Démonstrations capes - Equations différentielles

Procédons par double inclusion. D'abord, prenons $y\in S_H$ et posons $z=y_p+y$. Alors, pour tout $t\in I$, on a \begin{eqnarray*} z'(t)+a(t)z(t)&=&\big(y_p'(t)+a(t)y_p(t)\big)+\big(y'(t)+a(t)y(t)\big)\\ &=&b(t)+0\\ &=&b(t). \end{eqnarray*} Ainsi, $z\in S_E$. Réciproquement, soit $z\in S_E$ et posons $y=z-y_p$. Il s'agit de prouver que $y\in S_H$ puisque $z=y+y_p$. Mais le calcul est complètement similaire à celui réalisé ci-dessus : \begin{eqnarray*} y'(t)+a(t)y(t)&=&\big(z'(t)+a(t)z(t)\big)-\big(y_p'(t)+a(t)y_p(t)\big)\\ &=&b(t)-b(t)\\ &=&0. \end{eqnarray*} Ainsi, $y\in S_H$.

Cette démonstration est accessible dès la terminale. On commence par vérifier que les fonctions $y(x)=Ce^{-ax}$ sont effectivement solutions. Réciproquement, soit $y$ une solution de l'équation et posons $f(x)=y(x)e^{ax}$. Alors $f$ est dérivable sur $\mathbb R$ et pour tout $x\in\mathbb R$, on a $$f'(x)=y'(x)e^{ax}+ay(x)e^{ax}=\big(y'(x)+ay(x)\big)e^{ax}=0.$$ Ainsi, la fonction $f$ est constante et il existe $C\in\mathbb R$ tel que pour tout $x\in\mathbb R$, $f(x)=C$, c'est-à-dire $y(x)=Ce^{-ax}.$

Remarquons la similarité entre la preuve de cette propriété et la preuve de l'unicité de la fonction exponentielle.