Capes : Transformée de Laplace

Exercice 1 - ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Tracer le graphe et calculer la transformée de Laplace des fonctions suivantes : $$\begin{array}{lll} \mathbf 1.\ \mathcal U(t-1)-\mathcal U(t-2)&\quad&\mathbf 2. \mathcal U(t-2)(t-2)^2\\ \end{array} $$

Indication

Corrigé

Exercice 2 - ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Enoncé

Déterminer la transformée de Laplace des fonctions suivantes : $$ \begin{array}{lll} \mathbf 1.\ (2t^2-1)\mathcal U(t)&\quad&\mathbf 2.\ \left(e^t-\cos\left(\frac 23t\right)e^{2t}\right)\mathcal U(t)\\ \mathbf 3.\ te^{4t}\mathcal U(t) \end{array} $$

Indication

Corrigé

Exercice 3 - ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Enoncé

On pose $$f(t)=(1-\cos t)\mathcal U(t),\ g(t)=e^{-t}f(t).$$

Montrer que $\mathcal L(f)(p)=\frac{1}{p(p^2+1)}$.
Calculer, pour $t>0$, $g'(t)$. Que valent $\lim_{x\to 0^+}g(x)$ et $\lim_{x\to 0^+}g'(x)$?
En déduire que $$\mathcal L\left(e^t g''\right)(p)=\frac{(p-1)^2}{p(p^2+1)}.$$

Indication

Corrigé

Exercice 4 - Une rampe ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Enoncé

Soit $a>0$. Déterminer la transformée de Laplace de $t\mapsto t\mathcal U(t-a)$.
On considère le signal suivant :
Calculer, à partir de la définition, sa transformée de Laplace.
Décomposer le signal en une combinaison linéaire de signaux élémentaires. Retrouver alors le résultat en utilisant le formulaire.

Indication

Corrigé

On écrit $t=(t-a)+a$ de sorte que $$t\mathcal U(t-a)=(t-a)\mathcal U(t-a)+a\mathcal U(t-a).$$ En utilisant le formulaire et le théorème du retard, on en déduit que la transformée de Laplace vaut $$F(p)=\frac{e^{-ap}}{p^2}+\frac {ae^{-ap}}p.$$ Voici une autre méthode pour réaliser ce calcul, peut-être moins astucieuse. Si on pose $g(t)=U(t-a)$ et $G$ sa transformée de Laplace, on peut aussi remarquer que la transformée de Laplace de $g$ est $-G'$. Or, la transformée de Fourier de $U(t-a)$ est $p\mapsto e^{-ap}/p$, par la formule de retard et par le calcul de la transformée de Fourier de $U.$ On en déduit que $$F(p)=\frac{ape^{-ap}+e^{-ap}}{p^2}$$ ce qui est (bien sûr) le même résultat que ci-dessus.
La fonction, que l'on notera $f$, est égale à $2t$ sur l'intervalle $[0,1]$ et à $2$ sur l'intervalle $[1,+\infty[$. En utilisant la relation de Chasles, sa transformée de Laplace vaut donc \begin{eqnarray*} \mathcal L(f)(p)&=&\int_0^1 2te^{-pt}dt+\int_1^{+\infty}2e^{-pt}dt. \end{eqnarray*} Le calcul de la deuxième intégrale ne pose pas de problèmes et elle vaut $$\int_1^{+\infty}2e^{-pt}dt=\left[\frac{2}{-p}e^{-pt}\right]_1^{+\infty}=\frac{2e^{-p}}p.$$ Pour le calcul de la première intégrale, on doit faire une intégration par parties, en posant $v(t)=t$ et $u'(t)=e^{-pt}$. \begin{eqnarray*} \int_0^1 2te^{-pt}dt&=&2\left[-\frac 1p e^{-pt}t\right]_0^1+2\int_0^1 \frac 1p e^{-pt}dt\\ &=&\frac{-2e^{-p}}p-\frac{2e^{-p}}{p^2}+\frac 2{p^2}\\ \end{eqnarray*} On en déduit que $$\mathcal L(f)(p)=-\frac{2e^{-p}}{p^2}+\frac 2{p^2}.$$
La fonction $\mathcal U(t)-\mathcal U(t-1)$ est un créneau entre 0 et 1. On en déduit que $$f(t)=2t\big(\mathcal U(t)-\mathcal U(t-1)\big)+2\mathcal U(t-1).$$ On utilise le formulaire et le résultat de la première question pour trouver \begin{eqnarray*} \mathcal L(f)(p)&=&\frac 2{p^2}-2\frac{e^{-p}}{p^2}-\frac {2e^{-p}}p+2\frac{e^{-p}}p\\ &=&-\frac{2e^{-p}}{p^2}+\frac 2{p^2} \end{eqnarray*} ce qui est bien le même résultat que ci-dessus.

Exercice 5 - Fonction triangle ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Enoncé

On considère la fonction causale $f$ dont le graphe est donné par la représentation graphique suivante :

Déterminer l'expression de $f$ sur les intervalles $[0,1]$, $[1,2]$ et $[2,+\infty[$.
Démontrer que $$f(t)=t\mathcal U(t)-2(t-1)\mathcal U(t-1)+(t-2)\mathcal U(t-2).$$
En déduire la transformée de Laplace de $f$.

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Exercice 6 - Recherche d'original ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Enoncé

Retrouver l'originale des transformée de Laplace suivantes :

$\displaystyle \frac1{(p+1)(p-2)}$. On pourra chercher $a,b$ tels que $$\frac{1}{(p+1)(p-2)}=\frac a{p+1}+\frac b{p-2}.$$
$\displaystyle \frac{e^{-2p}}{p+3}$.
$\displaystyle \frac{5p+10}{p^2+3p-4}$. On pourra chercher $a$ et $b$ tels que $$\frac{5p+10}{p^2+3p-4}=\frac a{p+4}+\frac b{p-1}.$$
$\displaystyle \frac{p-7}{(p-7)^2+1}$.
$\displaystyle \frac{p}{p^2-6p+13}$. On pourra remarque que $p^2-6p+13=(p-3)^2+4$.

Indication

Corrigé

Exercice 7 - Équation différentielle ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Enoncé

Déterminer $a$ et $b$ de sorte que $$\frac{p}{(p-1)(p+1)}=\frac a{p-1}+\frac b{p+1}.$$
En déduire la fonction causale $f$ dont la transformée de Laplace est $\frac{p}{(p-1)(p+1)}$.
On considère l'équation différentielle $$y'+y=e^t\mathcal U(t),\ y(0)=1.$$ Soit $y$ une fonction causale solution de l'équation dont on suppose qu'elle admet une transformée de Laplace $F$. Exprimer, en fonction de $F$, la transformée de Laplace de $y'$.
Démontrer que $F$ satisfait l'équation $$F(p)=\frac{p}{(p-1)(p+1)}.$$
En déduire $y$.

Indication

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Exercice 8 - Équation différentielle du second ordre ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Enoncé

Déterminer $a,b,c$ tels que $$\frac{p^2-6p+10}{(p-1)(p-2)(p-3)}=\frac{a}{p-1}+\frac b{p-2}+\frac{c}{p-3}.$$
On considère l'équation différentielle $$y''-3y'+2y=e^{3t}\mathcal U(t),\ y(0)=1,\ y'(0)=0.$$ On admet que $y$ admet une transformée de Laplace $F$. Démontrer que $$F(p)=\frac{p^2-6p+10}{(p-1)(p-2)(p-3)}.$$
En déduire $y$.

Indication

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Exercice 9 - Système différentiel ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Enoncé

On se propose de résoudre le système différentiel suivant : $$\left\{ \begin{array}{rcl} x'&=&-x+y+\mathcal U(t)e^t,\ x(0)=1\\ y'&=&x-y+\mathcal U(t)e^t,\ y(0)=1. \end{array} \right.$$ Pour cela, on admet que $x$ possède une transformée de Laplace notée $F$ et que $y$ possède une transformée de Laplace notée $G$.

Démontrer que $F$ et $G$ sont solutions du système $$\left\{ \begin{array}{rcl} (p+1)F(p)-G(p)&=&\frac 1{p-1}+1=\frac p{p-1}\\ -F(p)+(p+1)G(p)&=&\frac1{p-1}+1=\frac p{p-1}. \end{array} \right.$$
En déduire que $F(p)=G(p)=\frac{1}{p-1}$.
En déduire $x$ et $y$.

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Exercice 10 - Circuit RC ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Enoncé

Dans un circuit comprenant en série un condensateur de capacité $C$ et une résistance $R$, la tension $v$ aux bornes du condensateur est donnée par $$RC v'(t)+v(t)=e(t)$$ où $e(t)$ est la tension d'excitation aux bornes du circuit. Supposons que $v(0)=0$. Notons $V=\mathcal L(v)$ et $E=\mathcal L(e)$.

Établir la relation entre $V$ et $E$ sous forme $V(p)=T(p)E(p)$ avec une fonction $T$ que l'on déterminera. La fonction $T$ est appelée fonction de transfert.
Dans la suite, on supposera que $R=1000\Omega$ et $C=0,002F$.
On pose $F(p)=\frac{1}{p(2p+1)}$. Déterminer $a$ et $b$ de sorte que $$F(p)=\frac cp+\frac d{p+\frac 12}.$$ En déduire une fonction causale $f$ dont $F$ soit la transformée de Laplace.
On suppose que l'excitation aux bornes du circuit est un échelon de tension, $e(t)=\mathcal U(t)$. Déterminer la réponse $v(t)$ du circuit. Représenter cette fonction à l'aide du logiciel de votre choix. Comment interprétez-vous cela?
Déterminer une fonction causale dont la transformée de Laplace soit $$\frac{e^{(t-t_0)p}}{p-a}.$$
On suppose que l'excitation aux bornes du circuit est un créneau, $e(t)=H(t)-H(t-t_0)$. Déterminer la réponse $v(t)$ du circuit. Représenter cette fonction à l'aide du logiciel de votre choix. Comment interprétez-vous cela? Tracer les graphes correspondants.

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Exercice 11 - Un bon bilan! ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Enoncé

On considère la fonction causale $e$ définie sur $\mathbb R$ par $$e(t)=4\big(\mathcal U(t)-\mathcal U(t-2)\big).$$

Représenter graphiquement $e$ dans un repère orthonormé.
On note $E$ la transformée de Laplace de $e$. Calculer $E$.
L'étude d'un circuit électrique conduit à étudier la tension de sortie $s$ reliée à la tension d'entrée $e$ par la formule $$4s'(t)+s(t)=e(t),\ s(0)=0.$$ On admet que $s$ admet une transformée de Laplace notée $S$. Démontrer que $$S(p)=\frac 1{p\left(p+\frac14\right)}\left(1-e^{-2p}\right).$$
Déterminer des réels $a$ et $b$ tels que $$\frac 1{p\left(p+\frac14\right)}=\frac a{p}+\frac b{p+\frac 14}.$$
Déterminer l'original des fonctions suivantes : $$ \frac 1p,\quad \frac{e^{-2p}}p,\quad \frac{1}{p+\frac 14},\ \frac{e^{-2p}}{p+\frac 14}.$$
En déduire la valeur de $s$.
Vérifier que $$s(t)=\left\{ \begin{array}{ll} 0&\textrm{si t<0}\\ 4-4e^{-t/4}&\textrm{si }0\leq t<2\\ 4\left(e^{1/2}-1\right)e^{-t/4}&\textrm{si }t\geq 2. \end{array}\right.$$

Indication

Corrigé