Capes : exercices sur les fonctions continues
Pour réviser
Enoncé
- Écrire, à l'aide de quantificateurs, la proposition suivante : $f$ ne tend pas vers $+\infty$ en $+\infty$.
- Soit $f:\mathbb R\to\mathbb R$. On suppose que $f$ admet une limite $\ell$ en $+\infty$, avec $\ell>0$. Démontrer qu'il existe un réel $A>0$ tel que, pour tout $x\geq A$, $f(x)>0$.
Enoncé
Soit $f:\mathbb R\to\mathbb R$ continue telle que,
$$\forall (x,y)\in\mathbb R^2,\ f(x+y)=f(x)+f(y).$$
- Déterminer $f(0)$.
- Démontrer que $f$ est impaire.
- Démontrer que, pour tout $n\geq 1$ et tout $x\in\mathbb R$, $f(nx)=nf(x)$.
- Démontrer que, pour tout $n\in\mathbb Z$ et tout $x\in\mathbb R$, $f(nx)=nf(x)$.
- Démontrer que pour tout nombre rationnel $r=\frac{p}q$ et pour tout $x\in\mathbb R$, on a $$f\left(\frac pq x\right)=\frac pqf(x)$$ (on pourra écrire $p=q\times\frac pq$).
- Conclure qu'il existe $a\in\mathbb R$ tel que, pour tout $x\in\mathbb R$, $f(x)=ax$.
Enoncé
Montrer que l'équation $x^3+x^2-4x+1=0$ admet au moins trois solutions distinctes dans $\mathbb R$.
En utilisant l'algorithme de dichotomie, donner un encadrement d'amplitude inférieur à $10^{-1}$ de chacune de ces racines.
Enoncé
Soit $f:[0,1]\to[0,1]$ une fonction continue. Démontrer que $f$ admet toujours au moins un point fixe.
Enoncé
Soit $f:\mathbb R\to\mathbb R$. Écrire, avec des quantificateurs, que $f$ n'est pas uniformément continue.
Pour progresser
Exercice 6 - Fonction périodique ayant une limite en $+\infty$ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:\mathbb R\to\mathbb R$ périodique et admettant une limite finie $l$ en $+\infty$. Montrer que $f$ est constante.
Enoncé
Soit $f:[0,+\infty[\to\mathbb R$ continue admettant une limite (finie) en $+\infty$. Montrer que $f$ est bornée sur $[0,+\infty[$.
Exercice 8 - Non continue et vérifie pourtant la propriété des valeurs intermédiaires [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On considère la fonction $f$ définie sur $[0,1]$ par
$$f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
0&\textrm{si }x=0\\
\sin\left(\frac 1x\right)&\textrm{sinon.}
\end{array}
\right.$$
- Démontrer que la fonction $f$ n'est pas continue en 0.
- On souhaite prouver que $f$ vérifie la propriété des valeurs intermédiaires, c'est-à-dire que pour tous réels $a<b$, et pour tout $y$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe $c\in]a,b[$ tel que
$y=f(c)$.
- Traiter le cas $a>0$.
- Si $a=0$, justifier l'existence de $d\in ]a,b[$ tel que $f(d)=f(0)$. Conclure.
Enoncé
Soit $f:\mathbb R_+\to\mathbb R$ une fonction continue admettant une limite (finie) en $+\infty$. Montrer que $f$ est uniformément continue.
Enoncé
On considère pour $n\in\mathbb N$ le polynôme $P_n(x)=\sum_{k=0}^n \frac{x^k}{k!}$. Démontrer que $P_n$ n'a pas de racines réelles si $n$ est pair, et que $P_n$ admet une unique racine réelle si $n$ est impair.