$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Exercices corrigés - Courbes paramétrées en coordonnées polaires

Exercice 1 - Cardioide en coordonnées polaires [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Étudier et tracer la courbe d'équation polaire $\rho(\theta)=1+\cos\theta$.
Indication
Corrigé
Exercice 2 - La rosace à huit feuilles [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Construire la rosace d'équation polaire $\rho(\theta)=\sin(4\theta)$. On fera notamment attention à se restreindre à l'intervalle d'étude le plus petit possible.
Indication
Corrigé
Enoncé
On considère la courbe d'équation polaire $\rho(\theta)=4\cos\theta-\frac 1{\cos\theta}$.
  1. Démontrer qu'on peut limiter l'intervalle d'étude à $[0,\pi/2[$.
  2. Étudier la branche infinie de la courbe sur l'intervalle $[0,\pi/2[$.
  3. Tracer la courbe, on précisera en particulier la tangente à la courbe aux points correspondant à $\theta=0$ et $\theta=\pi/3$.
Indication
Corrigé
Enoncé
On considère la courbe paramétrée $\Gamma$ d'équation polaire $\rho(\theta)=1+\tan\theta$.
  1. Étudier les symétries de $\Gamma$ et restreindre l'intervalle d'étude.
  2. Étudier les variations de $\rho$.
  3. Déterminer les asymptotes de $\Gamma$ (on en donnera une équation dans le répère initial).
  4. Déterminer la (les) tangente(s) de la courbe en $O$.
  5. Tracer (le support de) $\Gamma$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Étudier et tracer la courbe paramétrée d'équation $\rho(\theta)=1+\frac{\pi/4}{\theta-\pi/3}$.
Corrigé
Exercice 6 - Lemniscate de Bernoulli [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On considère les points du plan $F(1,0)$ et $F'(-1,0)$. Déterminer une équation polaire de l'ensemble $\mathcal C$ des points $M$ du plan tels que $MF\times MF'=1$. Étudier et tracer cette courbe.
Indication
Corrigé