Démonstrations capes - Produit scalaire et trigonométrie

Il s'agit d'un simple calcul. En effet, $\vec u+\vec v=\big((x+x'),(y+y')\big)$ et donc $$\|\vec u+\vec v\|^2=(x+x')^2+(y+y')^2=x^2+x'^2+2xx'+y^2+y'^2+2yy'.$$ Puisque $\|\vec u\|^2=x^2+y^2$ et $\|\vec v\|^2=x'^2+y'^2$, on en déduit le résultat.

Si $\vec u=\vec 0$, la propriété est claire (les deux termes de l'égalité sont nuls). Sinon, on se place dans un repère orthonormé direct $(A,\vec i,\vec j)$ de sorte que $\vec i=\frac{\vec u}{\|\vec u\|}$. Alors, dans ce repère orthonormé, les coordonnées de $\vec u$ et $\vec v$ sont respectivement $\vec u=(\|\vec u\|,0)$ et $\vec v=\big(\|\vec v\|\cos(\theta),\|\vec v\|\sin(\theta)\big)$ où $\theta=(\vec u,\vec v)$. D'après le lemme fondamental précédent, en calculant dans ce repère orthonormé, on a $$\|\vec u+\vec v\|^2-\|\vec u\|^2-\|\vec v\|^2=2\big(\|\vec u\|\times\|\vec v\|\cos(\theta)+0\times \|\vec v\|\sin(\theta)\big)=2\vec u\cdot\vec v.$$

Il s'agit d'une conséquence immédiate des deux propositions précédentes.

Soit $M$ le point du cercle trigonométrique associé au réel $x$. Alors le point $N$ associé au réel $\pi+x$ est le symétrique de $M$ par rapport à $O$. Ils ont donc des abscisses et des ordonnées opposées, d'où les deux premières égalités. Les deux suivantes s'en déduisent à l'aide des formules $\cos(-y)=\cos(y)$ et $\sin(-y)=-\sin(y)$.

La démonstration des quatre autres formules est un peu plus délicate. On commence par considérer la figure suivante : Cette fois $M'$ est le point du cercle trigonométrique associé à $-x$ (ou encore le symétrique de $M$ par rapport à l'axe des abscisses). Ses coordonnées sont donc $(\cos x,-\sin x)$. De plus, d'après la relation de Chasles, $$(\overrightarrow{OH},\overrightarrow{OI})=(\overrightarrow{OH},\overrightarrow{OM'})+(\overrightarrow{OM'},\overrightarrow{OI})\ [2\pi]$$ ce qui donne $$\frac\pi2=(\overrightarrow{OH},\overrightarrow{OM'})+x\ [2\pi].$$ D'autre part, si on note $(a,b)$ les coodonnées de $M'$ dans le repère $(O,I,J)$, alors les coordonnées de $M'$ dans le repère $(O,H,I)$ sont $(-b,a)$, c'est-à-dire $(\sin x,\cos x)$. Puisque $$(\overrightarrow{OH},\overrightarrow{OM'})=\frac\pi 2-x$$ elles sont aussi égales à $\left(\cos\left(\frac\pi 2-x\right),\sin\left(\frac\pi 2-x\right)\right)$. Ceci prouve les deux premières des quatre autres formules. Les suivantes se déduisent comme précédemment en utilisant que $\cos(-y)=\cos(y)$ et $\sin(-y)=-\sin(y)$.

Dans un repère orthonormé direct $(O,\vec i,\vec j)$, on considère deux vecteurs unitaires $\vec u$ et $\vec v$ tels que $(\vec i,\vec u)=b$ et $(\vec i,\vec v)=a$. On sait alors que les coordonnées de $\vec u$ et $\vec v$ dans ce repère sont respectivement $\vec u=(\cos b,\sin b)$ et $\vec v=(\cos a,\sin a)$. En particulier, en utilisant l'expression du produit scalaire dans un repère, on a $$\vec u\cdot\vec v=\cos a\cos b+\sin a\sin b.$$ Mais d'autre part, par définition du produit scalaire, $$\vec u\cdot \vec v=\cos(\vec u,\vec v).$$ Maintenant, par la relation de Chasles, on a $$(\vec u,\vec v)=(\vec u,\vec i)+(\vec i,\vec v)=-(\vec i,\vec u)+(\vec i,\vec v)=a-b.$$ On en déduit le premier résultat. Le second se déduit du premier en utilisant que $\sin(x)=\cos\left(\frac\pi 2-x\right)$. Ainsi, \begin{eqnarray*} \sin(a-b)&=&\cos\left(\frac\pi2-a+b\right)\\ &=&\cos\left(\frac\pi 2-a\right)\cos(b)-\sin\left(\frac\pi 2-a\right)\sin(b)\\ &=&\sin(a)\cos(b)-\sin(b)\cos(a). \end{eqnarray*}