Exercices corrigés -Statistiques descriptives

Exercice 1

- Ecart-moyen et écart-type [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

On appelle écart-moyen de la série statistique $(x_i)_{i=1,\dots,n}$ le réel $$e=\frac {\sum_{i=1}^n |x_i-\bar x|}n.$$ Démontrer que l'écart-moyen est toujours inférieur ou égal à l'écart-type $\sigma_x$ (conseil : utiliser l'inégalité de Cauchy-Schwarz).

Indication

Corrigé

Exercice 2

- Minimisation d'écarts - d'après CAPES 2013 [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Enoncé

Soit $n$ un entier naturel et $(x_1,\dots,x_n)$ un $n$-uplet de réels. On souhaite trouver un réel $x$ minimisant la somme des écarts ou la somme des écarts au carré. On définit donc sur $\mathbb R$ les deux fonctions $G$ et $L$ par : \begin{eqnarray*} G(x)&=&\sum_{i=1}^n (x-x_i)^2\\ L(x)&=&\sum_{i=1}^n |x-x_i|. \end{eqnarray*}

Minimisation de $G$.
1. En écrivant $G(x)$ sous la forme d'un trinôme du second degré, démontrer que la fonction $G$ admet un minimum sur $\mathbb R$ et indiquer en quelle valeur de $x$ il est atteint.
2. Que représente d'un point de vue statistique la valeur de $x$ trouvée à la question précédente?
Minimisation de $L$. On suppose désormais que la série est ordonnée, c'est-à-dire que $x_1\leq x_2\leq \dots\leq x_n$.
1. Représenter graphiquement la fonction $L$ dans le cas où $n=3$, $x_1=-2$, $x_2=3$, $x_3=4$.
2. Représenter graphiquement la fonction $L$ dans le cas où $n=4$, $x_1=-2$, $x_2=3$, $x_3=4$, $x_4=7$.
3. Démontrer que la fonction $L$ admet un minimum sur $\mathbb R$ et indiquer pour quelle(s) valeur(s) de $x$ il est atteint (on distinguera les cas $n$ pair et $n$ impair).
4. Que représentent, d'un point de vue statistique, les valeurs de $x$ trouvées à la question précédente?

Indication

Corrigé

1. On développe $G$ : $$G(x)=nx^2-2\left(\sum_{i=1}^n x_i\right)x+\sum_{i=1}^n x_i^2.$$ On obtient un polynôme du second degré dont le coefficient dominant est (strictement) positif. Un tel polynôme admet un unique minimum, au réel $x$ tel que $G'(x)=0$. Or, $$G'(x)=2nx-2\sum_{i=1}^n x_i$$ et donc $G'(x)=0$ si et seulement si $x=\frac 1n\sum_{i=1}^n x_i$.
2. Le réel $x$ défini à la question précédente est la moyenne de la série statistique.
1. On remarque d'abord que la fonction $L$ est une fonction continue (comme somme de fonctions continues) affine par morceaux. Les ruptures de pente ont lieu à chaque $x_i$, la pente augmentant de $2$ au passage de chaque $x_i$. De plus, sur $]-\infty,x_1]$, la pente de $L$ vaut $-3$. Elle vaut ensuite $-1$ sur $[x_1,x_2]$, 1 sur $[x_2,x_3]$ et 3 sur $[x_3,+\infty[$. De plus, $L(-3)=11$. On peut donc représenter graphiquement la fonction à partir de ces informations sans avoir à chercher l'expression de $L$ sur chacun des intervalles.
2. Le même raisonnement s'applique, mais cette fois on part d'une pente égale à $-4$ sur $]-\infty,x_1]$. La pente vaut ensuite -2 sur $[x_1,x_2]$, 0 sur $[x_2,x_3]$, 2 sur $[x_3,x_4]$ et 4 sur $[x_4,+\infty[$. De plus, $L(-3)=21$. On peut là encore représenter la fonction à partir de ces informations.
3. Supposons d'abord que $n$ est impair, $n=2p+1$. Alors, $L$ est une fonction continue affine par morceaux de pente
  - valant $-n$ si $x\leq x_1$
  - valant $-n+2$ si $x\in [x_1,x_2]$
  - $\dots$
  - valant $-n+2p=-1$ si $x\in [x_p,x_{p+1}]$
  - valant $-n+2(p+1)=1$ si $x\in[x_{p+1},x_{p+2}]$
  - $\dots$
  - valant $-n+2n=n$ si $x\geq x_n$.
  $L$ admet un minimum atteint uniquement en $x_{p+1}$. Si maintenant $n=2p$ est pair, alors $L$ est une fonction continue, affine par morceaux, de pente
  - valant $-n$ si $x\leq x_1$
  - valant $-n+2$ si $x\in [x_1,x_2]$
  - $\dots$
  - valant $-n+2(p-1)=-2$ si $x\in [x_{p-1},x_{p}]$
  - valant $-n+2p=0$ si $x\in [x_p,x_{p+1}]$
  - valant $-n+2(p+1)=2$ si $x\in[x_{p+1},x_{p+2}]$
  - $\dots$
  - valant $-n+2n=n$ si $x\geq x_n$.
  La fonction $L$ admet donc un minimum qui est atteint pour tous les réels de l'intervalle $[x_p,x_{p+1}]$.
4. Rappelons la définition de la médiane d'une série statistique. On appelle médiane d'une série statistique toute valeur $m$ qui partage le groupe étudié en deux sous-groupes de même effectif, chacun tel que :
  - tous les éléments du premier groupe ont des valeurs inférieures ou égales à $m$;
  - tous les éléments du second groupe ont des valeurs supérieures ou égales à $m$.
  Si l'effectif de la série est un nombre impair, et si les termes sont ordonnés par valeurs croissantes, la médiane est le terme de rang $\frac{n+1}2$. Si l'effectif de la série est un nombre pair, il peut y avoir plusieurs médianes : toute valeur comprise entre les termes de rang $\frac n2$ et $\frac n2+1$ conviennent. Les valeurs de $x$ qui minimisent $L$ sont donc les médianes possibles de la série statistique.

Exercice 3

- Sur les indicateurs de dispersion [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Enoncé

Soit $x_1,\ldots,x_N$ une série statistique de $N$ nombres réels (non nécessairement rangés par ordre croissant). On note $m$ la moyenne de la série et $\sigma$ son écart-type.

1. Soit $n$ le nombre d'éléments de la série statistique compris entre $m-2\sigma$ et $m+2\sigma$. Montrer que $\sum_{k=1}^N(x_k-m)^2\ge 4(N-n)\sigma^2$.
2. En déduire qu'au moins les trois quarts des éléments de la série statistique sont compris entre $m-2\sigma$ et $m+2\sigma$.
Plus généralement, montrer que pour tout réel $t>1$, l'intervalle $[m-t\sigma,m+t\sigma]$ contient au moins une proportion $1-\frac1{t^2}$ des éléments de la série statistique.

Indication

Corrigé

Exercice 4

- Algorithme et moyenne [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Enoncé

Ecrire un algorithme qui calcule la moyenne d'une série statistique. Il demandera à l'utilisateur (par l'instruction LIRE) l'effectif de cette série et ensuite chacun des éléments de cette série.
Modifier l'algorithme pour qu'il calcule de plus la variance.

Indication

Corrigé

Exercice 5

- Sur le coefficient de corrélation linéaire [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Enoncé

Soit $x=(x_i)_{1\leq i\leq n}$ et $y=(y_i)_{1\leq i\leq n}$ deux séries statistiques de variance non nulle. On rappelle que le coefficient de corrélation linéaire des deux séries $x$ et $y$ est défini par $$\rho_{x,y}=\frac{\sigma_{x,y}}{\sigma_x\sigma_y}\textrm{ où }\sigma_{x,y}=\frac1n\sum_{i=1}^n (x_i-\bar x)(y_i-\bar y).$$

Interpréter $\rho_{x,y}$ à l'aide du produit scalaire et de la norme de vecteurs de $\mathbb R^n$.
En déduire que $\rho_{x,y}\in [-1,1]$.
Démontrer que $|\rho_{x,y}|=1$ si et seulement s'il existe $a,b\in\mathbb R$ tels que, pour tout $i=1,\dots,n$, $y_i=ax_i+b$.

Indication

Corrigé

Exercice 6

- La méthode des moindres carrés [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Enoncé

On considère une série statistique double $\{(x_i,y_i)_{1\leq i\leq n}\}$ vue comme $n$ points de $\mathbb R^2$ et on note $M_i$ le point de coordonnées $(x_i,y_i)$. On cherche une droite de la forme $y=ax+b$ qui réalise le "meilleur ajustement" possible du nuage. La méthode des moindres carrés consiste à à dire que le meilleur ajustement est réalisé lorsque la somme des carrés des distances de $M_i$ à $H_i$ (le projeté de $M_i$ sur la droite $y=ax+b$ parallèlement à l'axe des ordonnées) est minimale. Autrement dit, on cherche à minimiser la quantité suivante : $$T(a,b)=\sum_{i=1}^n (y_i-ax_i-b)^2.$$ On va prouver dans cet exercice le résultat suivant :

Si $\sigma_x\neq 0$, il existe une unique droite d'équation $y=ax+b$ minimisant la quantité $T(a,b)$. De plus, $$a=\frac{\sigma_{x,y}}{\sigma_x^2}\textrm{ et }b=\bar y-\bar x\frac{\sigma_{x,y}}{\sigma_x^2}.$$

Pourquoi impose-t-on la condition $\sigma_x\neq 0$?
Méthode 1 : par un calcul direct
1. On suppose pour commencer que $\bar x=0$ et que $\bar y=0$. Démontrer que $$T(a,b)=\sum_{i=1}^n y_i^2+a^2\sum_{i=1}^n x_i^2-2a\sum_{i=1}^n x_iy_i+nb^2.$$
2. En déduire que $T(a,b)$ est minimum si et seulement si $a=\frac{\sigma_{x,y}}{\sigma_x^2}$ et $b=0$.
3. Cas général : on pose $x'_i=x_i-\bar x$, $y'_i=y-\bar y$ et $U(a,b)=\sum_{i=1}^n (y'_i-ax'_i-b)^2$. Démontrer que $T(a,b)=U(a,b-\bar y+a\bar x)$.
4. Conclure.
Méthode 2 : par projection orthogonale. On munit $\mathbb R^n$ de son produit scalaire canonique.
1. Soit $\vec y$ un vecteur de $\mathbb R^n$ et $F$ un plan vectoriel (de dimension $2$). Démontrer que $$\inf \{\|\vec y-\vec z\|;\ \vec z\in F\}=\|\vec y-p_F(\vec y)\|$$ où $p_F(\vec y)$ est le projeté orthogonal de $\vec y$ sur $F$ (conseil : utiliser le théorème de Pythagore).
2. On note $\vec x=(x_1,\dots,x_n)$, $\vec y=(y_1,\dots,y_n)$ et $\vec u=(1,\dots,1)$. Déterminer $a$ et $b$ de sorte que $a\vec x+b\vec u$ soit le projeté orthogonal de $\vec y$ sur $\textrm{vect}(\vec x,\vec u)$.
3. Vérifier que $T(a,b)=\|\vec y-(a\vec x+b\vec u)\|^2$.
4. Conclure.

Indication

Corrigé

Si $\sigma_x=0$, alors tous les $x_i$ seraient égaux et donc tous les points seraient alignés sur une droite verticale. En particulier, il serait absurde de rechercher une meilleure droite d'ajustement d'équation $y=ax+b$, qui n'est donc pas verticale.
1. On a en développant tout $$T(a,b)=\sum_{i=1}^n y_i^2+a^2\sum_{i=1}^n x_i^2-2a\sum_{i=1}^n x_iy_i-2b\sum_{i=1}^n (y_i-ax_i)+nb^2.$$ Maintenant, puisque $\bar x=\bar y=0$, on a $\sum_{i=1}^n(y_i-ax_i)=0$ ce qui donne le résultat.
2. On remarque que $T(a,b)=f(a)+g(b)$ avec $f(a)=a^2\sum_{i=1}^n x_i^2-2a\sum_{i=1}^n x_iy_i+\sum_{i=1}^n y_i^2$ et $b(b)=nb^2$. Ainsi, $T(a,b)$ est minimum si et seulement si $f$ est minimum et $g$ est minimum (on a séparé l'étude pour chaque variable). Clairement, $g$ est minimum en $b$ si et seulement si $b=0$. D'autre part, $f$ est un polynôme de degré 2 en $a$, qui est minimum uniquement là où sa dérivée s'annule, c'est-à-dire en $$a=\frac{\sum_{i=1}^n x_iy_i}{\sum_{i=1}^n x_i^2}=\frac{\sigma_{x,y}}{\sigma_x^2}.$$
3. Il suffit de remarquer que $$T(a,b)=\sum_{i=1}^n \left(y_i-\bar y-a(x_i-\bar x)+b-\bar y+a\bar x\right)=U(a,b-\bar y+a\bar x).$$
4. On en déduit que $T(a,b)$ est minimal si et seulement si $U(a,b-\bar y+a\bar x)$ est minimal. Or, la moyenne respective des $x'_i$ et des $y'_i$ sont nulles, et donc $U(a,b-\bar y+a\bar x)$ est minimal si et seulement si $a=\frac{\sigma_{x',y'}}{\sigma_{x'}^2}$ et $b=\bar y-a\bar x$. On conclut en remarquant que $\sigma_x=\sigma_{x'}$ et $\sigma_{x,y}=\sigma_{x',y'}$.
1. Soit $\vec z$ un vecteur de $F$. On écrit $$\vec y-\vec z=\vec y-p_F(\vec y)+p_F(\vec y)-\vec z.$$ Or, par définition du projeté orthogonal, $\vec y-p_F(\vec y)$ est orthogonal à $F$, en particulier à $p_F(\vec y)-\vec z$. Par le théorème de Pythagore, on a $$\|\vec y-\vec z\|^2=\|\vec y-p_F(\vec y)\|^2+\|p_F(\vec y)-\vec z\|^2\geq \|\vec y-p_F(\vec y)\|^2$$ ce qui prouve le résultat.
2. Le vecteur $\vec y-(a\vec x+b\vec u)$ doit être orthogonal à $\vec x$ et à $\vec u$. Mais $$\big(\vec y-(a\vec x+b\vec u)\big)\cdot \vec x=0\iff a\|x\|^2+b\vec u\cdot \vec x=\vec y\cdot \vec x$$ $$\big(\vec y-(a\vec x+b\vec u)\big)\cdot \vec u=0\iff a\vec x\cdot\vec u+bn=\vec y\cdot \vec u.$$ On résoud ce système $2\times 2$ (en $a$ et $b$) dont les solutions sont données par $$a=\frac{\sigma_{x,y}}{\sigma_x^2}\textrm{ et }b=\bar y-\bar x\frac{\sigma_{x,y}}{\sigma_x^2}.$$
3. C'est immédiat.
4. $T(a,b)$ est minimal si et seulement si $\|\vec y-(a\vec x+b\vec u)\|$ est minimal, si et seulement si $a\vec x+b\vec u$ est le projeté orthogonal de $\vec y$ sur $\textrm{vect}(\vec x,\vec u)$ , si et seulement si $$a=\frac{\sigma_{x,y}}{\sigma_x^2}\textrm{ et }b=\bar y-\bar x\frac{\sigma_{x,y}}{\sigma_x^2}.$$

Exercice 7

- Prédiction [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Enoncé

L'étude d'une réaction chimique en fonction du temps a donné les résultats suivants : $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \textrm{Temps t (en h)}&1&2&3&4&5\\ \hline \textrm{Concentration C (en g/L)}&6,25&6,71&7,04&7,75&8,33\\ \hline \end{array} $$ Des considérations théoriques laissent supposer que la concentration $C$ et le temps $t$ sont liés par une relation de la forme $C=\frac 1{at+b}$. Donner une estimation de la concentration après 6H.

Indication

Corrigé

Exercice 8

- Droite des moindres carrés, dans les deux sens! [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Enoncé

On considère une série statistique à deux variables $\{(x_i,y_i);\ 1\leq i\leq n\}$. On note $D_1$ la droite de régression de $Y$ par rapport à $X$ et $D_2$ la droite de régression de $X$ par rapport à $Y$. Démontrer que $D_1=D_2$ si et seulement si tous les points $(x_i,y_i)$ sont alignés.

Indication

Corrigé

Exercice 9

- Avec l'ordinateur [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Enoncé

Le tableau ci-dessous donne la production annuelle d'une usine de pâte à papier (en tonnes) en fonction de l'année. $$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} 2004&2005&2006&2007&2008&2009&2010&2011\\ \hline 325&351&382&432&478&538&708&930 \end{array} $$

Tracer le nuage de points correspondant (sous logiciel!).
Un ajustement affine vous semble-t-il adéquat?
Pour chaque année, on note $p_i$ la production de la pâte à papier et $m_i=\ln(p_i)$. Tracer le nouveau nuage de points $(i,m_i)$ et calculer le coefficient de corrélation linéaire de la série double ($i$, $m_i$). Qu'en pensez-vous?
Donner une équation de la droite d'ajustement par les moindres carrés de $m_i$ en $i$.
Quelle production peut-on prévoir en 2014?
A cette dernière question, voici la réponse de quelques élèves :
Elève A : Je remplace 2014 dans l’équation 0,14x – 280,5 : je trouve 1,46. Puis je prends l’exponentielle : on trouve 4,3. Il doit y avoir une erreur car ce n’est pas assez.
Elève B : Puisque $p = e^{0,143i -280,508}$, alors $p(2014)\simeq 1797$. La production est de 1797 tonnes.
Elève C : J'utilise la touche Stats de ma calculatrice et je trouve 1233 tonnes.
Elève D : Je sais que $x= 2014$ et $p = 77,79x -155 636,82$. Donc : $p = 77,79\times 2014 – 155 636,82 =1032,24$. La production est 1032,24 tonnes
Analysez la production de chaque élève en mettant en évidence ses réussites et en indiquant l'origine éventuelle de ses erreurs.

Indication

Corrigé

Exercices corrigés - Statistiques descriptives