Capes : polynômes
Pour réviser
Enoncé
Soient $a,b$ des réels, et $P(X)=X^4+2aX^3+bX^2+2X+1$. Pour quelles valeurs de $a$ et $b$
le polynôme $P$ est-il le carré d'un polynôme de $\mathbb R[X]$?
Enoncé
Soit $P\in \mathbb K[X]$, soit $a,b\in\mathbb K$ avec $a\neq b$.
- Soit $R$ le reste de la division euclidienne de $P$ par $(X-a)(X-b)$. Exprimer $R$ en fonction de $P(a)$ et de $P(b)$.
- Soit $R$ le reste de la division euclidienne de $P$ par $(X-a)^2$. Exprimer $R$ en fonction de $P(a)$ et de $P'(a)$.
Enoncé
Quel est, pour $n\geq 1$, l'ordre de multiplicité de $2$ comme racine du polynôme
$$P_n(X)=nX^{n+2}-(4n+1)X^{n+1}+4(n+1)X^n-4X^{n-1}?$$
Enoncé
Soit $P\in\mathbb R[X]$.
- Soit $\alpha$ une racine de $P$. Démontrer que $\bar\alpha$ est aussi une racine de $P$.
- Comparer l'ordre de multiplicité de $\bar\alpha$ et de $\alpha$.
Enoncé
Décomposer le polynôme suivant en produit d'irréductibles de $\mathbb R[X]$ :
$$P(X)=2X^4+X^2-3.$$
Pour progresser
Enoncé
Soit $P(X)=a_nX^n+\dots+a_0$ un polynôme à coefficients dans $\mathbb Z$, avec
$a_n\neq 0$ et $a_0\neq 0$. On suppose que $P$ admet une racine rationnelle $p/q$
avec $p\wedge q=1$. Démontrer que $p|a_0$ et que $q|a_n$. Le polynôme $P(X)=X^5-X^2+1$
admet-il des racines dans $\mathbb Q$?
Exercice 7 - Détermination d'un ensemble de polynômes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Le but de cet exercice est de déterminer
$$E=\{P\in \mathbb R[X];\ P(X^2)=(X^3+1)P(X)\}.$$
- Démontrer que le polynôme nul ainsi que le polynôme $X^3-1$ sont solutions du problème.
- Analyse du problème. Soit $P\in E$ non nul.
- Montrer que $P$ est de degré 3.
- Démontrer que $P(1)=0$, puis que $P'(0)=P''(0)=0$ (on pourra penser à dériver la relation $P(X^2)=(X^3+1)P(X)$).
- En effectuant la division euclidienne de $P$ par $X^3-1$, démontrer qu'il existe $\lambda\in\mathbb R$ tel que $P(X)=\lambda (X^3-1)$.
- Synthèse du problème : en déduire l'ensemble $E$.
Enoncé
Quel est le reste de la division euclidienne de $(X+1)^n-X^n-1$ par
$$
\mathbf{1.}\ X^2-3X+2\quad\quad\mathbf{2.}\ X^2+X+1\quad\quad\mathbf{3.}\ X^2-2X+1?
$$
Enoncé
Décomposer en produits d'irréductibles de $\mathbb R[X]$ les polynômes suivants :
$$\begin{array}{lllll}\mathbf{1.}\ \ X^4+1&\quad&\mathbf{2.}\ X^8-1&\quad&\mathbf{3.}\ (X^2-X+1)^2+1
\end{array}$$
Enoncé
Soit $P$ un polynôme de $\mathbb C[X]$ de degré $n\geq 2$.
Soit $\alpha_1,\dots,\alpha_n$ les racines de $P$, répétées avec leur ordre de multiplicité, d'images respectives dans le plan complexe $A_1,\dots,A_n$.
Soit $\beta_1,\dots,\beta_{n-1}$ les racines de $P'$, répétées avec leur ordre de multiplicité, d'images respectives dans le plan complexe $B_1,\dots,B_{n-1}$.
- Montrer que les familles de points $(A_1,\dots,A_n)$ et $(B_1,\dots,B_{n-1})$ ont même isobarycentre.
- Quelle est l'image dans le plan complexe de la racine de $P^{(n-1)}$?