Capes : réduction des endomorphismes
Enoncé
- En dimension finie, un endomorphisme admet un nombre fini de vecteurs propres.
- Si $A$ est diagonalisable, alors $A^2$ est diagonalisable.
- Si $A^2$ est diagonalisable, alors $A$ est diagonalisable.
- Tout endomorphisme d'un espace vectoriel réel de dimension impaire admet au moins une valeur propre (réelle).
- La somme de deux matrices diagonalisables est diagonalisable.
Pour réviser
Enoncé
Soit $E=\mathbb C^\mathbb N$ l'espace des suites à coefficients complexes, et $\phi$ l'endomorphisme de $E$ qui à une suite $(u_n)$ associe la suite $(v_n)$ définie par $v_0=u_0$ et pour tout $n\geq 1$,
$$v_n=\frac{u_n+u_{n-1}}2.$$
Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de $\phi$.
Enoncé
Diagonaliser les matrices suivantes :
$$A=\left(\begin{array}{ccc}
0&2&-1\\
3&-2&0\\
-2&2&1
\end{array}\right),\textrm{ } B=\left(\begin{array}{ccc}
0&3&2\\
-2&5&2\\
2&-3&0
\end{array}\right), C=\left(\begin{array}{ccc}
1&0&0\\
0&1&0\\
1&-1&2
\end{array}\right).$$
On donnera aussi la matrice de passage de la base canonique à la base de vecteurs propres.
Enoncé
Expliquer sans calculs pourquoi la matrice suivante n'est pas diagonalisable :
$$A=\left(\begin{array}{ccc}
\pi&1&2\\
0&\pi&3\\
0&0&\pi
\end{array}\right).$$
Enoncé
Soit $A=\left(\begin{array}{cc}
-5&3\\
6&-2
\end{array}\right).$
Montrer que $A$ est diagonalisable et calculer ses valeurs propres. En déduire qu'il existe une matrice $B$ telle que
$B^3=A$.
Exercice 6 - Application à des suites récurrentes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $A$ la matrice
$\left(\begin{array}{ccc}
-4&-6&0\\
3&5&0\\
3&6&5\end{array}\right)$.
- Diagonaliser $A$.
- Calculer $A^n$ en fonction de $n$.
- On considère les suites $(u_n)$, $(v_n)$ et $(w_n)$ définies par leur premier terme $u_0$, $v_0$ et $w_0$ et les relations suivantes : $$\left\{ \begin{array}{rcl} u_{n+1}&=&-4u_n-6v_n\\ v_{n+1}&=&3u_n+5v_n\\ w_{n+1}&=&3u_n+6v_n+5w_n \end{array} \right.$$ pour $n\geq 0$. On pose $X_n=\left( \begin{array}{c}u_n\\v_n\\w_n\end{array}\right)$. Exprimer $X_{n+1}$ en fonction de $A$ et $X_n$. En déduire $u_n$, $v_n$ et $w_n$ en fonction de $n$.
Pour progresser
Enoncé
Soit $A=\left(\begin{array}{cccc}
1&1&1&1\\
2&2&2&2\\
3&3&3&3\\
4&4&4&4
\end{array}\right)$.
- Déterminer, sans calculer le polynôme caractéristique, les valeurs propres de $A$. $A$ est-elle diagonalisable?
- Plus généralement, donner une condition nécessaire et suffisante pour qu'une matrice de rang 1 soit diagonalisable.
Exercice 8 - Diagonalisation par polynôme minimal [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $U$ la matrice $$U=\left(\begin{array}{cccc}
0&1&1&1\\
1&0&1&1\\
1&1&0&1\\
1&1&1&0
\end{array}\right).$$
- Calculer $U^2$ et en déduire une relation simple liant $U^2$, $U$ et $I_4$.
- En déduire que $U$ est diagonalisable et donner ses valeurs propres.
- Diagonaliser $U$.
Exercice 9 - Sous-espaces stables et endomorphismes qui commutent [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un $\mathbb K$-espace vectoriel et $u,v$ deux endomorphismes de $E$.
- Démontrer que si $u\circ v=v\circ u$, alors $\textrm{Im}(u)$ et $\ker(u)$ sont stables par $v$. La réciproque est-elle vraie?
- On suppose désormais que $u$ est un projecteur. Démontrer que $u\circ v=v\circ u$ si et seulement si $\ker(u)$ et $\textrm{Im}(u)$ sont stables par $v$.
Enoncé
Soit $E$ un $\mathbb K$-espace vectoriel de dimension finie.
- Soient $u,v\in\mathcal L(E)$ diagonalisables tels que $u\circ v=v\circ u$. Démontrer qu'il existe une base de $E$ dans laquelle les matrices de $u$ et $v$ sont simultanément diagonales.
- Plus généralement, soit $u_1,\dots,u_m$ une famille d'endomorphismes diagonalisables de $E$ commutant deux à deux, $m\geq 1$. Montrer qu'il existe une base de $E$ diagonalisant tous les $u_i$.