Exercices corrigés - Courbes paramétrées en coordonnées polaires

On commence par remarquer que $\rho(\theta+2\pi)=\rho(\theta)$, et donc qu'il suffit d'étudier la courbe sur l'intervalle $[-\pi,\pi]$. De plus, on a $\rho(-\theta)=\rho(\theta)$. On peut donc se contenter d'étudier la courbe sur $[0,\pi]$, puis d'appliquer une symétrie par rapport à la droite $(Ox)$. Les variations de $\rho$ sont évidentes : $\rho$ est décroissante sur $[0,\pi]$ avec $\rho(0)=2$ et $\rho(\pi)=0$. Le seul point stationnaire est en $\pi$. La tangente est alors parallèle à $\vec u_\pi$, c'est-à-dire parallèle à l'axe des abscisses. On en déduit le tracé suivant :

On commence par remarquer que $$\rho(\theta+\pi/2)=\rho(\theta).$$ Puisque $4\times \pi/2=2\pi$, on peut se contenter de tracer la courbe pour un intervalle de longueur $\pi/2$, puis de compléter en utilisant les 3 rotations de centre $O$ et d'angle $\pi/2$, $\pi$ et $3\pi/2$. On se limite pour le moment à l'intervalle $[-\pi/4,\pi/4]$. On remarque ensuite que $\rho(-\theta)=-\rho(\theta)$. On peut donc se contenter de tracer la courbe sur l'intervalle $[0,\pi/4]$, et on complètera le tracé par une symétrie d'axe $(Oy)$. Enfin, on a $\rho(\pi/4-\theta)=\rho(\theta)$. On va donc se contenter de tracer la courbe sur l'intervalle $[0,\pi/8]$, et on va compléter le tracé par une symétrie d'axe polaire d'angle $\pi/8$. \\ Sur $[0,\pi/8]$, l'étude des variations de $\rho$ est triviale. La fonction $\rho$ est croissante, valant $0$ en $0$ et $1$ en $\pi/8$. Le point correspondant à $\theta=0$ est un point stationnaire, la tangente à ce point est dirigée par le vecteur $\vec u_0$, c'est-à-dire que la tangente en ce point est l'axe des abscisses. En $\pi/8$, $\rho'$ s'annule, et donc la tangente est perpendiculaire au rayon vecteur, ie à $\vec u_{\pi/8}$ (on aurait pu aussi constater cette propriété en utilisant la symétrie par rapport à la droite d'axe polaire d'angle $\pi/8$). Finalement, on obtient le tracé suivant : On remarquera en particulier les 16 axes de symétrie de la figure (tous ceux d'axe polaire $k\pi/8$, avec $0\leq k\leq 15$.

La fonction $\rho$ est définie sur $]-\infty,\pi/3[\cup]\pi/3,+\infty[$. Sur chacun des deux intervalles qui constituent son ensemble de définition, elle est décroissante, et elle s'annule en $\pi/12$. On obtient donc le tableau de variation suivant : Au voisinage de $+\infty$ et de $-\infty$, $\rho$ tend vers 1. La courbe s'enroule alors autour du cercle de centre $O$ et de rayon 1. Étudions maintenant la branche infinie autour de $\pi/3$, en posant $Y(\theta)=\rho(\theta)\sin(\theta-\pi/3)$. Il vient $$Y(\theta)=\sin(\theta-\pi/3)+\frac\pi4\times \frac{\sin(\theta-\pi/3)}{\theta-\pi/3}.$$ Puisque $\sin(x)/x$ tend vers 1 lorsque $x$ tend vers 0, on en déduit que $Y(\theta)$ tend vers $\pi/4$ en $\pi/3$. La courbe admet donc la droite d'équation $Y=\pi/4$ dans le repère $(O,\vec u_{\pi/3},\vec v_{\pi/3})$ pour asymptote. On remarque enfin qu'à l'origine, point atteint uniquement pour le paramètre $\theta=\pi/4$, la tangente a pour équation polaire $\theta=\pi/4$. On en déduit donc le tracé suivant :

Soit $M(\rho\cos\theta,\rho\sin\theta)$ un point du plan. On écrit que \begin{eqnarray*} MF\times MF'=1&\iff&MF^2\times (MF')^2=1\\ &\iff&\big((\rho\cos\theta-1)^2+\rho^2\sin^2\theta\big)\times\big((\rho\cos\theta+1)^2+\rho^2\sin^2\theta\big)=1\\ &\iff&\big(\rho^2-2\rho\cos\theta+1\big)\times\big(\rho^2+2\rho\cos\theta+1\big)-1=0\\ &\iff&\rho^4+2\rho^2(1-2\cos^2\theta)=0\\ &\iff&\rho^2(\rho^2-2\cos2\theta)=0. \end{eqnarray*} La courbe est donc décrite par l'équation polaire $\rho=\sqrt{2\cos(2\theta)}$ (le cas $\rho=0$ étant couvert par cette équation). Elle est définie sur des intervalles du type $[-\pi/4+k\pi,\pi/4+k\pi]$. Comme la fonction est $2\pi$-périodique, on peut se limiter à $[-\pi/4,\pi/4]\cup[3\pi/4,5\pi/4]$. De plus, $\rho(\pi-x)=\rho(x)$ : la courbe est symétrique par rapport à $(Oy)$, et on peut restreindre le domaine d'étude à $[-\pi/4,\pi/4]$. On remarque aussi que $\rho(-\theta)=\rho(\theta)$, et donc on peut restreindre le domaine d'étude à $[0,\pi/4]$, puis faire une symétrie par rapport à $(Ox)$. Sur $[0,\pi/4]$, la fonction $\rho$ est décroissante, valant $0$ en $\pi/4$ (la tangente en $O$ est donc d'équation $\theta=\pi/4$), et $\sqrt 2$ en $0$. On en déduit le tracé suivant :