Exercices corrigés - Formules de Taylor

1. Soit $a>0$. Démontrer que $$\left|\cos a-1+\frac{a^2}{2!}-\frac{a^4}{4!}\right|\leq \frac{a^5}{5!}.$$
2. En déduire que $$\frac{337}{384}-\frac{1}{3840}\leq\cos(1/2)\leq\frac{337}{384}+\frac{1}{3840}.$$
Soit $x$ un réel strictement positif. Démontrer que : $$\left|\ln(1+x)-x+\frac{x^2}{2}\right|\leq\frac{x^3}{3}.$$ En déduire une valeur approchée de $\ln(1,003)$ à $10^{-8}$ près.

Exercice 2

- Limite de suites [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Soit $(u_n)$ la suite définie par $$u_n=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\dots+\frac{1}{n!}.$$ Démontrer que $(u_n)$ converge vers $\exp(1)$.
On considère la suite $(u_n)$ définie par $$u_n=1-\frac12+\frac13+\dots+\frac{(-1)^{n-1}}{n}.$$ Montrer que cette suite converge vers $\ln(2)$.

Exercice 3

- Inégalités de Kolmogorov [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Soit $f$ une fonction définie sur $\mtr$, de classe $C^2$. On suppose que $f$ et $f''$ sont bornées, et l'on pose : $$M_0=\sup_{x\in\mtr}|f(x)|,\ \ M_2=\sup_{x\in\mtr}|f''(x)|$$ ($M_0$ et $M_2$ sont donc des nombres réels tels que, pour tout $x$ réel, on a $|f(x)|\leq M_0$ et $|f''(x)|\leq M_2$). Le but de cet exercice est de prouver que $f'$ est bornée, et de majorer $M_1=\sup_{x\in\mtr}|f'(x)|$ en fonction de $M_0$ et $M_2$. Soit $x\in\mtr$, et $h>0$.

Appliquer l'inégalité de Taylor-Lagrange à $f$ entre $x$ et $x+h$ à l'ordre $1$ (c'est-à-dire qu'on veut approcher $f(x+h)$ par le polynôme de Taylor de degré $1$ de $f$ en $x$).
En déduire l'inégalité : $$|f'(x)|\leq \frac{2M_0}{h}+\frac{hM_2}{2}.$$ En particulier, si on choisit $h=1$, on obtient $|f'(x)|\leq 2M_0+\frac{M_2}{2}$ pour tout $x$ de $\mtr$, ce qui prouve que $f'$ est bornée, avec $M_1\leq 2M_0+\frac{M_2}{2}.$ On se propose de trouver une meilleure majoration :
Etudier la fonction $h\mapsto \frac{2M_0}{h}+\frac{hM_2}{2}$ sur $]0,+\infty[$.
En déduire $M_1\leq 2\sqrt{M_0M_2}.$

Exercice 4

- Contrôle des dérivées [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Soit $f:\mathbb R\to\mathbb R$ de classe $C^\infty$ et $\lambda>0$ vérifiant : $$\left\{ \begin{array}{c} f^{(n)}(0)=0\textrm{ pour tout entier }n\geq 0\\ \sup_{\mathbb R}|f^{(n)}|\leq \lambda^nn! \end{array}\right.$$

Montrer que $f=0$ sur l'intervalle $\left]-\frac1\lambda,\frac1\lambda\right[$.
Montrer que $f=0$ sur $\mathbb R$.

Exercice 5

- Vers la transcendance de $e$ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

On suppose qu'il existe trois entiers $a$, $b$ et $c$ tels que $ae^2+be+c=0$. Pour tout réel $x$, on pose $f(x)=ae^x+ce^{-x}$.

Justifier que $f(1)$ est un entier, ainsi que $f^{(k)}(0)$ pour tout entier $k\geq 0$.
Soit $n\geq 1$. Démontrer qu'il existe un réel $(\theta_n)\in [0,1]$ tel que $\frac{f^{(n)}(\theta_n)}n$ soit un entier.
Justifier que la suite $(f^{(n)}(\theta_n))$ est bornée.
Démontrer qu'il existe un entier $N\geq 1$ tel que pour tout $n\geq N$, $f^{(n)}(\theta_n)=0$.
En déduire que l'on a $a=b=c=0$.

Exercice 6

- Dérivées majorées par un polynôme [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Soit $f:\mathbb R\to\mathbb R$ une fonction de classe $C^\infty$ vérifiant la propriété suivante : il existe un polynôme $P\in\mathbb R[X]$ de degré impair tel que, pour tout $n\geq 0$, pour tout $x\in\mathbb R$, $$|f^{(n)}(x)|\leq |P(x)|.$$

Montrer qu'il existe $a\in\mathbb R$ tel que $f^{(n)}(a)=0$ pour tout $n\geq 0$.
En déduire que $f$ est identiquement nulle.
Le résultat subsiste-t-il si on suppose que $P$ est de degré pair?

Exercice 7

- La dérivée seconde doit être grande [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Soit $f:[0,1]\to\mathbb R$ de classe $C^2$ vérifiant $f(0)=f'(0)=f'(1)=0$ et $f(1)=1$. Montrer qu'il existe $c\in[0,1]$ tel que $|f''(c)|\geq 4.$

Exercice 8

- La méthode de Newton [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Soit $f:[a,b]\to\mathbb R$ une fonction de classe $C^2$ sur $[a,b]$ vérifant $f(a)<0$, $f(b)>0$, $f'>0$ et $f''>0$.

Démontrer qu'il existe un unique $\gamma\in]a,b[$ tel que $f(\gamma)=0$.
On pose $x_0=b$. Déterminer l'abscisse $x_1$ du point d'intersection de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $x_0$ avec l'axe des abscisses. Justifier que $x_1\in[\gamma,b]$.
On réitère le procédé et on construit ainsi une suite $(x_n)$ vérifiant la relation de récurrence $x_{n+1}=\varphi(x_n)$ avec $\varphi(x)=x-\frac{f(x)}{f'(x)}$. Démontrer que la suite $(x_n)$ converge vers $\gamma$.
On souhaite estimer la vitesse de convergence de $(x_n)$ vers $\gamma$.
1. Justifier que, pour tout $x\in[a,b]$, on a $$\left|f(\gamma)-f(x)-f'(x)(\gamma-x)\right|\leq\frac{\max_{[a,b]}|f''|}{2}|x-\gamma|^2.$$
2. En déduire que $$|x_{n+1}-\gamma|\leq k|x_n-\gamma|^2\textrm{ avec }k=\frac12\frac{\max_{[a,b]} |f''|}{\min_{[a,b]}|f'|}.$$
Démontrer que, pour tout $n\geq 0$, on a : $k|x_n-\gamma|\leq \left(k|x_0-\gamma|\right)^{2^n}$.
Application numérique : montrer que la fonction $f$ définie par $f(x)=x^2-3$ vérifie les conditions d'application des résultats précédents avec $a=1,7$ et $b=1,8$. En déduire une méthode pour calculer une valeur approchée de $\sqrt 3$ à $10^{-20}$ près. Qu'en pensez-vous?

La fonction est continue et strictement croissante sur l'intervalle $[a,b]$. Elle réalise donc une bijection de l'intervalle $[a,b]$ sur l'intervalle $[f(a),f(b)]$. Puisque $0$ est dans cet intervalle, il existe un unique $\gamma\in]a,b[$ tel que $f(\gamma)=0$. On a de plus $\gamma\neq a$ et $\gamma\neq b$.
L'équation de la tangente à la courbe représentative de $f$ en $(x_0,f(x_0))$ est $$y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0).$$ Pour $y=0$, on trouve la valeur de $x_1$ qui est donc $$x_1=x_0-\frac{f(x_0)}{f'(x_0)}.$$ Puisque $f(x_0)$ et $f'(x_0)$ sont positifs, on a $x_1\leq x_0=b$. De plus, puisque $f''$ est positive, la fonction $f$ est convexe et la courbe représentative de $f$ est au-dessus de ses tangentes. En particulier, on a $f(x_1)\geq 0=f(\gamma)$. Puisque $f$ est croissante, ceci entraine $x_1\geq \gamma$.
Le procédé étant le même qu'à la question précédente, on montre par récurrence sur $n$ que, pour chaque $n\geq 1$, on a $$\gamma\leq x_n\leq x_{n-1}.$$ Ainsi, la suite $(x_n)$ est décroissante, minorée, elle est convergente, et sa limite est un élément de $[\gamma,b]$. De plus, la suite $(x_n)$ vérifiant la relation de récurrence $x_{n+1}=\varphi(x_n)$, et $\varphi$ étant continue sur $[a,b]$, elle converge vers un point fixe de $\varphi$ dans $[a,b]$. Or, l'équation $\varphi(l)=l$ est équivalente à $f(l)=0$, dont l'unique solution est $\gamma$. Ainsi, la suite $(x_n)$ converge vers $\gamma$.
1. Il s'agit simplement de l'inégalité de Taylor-Lagrange à l'ordre 2 appliqué à la fonction $f$ entre $x$ et $\gamma$. Il est légitime d'utiliser cette inégalité car $f$ est de classe $C^2$.
2. On applique la formule précédente avec $x=x_n$. Utilisant que $f(\gamma)=0$, on obtient $$\left|-f(x_n)-f'(x_n)(\gamma-x_n)\right|\leq\frac12\max_{[a,b]} |f''||x_n-\gamma|^2.$$ On divise cette inégalité car $|f'(x_n)|$, qui est un réel strictement positif, et on obtient $$|x_{n+1}-\gamma|\leq \frac{\max_{[a,b]} |f''|}{2|f'(x_n)|}|x_n-\gamma|^2\leq \frac12\frac{\max_{[a,b]} |f''|}{\min_{[a,b]}|f'|}|x_n-\gamma|^2.$$
Prouvons cette inégalité par récurrence sur $n$. Elle est vraie pour $n=0$. Supposons la vraie au rang $n$ et prouvons-la au rang $n+1$. On a alors $$k|x_{n+1}-\gamma|\leq k^2|x_n-\gamma|^2\leq (k|x_{0}-\gamma|)^{2^n\times 2}=(k|x_{0}-\gamma|)^{2^{n+1}},$$ ce qu'il fallait démontrer.
La fonction $x\mapsto x^2-3$ vérifie très clairement les hypothèses. Reste à calculer $k$ pour obtenir une estimation de l'erreur. Mais, $f''=2$ et $f'(x)=2x\geq 3,4$ sur l'intervalle $[a,b]$. Ainsi, on peut prendre $k=\frac{1}{3,4}$. De plus, $|x_0-\gamma|\leq 0,1$ et donc on a $$k|x_n-\gamma|\leq \frac{1}{34^{2^n}}.$$ Si on cherche une valeur approchée à $10^{-20}$ près, on doit chercher $n$ tel que \begin{eqnarray*} \frac{1}{k\times 34^{2^n}}\leq 10^{-20}&\iff& \frac{10^{20}}k\leq 34^{2^n}\\ &\iff&\ln\left(\frac{10^{20}}{k}\right)\leq 2^n \ln 34\\ &\iff&\frac{1}{\ln 2}\ln\left(\frac{\ln\left(\frac{10^{20}}{k}\right)}{\ln 34}\right)\leq n. \end{eqnarray*} La valeur $n=4$ convient, ce qui est très bon!

Exercice 9

- Ordre de convergence d'une suite récurrente [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Soit $(u_n)$ une suite de réels convergente vers $\ell$ et telle que, pour tout $n\in\mathbb N$, on a $u_n\neq \ell$. Pour $r\geq 1$, on dit que la convergence de la suite $(u_n)$ est d'ordre au moins $r$ si la suite $(w_n)$ définie pour $n\geq 0$ par $$w_{n}=\frac{u_{n+1}-\ell}{|u_n-\ell|^r}$$ est bornée. Soit $I$ un intervalle de $\mathbb R$ avec $\ell\in I$ et $f:I\to I$ une fonction dérivable sur $I$. On suppose que la suite $(u_n)$ est donnée par $u_0\in I$ et $u_{n+1}=f(u_n)$. Démontrer que la convergence de $(u_n)$ vers $\ell$ est d'ordre au moins $r$ si et seulement si, pour tout $k\in\{1,2,\dots,r-1\}$, $f^{(k)}(\ell)=0$.

Exercice 10

- Une égalité étrange [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

En appliquant la formule de Taylor avec reste intégral à la fonction $x\mapsto \ln(1+x^2)$, prouver que : $$\int_0^1\frac{(1+t)(1-t)^2}{(1+t^2)^2}dt=\frac{\ln 2}{2}.$$

Exercice 11

- Égalité de Taylor-Lagrange [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Soient $a<b$ deux réels.

Soit $g:[a,b]\to\mathbb R$ continue et $n\geq 1$. On note $m=\min_{[a,b]}g$ et $M=\max_{[a,b]}g$.
1. Démontrer que $$\frac{m(b-a)^{n}}n \leq \int_a^b (b-t)^{n-1} g(t)dt\leq \frac{M(b-a)^{n}}n.$$
2. En déduire qu'il existe $c\in [a,b]$ tel que $$\int_a^b (b-t)^{n-1} g(t)dt=\frac{(b-a)^{n}g(c)}n.$$
Soit $f:[a,b]\to\mathbb R$ de classe $C^n$. Démontrer qu'il existe $c\in[a,b]$ tel que $$f(b)=\sum_{k=0}^{n-1} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(b-a)^k +\frac{(b-a)^nf^{(n)}(c)}{n!}.$$

Exercice 12

- Inégalités [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Démontrer que pour tout $x\in[0;+\infty[$ : $$1-\frac x3+\frac{2x^2}9-\frac{14x^3}{81}\leq\frac1{\sqrt[3]{1+x}}\leq 1-\frac x3+\frac{2x^2}9.$$

Exercice 13

- Limite un peu théorique [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Soit $f$ définie sur un intervalle ouvert contenant $x$ et de classe $C^2$ sur cet intervalle. Calculer $$\lim_{h\to 0}\frac{f(x-h)-2f(x)+f(x+h)}{h^2}.$$

Exercice 14

- Un calcul de limite [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Soit $f:\mathbb R\to\mathbb R$ de classe $C^2$. Déterminer $$\lim_{x\to 0}\frac{f'(x)-\frac{f(x)-f(0)}x}x.$$

Exercice 15

- Dérivée d'une racine carrée [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Soit $f:\mathbb R\to\mathbb R_+$ une fonction de classe $C^2$.

Soit $x_0\in\mathbb R$ tel que $f(x_0)=0$. Que dire de $f'(x_0)$? de $f''(x_0)$?
Démontrer que $\sqrt f$ est dérivable sur $\mathbb R$ si et seulement si, pour tout $x_0\in\mathbb R$ tel que $f(x_0)=0$, alors $f''(x_0)=0$.