à 2n+1}(-1)^k/(k+1)
Sortie : u,v
Étudiant 4 :
Variables : u,v,n,k
Initialisation :
u=1
v=1/2
k=0
n=0
Traitement :
Tant que (u-v>0.001) faire
Pour k allant de 1 à 2n faire
u=u+(-1)^k/k+1
Pour k allant de 1 à 2n+1 faire
v=v+(-1)^k/(k+1)
n=n+1
Sortie : Afficher u,v
Étudiant 5 :
Variables : a,b,n,u,v
Initialisation :
u=1
v=1/2
a=1/2
b=1
Traitement
Tant que (a>0.001)
n=n+1
a=1/(2n+2)
b=1/(2n+1)
u=v+b
v=u-a
Sortie : u,v
Étudiant 6 :
s=0
t=0
Pour k=0 à 1000 faire
s=s+(-1)^k/(k+1)
Fin Pour.
t=s+(-1)^(1001)/1002
Afficher s,t