Démonstrations capes - la fonction exponentielle

Posons, pour tout $x\in\mathbb R$, $g(x)=f(x)f(-x)$. Alors $g$ est dérivable sur $\mathbb R$ et vérifie, pour tout $x\in\mathbb R$, $g'(x)=f'(x)f(-x)-f(x)f'(-x)=f(x)f(-x)-f(x)f(-x)=0$. Ainsi, la fonction $g$ est constante. Puisque $g(0)=1$, on a pour tout $x\in\mathbb R$, $f(x)f(-x)=1$ et donc la fonction $f$ ne s'annule pas.

On sait (cf ci-dessus) que la fonction $f$ ne s'annule pas. On peut donc poser, pour tout $x\in\mathbb R$, $h(x)=\frac{g(x)}{f(x)}$. Alors $h$ est dérivable sur $\mathbb R$ et on a, pour tout $x\in\mathbb R$, $$h'(x)=\frac{g'(x)f(x)-g(x)f'(x)}{(f(x))^2}=\frac{g(x)f(x)-g(x)f(x)}{(f(x))^2}=0.$$ Ainsi, $h$ est constante sur $\mathbb R$ et comme $h(0)=1$, on a pour tout $x\in\mathbb R$, $h(x)=1$ ce qui prouve bien que $f(x)=g(x)$.

Fixons $y\in\mathbb R$ et considérons la fonction $f$ définie sur $\mathbb R$ par $$f(x)=\frac{\exp(x+y)}{\exp(x)}$$ (rappelons que la fonction exponentielle ne s'annule pas). Alors $f$ est dérivable sur $\mathbb R$ et sa dérivée est $$f'(x)=\frac{\exp(x+y)\exp(x)-\exp(x+y)\exp(x)}{(\exp(x))^2}=0.$$ Ainsi, $f$ est constante sur $\mathbb R$ et puisque $f(0)=\exp(y)$, on a pour tout $x\in\mathbb R$, $$\frac{\exp(x+y)}{\exp(x)}=\exp(y).$$

Posons, pour tout $x\in\mathbb R$, $g(x)=\exp(x)\exp(-x)$. Alors $g$ est dérivable sur $\mathbb R$ et vérifie, pour tout $x\in\mathbb R$, $g'(x)=\exp(x)\exp(-x)-\exp(x)\exp(-x)=0$. Ainsi, la fonction $g$ est constante. Puisque $g(0)=1$, on a pour tout $x\in\mathbb R$, $\exp(x)\exp(-x)=1$ ce qui est le résultat voulu.

On peut aussi utiliser la relation fonctionnelle et écrire que $$\exp(x)\exp(-x)=\exp(x-x)=\exp(0)=1.$$

Preuve 1 : A partir de la relation fonctionnelle

Soit $x\in\mathbb R$. On sait que $$\exp(x)=\exp\left(\frac x2+\frac x2\right)=\left(\exp\left(\frac x2\right)\right)^2\geq 0.$$ Comme la fonction exponentielle ne s'annule pas, elle est forcément strictement positive.

Preuve 2 : A partir du théorème des valeurs intermédiaires

Supposons qu'il existe $a\in\mathbb R$ tel que $\exp(a)\leq 0$. Puisque $\exp(0)=1>0$ et que la fonction exponentielle est continue, il existerait d'après le théorème des valeurs intermédiaires un réel $c$ tel que $\exp(c)=0$. Ce n'est pas le cas puisque la fonction exponentielle ne s'annule pas. L'hypothèse de départ était donc fausse, et pour tout $a\in\mathbb R$, on a bien $\exp(a)>0$.

On va prouver que, pour tout $x\in\mathbb R$, $\exp(x)\geq 1+x$. Pour cela, on pose, pour $x\in\mathbb R$, $$f(x)=\exp(x)-(x+1).$$ La fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb R$ et sa dérivée vérifie, pour tout $x\in\mathbb R$, $f'(x)=\exp(x)-1$. Puisque la fonction $\exp$ est croissante et qu'elle vérifie $\exp(0)=1$, on sait que $\exp(x)\geq 1$ si $x\geq 0$ et que $\exp(x)\leq 1$ si $x\leq 0$. Ainsi, $f'(x)\geq 0$ si $x\geq 0$ et $f'(x)\leq 0$ si $x\leq 0$. On en déduit que $f$ est décroissante sur $]-\infty,0[$ et croissante sur $]0,+\infty[$. Puisque $f(0)=0$, on en conclut que $f(x)\geq 0$ pour tout $x\in\mathbb R$, c'est-à-dire $\exp(x)\geq 1+x$. Puisque $\lim_{x\to+\infty}1+x=+\infty$, on a par comparaison que $\lim_{x\to+\infty}\exp(x)=+\infty$.

D'autre part, écrivant $$\exp(x)=\frac{1}{\exp(-x)}$$ et puisque $\lim_{x\to-\infty}\exp(-x)=\lim_{u\to+\infty}\exp(u)=+\infty$, on en déduit le deuxième résultat.

Il y a de nombreuses façons de démontrer la première propriété. On peut par exemple commencer par démontrer que le résultat est vrai pour $n=1$ et utiliser la relation fonctionnelle de la fonction exponentielle pour en déduire le résultat pour tous les entiers $n$. En voici une autre, qui a l'avantage de faire apparaitre de façon naturelle le développement en série de Taylor de la fonction exponentielle. Il suffit en effet de prouver par récurrence sur $n\in\mathbb N$ la propriété $\mathcal P(n)$ suivante : $$\mathcal P(n) = "\forall x\geq 0,\ \exp(x)\geq 1+x+\dots+\frac{x^n}{n!}".$$ Initialisation : On a $\exp(0)=1$ et la fonction exponentielle est croissante. Donc, pour tout $x\geq 0$, on a $$\exp(x)\geq \exp(0)=1$$ et $\mathcal P(0)$ est satisfaite.

Hérédité : Soit $n\in\mathbb N$ tel que la propriété $\mathcal P(n)$ soit vraie. Alors on sait que pour tout $t\in\mathbb R_+$, on a $$\exp(t)\geq1+t+\dots+\frac{t^n}{n!}.$$ Soit $x\geq 0$ et intégrons l'inégalité précédente entre $0$ et $x$. On trouve $$\int_0^x \exp(t)dt\geq \int_0^x \left(1+t+\dots+\frac{t^n}{n!}\right)dt$$ ce qui donne immédiatement $$\exp(x)-1\geq x+\frac{x^2}2+\dots+\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}.$$ $\mathcal P(n+1)$ est donc vérifiée.

En conclusion, par le principe de récurrence, pour tout $n\in\mathbb N$, $\mathcal P(n)$ est vraie.

Démontrons ensuite la deuxième propriété. On écrit que $$x^n e^{x}=\frac{x^n}{e^{-x}}=(-1)^n \frac{(-x)^n}{e^{-x}}.$$ Puisque $x\to-\infty$, $-x\to+\infty$ et on tire de la première propriété et des opérations sur les limites que $$\lim_{x\to-\infty}\frac{(-x)^n}{e^{-x}}=0.$$