$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Démonstrations capes - la fonction exponentielle

Dans la suite, la fonction $\exp$ est définie comme une fonction $f:\mathbb R\to\mathbb R$ dérivable, vérifiant $f'=f$ et $f(0)=1$. On ne démontrera pas l'existence d'une telle fonction, mais on prouvera plus loin son unicité.

La fonction exponentielle ne s'annule pas
Si $f:\mathbb R\to\mathbb R$ est dérivable et vérifie $f'=f$, $f(0)=1$, alors $f$ ne s'annule pas.

Unicité de la fonction exponentielle
Si $f,g:\mathbb R\to\mathbb R$ sont dérivables et vérifie $f'=f$, $g'=g$ et $f(0)=g(0)=1$, alors $f=g$.

Relation fonctionnelle de la fonction exponentielle
Soit $x,y\in\mathbb R$. Alors on a $\exp(x+y)=\exp(x)\exp(y)$.

Fonction exponentielle et passage à l'inverse
Pour tout $x\in\mathbb R$, on a $\exp(-x)=\frac{1}{\exp(x)}$.

La fonction exponentielle est toujours strictement positive
Pour tout $x\in\mathbb R$, on a $\exp(x)>0$.

Limites de la fonction exponentielle
On a $\lim_{x\to+\infty}\exp(x)=+\infty$ et $\lim_{x\to-\infty}\exp(x)=0$.

Croissance comparée de la fonction exponentielle et des fonctions puissance
Pour tout $n\in\mathbb N$, on a $$\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{x^n}=+\infty\textrm{ et }\lim_{x\to-\infty}x^n e^{x}=0.$$