Résumé de cours : transformation de Laplace
Définition, abscisses de convergence
- On appelle fonction causale toute fonction définie sur $\mathbb R$, nulle sur $]-\infty,0[$ et continue par morceaux sur $[0,+\infty[$.
- La fonction échelon-unité est la fonction causale $\mathcal U$ définie par $\mathcal U(t)=0$ si $t<0$ et $\mathcal U(t)=1$ si $t\geq 0$. En particulier, si $f:\mathbb R\to\mathbb R$ est une fonction quelconque, la fonction $f\times\mathcal U$ est une fonction causale.
- Si $f$ est une fonction causale, la transformée de Laplace de $f$ est définie par $$\mathcal L(f)( p)=\int_0^{+\infty}e^{-pt}f(t)dt=\lim_{x\to+\infty}\int_0^x e^{-pt}f(t)dt,$$ pour les valeurs de $p$ pour lesquelles cette intégrale converge.
- Si $f$ est une fonction causale qui vérifie, pour tout $x\geq 0$, $$|f(x)|\leq Me^{ax},$$ alors la transformée de Laplace $\mathcal L(f)(p )$ existe pour tout $p>a$.
Propriétés de la transformée de Laplace
- La transformée de Laplace est linéaire : $$\mathcal L(af+bg)=a\mathcal L(f)+b\mathcal L(g).$$
- Si $\mathcal L(f)=\mathcal L(g)$, alors $f=g$. En particulier, si $F$ est fixée, il existe au plus une fonction $f$ telle que $\mathcal L(f)=F$. $f$ s'appelle l'original de $F$.
- Effet d'une translation : Soit $a>0$ et $g(t)=f(t-a)$. Alors, $$\mathcal L(g)(p )=e^{-ap}\mathcal L(f)(p ).$$
- Effet de la multiplication par une exponentielle : Si $g(t)=e^{at}f(t)$, avec $a\in\mathbb R$, alors $$\mathcal L(g)(p )=\mathcal L(f)( p-a).$$
Dérivation et intégration
- Théorème : Soit $f$ une fonction causale dérivable sur $]0,+\infty[$. Alors, pour tout $p$ pour lequel les deux membres ont un sens, $$\mathcal L(f')(p )=p\mathcal L(f)( p)-f(0^+).$$On peut itérer ce résultat, et si $f$ est $n$ fois dérivable sur $]0,+\infty[$, alors on a $$\mathcal L(f^{(n)}(p )=p^n \mathcal L(f)(p )-p^{n-1}f(0^+)-p^{n-2}f'(0^+)-\dots-f^{(n-1)}(0^+).$$
- Théorème : Soit $f$ une fonction causale et posons $g(t)=\int_0^t f(x)dx$. Alors, pour tout $p>0$ pour lequel les deux membres ont un sens, $$\mathcal L(g)(p )=\frac 1p\mathcal L(f)(p ).$$
Valeurs initiales et valeurs finales
- Théorème : Soit $f$ une fonction causale telle que $f$ admette une limite en $+\infty$. Alors $$\lim_{p\to 0}pF(p )=\lim_{t\to+\infty}f(t).$$
- Théorème : Soit $f$ une fonction causale. Alors $$\lim_{p\to +\infty}pF(p )=f(0^+).$$
Table de transformées de Laplace usuelles
$$\begin{array}{c|c}
f(t)&\mathcal L(f)( p) \\
\mathcal U(t)&\frac 1p\\
e^{at}\mathcal U(t),\ a\in\mathbb R&\frac 1{p-a}\\
t^n\mathcal U(t),\ n\in\mathbb N&\frac{n!}{p^{n+1}}\\
t^ne^{at}\mathcal U(t),\ n\in\mathbb N,\ a\in\mathbb R&\frac{n!}{(p-a)^{n+1}}\\
\sin(\omega t)\mathcal U(t),\ \omega\in\mathbb R&\frac{\omega}{p^2+\omega^2}\\
\cos(\omega t)\mathcal U(t),\ \omega\in\mathbb R&\frac{p}{p^2+\omega^2}\\
\mathcal U(t-a)f(t-a),\ a>0&e^{-ap}\mathcal L(f)(p )\\
f(t)e^{at}&\mathcal L(f)(p-a)\\
f(at), a>0&\frac 1a\mathcal L(f)\left(\frac pa\right)\\
f'(t)&p\mathcal L(f)(p )-f(0^+)\\
f^{(n)}(t)&p^n \mathcal L(f)(p )-p^{n-1}f(0^+)-p^{n-2}f'(0^+)-\dots-f^{(n-1)}(0^+)\\
\int_0^t f(u)du&\frac 1p\mathcal L(f)(p )
\end{array}$$