Exercices corrigés - Géométrie différentielle - sous-variétés, immersion, submersion

Remarquons d'abord que si $f:\mathbb R^n\to\mathbb R^p$, sa matrice jacobienne en $X$ , $J_f(X)$, envoie $\mathbb R^n$ sur $\mathbb R^p$. Elle ne peut être injective que si $n\leq p$ et surjective que si $n\geq p$. Autrement dit, la condition $n\leq p$ est nécessaire pour que $f$ soit une immersion et la condition $n\geq p$ est nécessaire pour que $f$ soit une submersion. On calcule ensuite pour chaque fonction la matrice $J_f$ et on vérifie si en chaque point elle est injective ou surjective.

1. On a $J_f(x,y)=\begin{pmatrix} 1&0\\ 0&1\\ 0&0 \end{pmatrix}.$ Cette matrice est toujours de rang 2 (la dimension de l'espace de départ), donc $f$ est une immersion (mais pas une submersion).
2. On a $J_f(x,y,z)= \begin{pmatrix} 0&1&0\\ 0&0&1 \end{pmatrix}. $ Cette matrice est toujours de rang 2 (la dimension de l'espace d'arrivée) et donc $f$ est une submersion (mais pas une immersion).
3. On a $J_f(x,y,z)= \begin{pmatrix} y+3z&x+2z&3x+2y \end{pmatrix}.$ Cette matrice est identiquement nulle si $x=y=z=0$. La fonction $f$ n'est ni une immersion, ni une submersion.
4. On a $J_f(t)= \begin{pmatrix} \cos(2t)\\ \cos(3t) \end{pmatrix}.$ Cette matrice est de rang 1 pour tout $t\in\mathbb R$. En effet, on ne peut pas avoir simultanément $\cos(2t)=0$ et $\cos(3t)=0$. Sinon, il existerait $k,l\in\mathbb Z$ tels que $t=\frac{\pi}4+\frac{k\pi}2$ et $t=\frac\pi6+\frac{l\pi}3$. Ceci conduirait à l'égalité $2l-3k=1/2$ ce qui est impossible puisque le membre de gauche est un entier. Ainsi, $f$ est une immersion, mais pas une submersion.
5. On a $J_f(x,y,z)= \begin{pmatrix} 2x&2y&2z\\ y&x&0 \end{pmatrix}.$ Ceci est la matrice nulle si $x=y=0$. $f$ n'est ni une immersion, ni une submersion.
6. On a $J_f(x,y)= \begin{pmatrix} e^x&0\\ 0&-\sin y\\ 0&\cos y \end{pmatrix}$. Cette matrice est de rang 2 pour tout $(x,y)\in\mathbb R^2$. En effet, $e^x\neq 0$ et le vecteur $\begin{pmatrix}-\sin y\\ \cos y\end{pmatrix}$ ne peut pas être le vecteur nul. Ainsi, $f$ est une immersion, mais pas une submersion.

Posons $f(x,y)=x^2-y^2-\alpha,\mathbb R^2\to\mathbb R$, de sorte que $f^{-1}(\{0\})=\mathcal C$. On a $df_{(x,y)}=(2x\quad-2y)$. Ceci est une surjection (puisque $df$ est une forme linéaire, c'est équivalent à dire qu'elle n'est pas identiquement nulle) si et seulement si $(x,y)\neq (0,0)$. Ainsi, $f$ est une submersion partout sauf en $(0,0)$. Si $\alpha\neq 0$, alors $(0,0)\notin \mathcal C$, et $f$ est une submersion en tout point de $\mathcal C$ : $\mathcal C$ est donc une sous-variété.
Si $\alpha=0$, alors $\mathcal C$ est la réunion de deux droites (distinctes) qui se coupent en $0$ : ce n'est pas une sous-variété car elle admet un point double.

Soit $a=(a_1,a_2)\in M_1\times M_2$. Il existe un voisinage $U_1$ de $a_1$ dans $\mathbb R^n$ et $f_1:U_1\to\mathbb R^{n-p_1}$ une submersion en $a_1$ tels que $M_1\cap U_1=f_1^{-1}(\{0\})$. De même, il existe un voisinage $U_2$ de $a_2$ dans $\mathbb R^m$ et $f_2:U_2\to\mathbb R^{m-p_2}$ une submersion en $a_2$ tels que $M_2\cap U_2=f_2^{-1}(\{0\})$.
Posons alors $f=(f_1,f_2):\mathbb R^{n+m}\to\mathbb R^{n+m-p_1-p_2}$, $(x,y)\in U_1\times U_2\mapsto (f_1(x),f_2(y))$. Alors $f$ est bien une submersion en $a=(a_1,a_2)$. En effet, $$df_a=\left( \begin{array}{cc} df_1(a_1)&0\\ 0&df_2(a_2)\\ \end{array} \right).$$ Le rang de cette matrice vaut bien le rang de $df_1(a_1)$ plus le rang de $df_2(a_2)$, c'est-à-dire $(n-p_1)+(m-p_2)=(n+m)-(p_1+p_2)$.
De plus, on a également $$f^{-1}(\{0\})=(M_1\cap U_1)\times (M_2\cap U_2)=(M_1\times M_2)\cap (U_1\times U_2).$$ Ainsi, $M_1\times M_2$ est une sous-variété de dimension $p_1+p_2$.

On définit $f(x,y,z)=xy+xz+2x+2y-z$ de sorte que $S=f^{-1}(0)$. Pour vérifier que $S$ est une sous-variété de dimension 2, il suffit de vérifier que $f$ est une submersion en chaque point de $S$. Mais, en tout $(x_0,y_0,z_0)$ de $\mathbb R^3$, $df_{(x_0,y_0,z_0)}$ est donné par la matrice ligne $$(y_0+z_0+2\quad\quad x_0+2\quad\quad x_0-1).$$ Pour que $df_{(x_0,y_0,z_0)}$ soit surjective, il suffit qu'elle soit de rang 1 (l'espace d'arrivée est $\mathbb R$). Il est impossible que les deuxièmes et troisièmes colonnes soient simultanément nulles. Donc $f$ est une submersion en tout point $(x_0,y_0,z_0)$ de $\mathbb R^3$, en particulier en tout point de $S$.
Le plan tangent en l'origine est alors donné par $$T_0S=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3;\ df_0(x,y,z)=0\}=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3;\ 2x+2y-z=0\}.$$

Définissons $f:\mathbb R^3\to\mathbb R^2$, $$(x,y,z)\mapsto (4xy+2xz+4y-z,xy+2x-z).$$ Puisque $\mathcal C=f^{-1}(\{0\})$, il suffit de prouver que $f$ est une submersion en tout point $(x,y,z)$ tel que $f(x,y,z)=0$, ou encore que $df_{(x,y,z)}$ est de rang 2 en les points de $\mathcal C$. Or, la matrice de $df_{(x,y,z)}$, dans la base canonique, est $$df_{(x,y,z)}=\left( \begin{array}{ccc} 4y+2z&4x+4&2x-1\\ y+2&x&-1 \end{array}\right).$$ Le déterminant extrait obtenu en considérant les deux derniers vecteurs vaut $-4x-4-2x^2+x=-2x^2-3x-4=-(2x^2+3x+4)$. Cette quantité n'est jamais nulle, et donc $df_{(x,y,z)}$ est toujours de rang $2$. Ainsi, $\mathcal C$ est une sous-variété de dimension 1. Son espace tangent est une droite, définie par $$T_{(0,0,0)}\mathcal C=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3;\ df_{(0,0,0)}(x,y,z)=0\}.$$ Calculant $df_{(0,0,0)}$ par la formule précédente, on trouve finalement que $$T_{(0,0,0)}\mathcal C=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3;\ 4y-z=2x-z=0\}.$$