$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Démonstrations capes - Algèbre, nombres complexes

Inégalité triangulaire
Pour tout couple de nombres complexes $(z_1,z_2)$, on a $|z_1+z_2|\leq |z_1|+|z_2|$.

Résolution des équations du second degré, dans $\mathbb R$.
Soit $ax^2+bx+c=0$ une équation du second degré, avec $a,b,c\in \mathbb R$ et $a\neq 0$. On note $\Delta=b^2-4ac$. Alors
  • si $\Delta> 0$, l'équation admet deux racines réelles qui sont $$x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\textrm{ et }x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a};$$
  • Si $\Delta=0$, l'équation admet une racine réelle double, $$x_1=\frac{-b}{2a};$$
  • Si $\Delta<0$, l'équation admet deux racines complexes conjuguées qui sont $$x_1=\frac{-b-i\sqrt{-\Delta}}{2a}\textrm{ et }x_2=\frac{-b+i\sqrt{-\Delta}}{2a}.$$

Existence et unicité de la forme trigonométrique d'un nombre complexe
Soit $z$ un nombre complexe non nul. Soit $\theta$ un argument de $z$. Alors $z=|z|(\cos\theta+i\sin\theta)$. De plus, si $z=r(\cos\alpha+i\sin \alpha)$, alors $r=|z|$ et $\alpha$ est un argument de $z$.