Exercices corrigés - Séries numériques - convergence et divergence
Convergence de séries à termes de signe constant
Enoncé 

Etudier la convergence des séries $\sum u_n$ suivantes :
$$\begin{array}{lllll}
\displaystyle \mathbf 1.\ u_n=\frac{n}{n^3+1}&&\displaystyle \mathbf 2.\ u_n=\frac{\sqrt n}{n^2+\sqrt n}&&\displaystyle \mathbf 3.\ \dis u_n=n\sin(1/n)\\
\displaystyle \mathbf 4.\ u_n=\frac{1}{\sqrt{n}}\ln\left(1+\frac{1}{\sqrt{n}}\right)&&
\displaystyle \mathbf 5.\ u_n=\frac{(-1)^n +n}{n^2+1}
&&\displaystyle \mathbf 6.\ u_n=\frac{1}{n!}\\
\displaystyle \mathbf 7.\ u_n=\frac{3^n+n^4}{5^n-2^n}
&&\displaystyle \mathbf 8.\ u_n=\frac{n+1}{2^n+8}
&&\displaystyle \mathbf 9.\ u_n=\frac{1}{\ln(n^2+1)}
\end{array}$$
Exercice 2 
- Equivalents à partir de développements limités [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]


Enoncé 

Donner la nature des séries numériques $\sum u_n$ suivantes :
$$\begin{array}{lllll}
\displaystyle\mathbf 1.\ u_n=1-\cos\frac{\pi}{n}&&
\displaystyle \displaystyle \mathbf 2.\ u_n=\exp\left(\cos\left(\frac 1n\right)\right)-\exp\left(\cos\left(\frac 2n\right)\right)&&
\displaystyle \displaystyle \mathbf 3.\ u_n=\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n^2}\\
\end{array}.$$
Enoncé 

Étudier la convergence des séries $\sum u_n$ suivantes :
$$\begin{array}{lllll}
\displaystyle \mathbf 1.\ u_n=\left(\frac{1}{2}\right)^{\sqrt{n}}&&
\displaystyle \mathbf 2.\ u_n=a^n n!,\ a\in\mathbb R_+&&\displaystyle \mathbf 3. \ u_n=ne^{-\sqrt n}\\
\displaystyle {\bf 4.}
\ u_n=\frac{\ln(n^2+3)\sqrt{2^n+1}}{4^n}.&&
\displaystyle {\bf 5}.\
\ u_n=\frac{\ln n}{\ln(e^n -1)}&&
\displaystyle \mathbf 6.\ u_n=\left(\frac 1n\right)^{1+\frac 1n}\\
\ \displaystyle \mathbf 7.\ u_n=\frac{(n!)^3}{(3n)!}.
\end{array}$$
Exercice 4 
- Puissances, logarithmes et factorielles [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]


Enoncé 

Etudier la convergence des séries $\sum u_n$ suivantes :
$$\begin{array}{lllll}
\displaystyle \mathbf 1.\ u_n=\frac{\ln(n^n)}{n!}&&
\displaystyle \mathbf 2.\ u_n=\frac{n^{\ln n}}{(\ln n)^n}&&
\displaystyle \mathbf 3.\ u_n=\frac{1}{(\ln n)^{\ln n}}.
\end{array}$$
Enoncé 

Étudier les séries de terme général suivant :
$$\begin{array}{lllll}
\displaystyle \displaystyle \mathbf 1.\ u_n=\frac{n!}{n^{an}},\ a\in\mathbb R&&\displaystyle \mathbf 2.\ u_n=\frac{n^\alpha(\ln n)^n}{n!}\textrm{ avec }\alpha\in\mathbb R&& \mathbf 3.\ u_n=\frac{(n!)^\alpha}{(2n)!},\ \alpha\in\mathbb R.
\end{array}$$
Enoncé 

Étudier les séries de terme général suivant :
$$\begin{array}{lll}
\displaystyle \displaystyle \mathbf 1.\ u_n=\left(\frac{n-1}{2n+1}\right)^n&&
\displaystyle \mathbf 2.\ \ u_n=\left(\frac{n-1}{2n+1}\right)^{n(-1)^n}&&
\end{array}$$
Enoncé 

Discuter, suivant la valeur des paramètres, la convergence des séries suivantes :
$$\begin{array}{lll}
\displaystyle \mathbf 1.\ e^{\frac 1n}-a-\frac{b}{n},\ a,b\in\mathbb R &&
\displaystyle \mathbf 2.\ \cos\left(\frac 1n\right)-a-\frac bn,\ a,b\in\mathbb R.\\
\displaystyle \mathbf 3.\ \frac{1}{an+b}-\frac{c}n,\ a,b,c\in\mathbb R,\ (a,b)\neq (0,0)
\end{array}$$
Enoncé 

Discuter, suivant la valeur des paramètres, la convergence des séries suivantes :
$$\begin{array}{lll}
\displaystyle \mathbf 1.\ \left(\frac{n+a}{n+b}\right)^{n^2} &&
\displaystyle \mathbf 2.\
\sqrt[3]{n^3+an}-\sqrt{n^2+3},\ a\in\mathbb R
\end{array}$$
Enoncé 

Déterminer en fonction des paramètres la nature des séries numériques $\sum u_n$ suivantes :
$$\begin{array}{lll}
\displaystyle \mathbf 1.\ u_n=\left(n\sin\left(\frac{1}{n}\right)\right)^{n^\alpha},\ \alpha\geq 0&&
\displaystyle \mathbf 2.\ \frac{1}{n^\alpha}\left((n+1)^{1+1/n}-(n-1)^{1-1/n}\right),\ \alpha\in\mathbb R.
\end{array}$$
Enoncé 

Étudier la nature des séries $\sum u_n$ suivantes :
- $u_n=1/n$ si $n$ est un carré, et 0 sinon.
- $u_n=\arctan(n+a)-\arctan(n)$, avec $a>0$.
Exercice 11 
- Cas limite de la règle de d'Alembert [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]


Enoncé 

Soit, pour $n\geq 1$ et $a>0$, la suite $u_n=\frac{a^n n!}{n^n}$.
- Étudier la convergence de la série $\sum_n u_n$ lorsque $a\neq e$.
- Lorsque $a=e$, prouver que, pour $n$ assez grand, $u_{n+1}/u_n\geq 1$. Que dire de la nature de la série $\sum_n u_n$?
Exercice 12 

- Cas limite de la règle de d'Alembert [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]



Enoncé 

- Soit, pour tout entier $n\geq 1$, $\dis u_n=\frac{1\times 3\times 5\times\dots\times (2n-1)}{2\times 4\times6\times\dots\times(2n)}$. Quelle est la limite de $u_{n+1}/u_n$? Montrer que la suite $(nu_n)$ est croissante. En déduire que la série de terme général $u_n$ est divergente.
- Soit, pour tout entier $n\geq 2$, $\dis v_n=\frac{1\times 3\times 5\times\dots\times (2n-3)}{2\times 4\times6\times\dots\times(2n)}$. Quelle est la limite de $v_{n+1}/v_n$? Montrer que, si $1<\alpha<3/2$, on a $(n+1)^\alpha v_{n+1}\leq n^\alpha v_n$. En déduire que la série de terme général $v_n$ converge.
Enoncé 

Étudier la convergence des séries $\sum u_n$ suivantes :
$$\begin{array}{lll}
\displaystyle\mathbf 1.\ u_n=\frac{1+\frac{1}{2}+\dots+\frac{1}{n}}{\ln(n!)}&&
\displaystyle\mathbf 2.\ u_n=\int_0^{\pi/n}\frac{\sin^3 x}{1+x}dx\\
\displaystyle\mathbf 3.\ u_1\in\mathbb R,\ u_{n+1}=e^{-u_n}/n^\alpha, \alpha\in\mathbb R.
\end{array}$$
Exercice 14 


- Série des inverses des nombres premiers [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]




Enoncé 

Soit $(p_k)_{k\geq 1}$ la suite ordonnée des nombres premiers.
Le but de l'exercice est d'étudier la divergence de la série $\sum_{k\geq 1}\frac{1}{p_k}$.
Pour $n\geq 1$, on pose $V_n=\prod_{k=1}^n \frac{1}{1-\frac1{p_k}}$.
- Montrer que la suite $(V_n)$ est convergente si et seulement si la suite $(\ln V_n)$ est convergente.
- En déduire que la suite $(V_n)$ est convergente si et seulement si la série $\sum_{k\geq 1}\frac{1}{p_k}$ est convergente.
- Démontrer que $$V_n=\prod_{k=1}^n\left(\sum_{j\geq 0}\frac{1}{p_k^j}\right).$$
- En déduire que $V_n\geq\sum_{j=1}^n \frac{1}j$.
- Quelle est la nature de la série $\sum_{k\geq 1}\frac{1}{p_k}$?
- Pour $\alpha\in\mathbb R$, quelle est la nature de la série $\sum_{k\geq 1}\frac{1}{p_k^\alpha}$?
Enoncé 

Étudier la convergence de la série de terme général $\frac{|\sin(n)|}{n}$.
Enoncé 

On note $A$ l'ensemble des entiers naturels non-nuls dont l'écriture (en base $10$) ne comporte pas de 9.
On énumère $A$ en la suite croissante $(k_n)$. Quelle est la nature de la série $\sum_n \frac1{k_n}$?
Convergence de séries à termes quelconques
Exercice 17 
- Sans le critère des séries alternées [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]


Enoncé 

On considère la série $\sum_{n\geq 1}\frac{(-1)^k}k$, et on note, pour $n\geq 1$,
$$S_n=\sum_{k=1}^n \frac{(-1)^k}{k},\ u_n=S_{2n},\ v_n=S_{2n+1}.$$
- La série est-elle absolument convergente?
- Démontrer que les deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont adjacentes.
- Conclure que la série est convergente.
Enoncé 

Étudier la nature des séries $\sum u_n$ suivantes :
$$\begin{array}{lll}
\displaystyle\mathbf 1.\ u_n=\frac{\sin n^2}{n^2}&&\displaystyle\mathbf 2.\ u_n=\frac{(-1)^n\ln n}{n}\\
\displaystyle\mathbf 3.\ u_n=\frac{\cos (n^2\pi)}{n\ln n}
\end{array}$$
Enoncé 

Soit $f:[0,1]\to\mtr$ une fonction continue. Montrer que la série de terme général $\frac{1}{n}\int_0^1 t^nf(t)dt$ est convergente.
Enoncé 

- Démontrer que la série $\sum_n \frac{(-1)^n}{\sqrt n}$ converge.
- Démontrer que $\displaystyle \frac{(-1)^n}{\sqrt n+(-1)^n}=\frac{(-1)^n}{\sqrt n}-\frac1n+o\left(\frac 1{n}\right)$.
- Étudier la convergence de la série $\displaystyle \sum_n \frac{(-1)^n}{\sqrt n+(-1)^n}$.
- Qu'a-t-on voulu mettre en évidence dans cet exercice?
Enoncé 

Étudier la convergence des séries de terme général :
$$\begin{array}{lll}
\displaystyle\mathbf 1.\ \ln\left(1+\frac{(-1)^n}{2n+1}\right)&&\displaystyle\mathbf 2. \frac{(-1)^n}{\sqrt{n^\alpha+(-1)^n}},\ \alpha>0\\
\displaystyle\mathbf 3. \frac{(-1)^n}{n^\alpha+(-1)^nn^\beta},\ \alpha,\beta\in\mathbb R.
\end{array}$$
Exercice 22 
- Série alternée à partir d'une intégrale [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]


Enoncé 

Pour $n\geq 1$, on pose
$$u_n=\int_{n\pi}^{(n+1)\pi}\frac{\sin x}xdx.$$
- Démontrer que \[ u_n=(-1)^n \int_0^\pi \frac{\sin t}{n\pi+t}dt. \]
- Démontrer alors que $\sum u_n$ est convergente.
- Démontrer que $|u_n|\geq \frac2{(n+1)\pi}$ pour tout $n\geq 1$. En déduire que $\sum_n u_n$ ne converge pas absolument.
Enoncé 

Discuter la nature de la série de terme général $$u_n=\frac{a^n2^{\sqrt n}}{2^{\sqrt n}+b^n},$$ où $a$ et $b$
sont deux nombres complexes, $a\neq 0$.
Enoncé 

Suivant la position du point de coordonnées $(x,y)$ dans le plan, étudier la nature de la série de terme général
$$u_n=\frac{x^n}{y^n+n}.$$
Enoncé 

On fixe $\alpha>0$ et on pose $u_n=\sum_{p=n}^{+\infty}\frac{(-1)^p}{p^\alpha}$. Le but de l'exercice est démontrer
que la série de terme général $u_n$ converge.
- Soit $n\geq 1$ fixé. On pose $$v_p=\frac{1}{(p+n)^\alpha}-\frac{1}{(p+n+1)^\alpha}.$$ Démontrer que la suite $(v_p)$ décroît vers 0. En déduire la convergence de $\sum_{p=0}^{+\infty}(-1)^pv_p$. Quel est le signe de sa somme?
- En appliquant le critère des séries alternées, démontrer que la série de terme général $(u_n)$ converge.
Enoncé 

On considère deux suites complexes $(u_n)$ et $(v_n)$. On s'intéresse à la convergence de la série
$\sum_n u_nv_n$. Pour $n\geq 1$, on note $s_n=\sum_{k=0}^n u_k$.
- Montrer que, pour tout $n\in\mathbb N$, on a : $$\sum_{k=1}^n u_kv_k=s_nv_n-s_{0}v_1+\sum_{k=1}^{n-1}s_k(v_k-v_{k+1}).$$
- Montrer que si la suite $(s_n)$ est bornée, et si la suite $(v_n)$ est à valeurs dans $\mathbb R^+$, décroissante et de limite nulle, alors $\sum_n u_nv_n$ est convergente.
- Montrer que la série $\sum_{n\geq 1}\frac{\sin(n\theta)}{\sqrt n}$ converge pour tout $\theta\in\mathbb R$.
Enoncé 

Soit $(a_n)$ une suite de nombres complexes et $x<y$ deux réels. Démontrer que si $\sum_{n\geq 1}a_n n^{-x}$ converge, alors $\sum_{n\geq 1}a_n n^{-y}$ converge.
Enoncé 

Étudier la convergence des séries suivantes :
$$\begin{array}{lll}
\dis\mathbf 1.\ \sin\left(\frac{\sin n}{\sqrt[3]{n}}\right)&&\dis\mathbf 2.\ \frac{(-1)^nn\cos n}{n\sqrt{n}+\sin n}.
\end{array}$$
Exercice 29 


- Terme général donné par un produit [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]




Enoncé 

Étudier la nature de la série de terme général
$$u_n=\prod_{q=2}^n\left(1+\frac{(-1)^q}{\sqrt q}\right).$$
Enoncé 

Montrer que la série de terme général $u_n=\frac{\cos(\ln n)}{n}$ est divergente.
Enoncé 

Étudier les séries de terme général :
- $u_n=\sin(\pi e n!)$ et $v_n=\sin\left(\frac{\pi}{e}n!\right).$
- $\displaystyle u_n=\frac{(-1)^{\lfloor \sqrt{n} \rfloor }}{n^\alpha}$, pour $\alpha\in\mtr.$
Comparaison à une intégrale
Enoncé 

Suivant la valeur de $\alpha\in\mathbb R$, déterminer la nature de la série $\sum_n u_n$, où
$$u_n=\frac{\sqrt 1+\sqrt 2+\dots+\sqrt n}{n^\alpha}.$$
Enoncé 

On souhaite étudier, suivant la valeur de $\alpha,\beta\in\mathbb R$, la convergence de la série de terme général
$$u_n=\frac{1}{n^\alpha(\ln n)^\beta}.$$
- Démontrer que la série converge si $\alpha>1$.
- Traiter le cas $\alpha<1$.
- On suppose que $\alpha=1$.
On pose $T_n=\int_2^n \frac{dx}{x(\ln x)^\beta}$.
- Montrer si $\beta\leq 0$, alors la série de terme général $u_n$ est divergente.
- Montrer que si $\beta>1$, alors la suite $(T_n)$ est bornée, alors que si $\beta\leq 1$, la suite $(T_n)$ tend vers $+\infty$.
- Conclure pour la série de terme général $u_n$, lorsque $\alpha=1$.
Enoncé 

Par comparaison à une intégrale, donner un équivalent de $u_n=\sum_{k=1}^n \ln^2(k)$. La série de terme
général $\frac 1{u_n}$ est-elle convergente?