Exercices corrigés - Produit de convolution
Existence et calculs
Enoncé 

Soit $f=\mathbf{1}_{[-1,1]}$ et $g=\mathbf{1}_{[-a,a]}$, avec $a\geq 1$. Calculer $f\star g$ après en avoir justifié
l'existence.
Exercice 2 
- Deux fonctions dans $L^1_{\textrm{loc}}$ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]


Enoncé 

Soit $\alpha$ et $\beta$ deux nombres réels. Montrer l'existence et calculer le produit de convolution $(e^{\alpha x}\mathbf{1}_{[0,+\infty[}(x))\star(e^{\beta x}\mathbf{1}_{[0,+\infty[}(x))$.
Enoncé 

Soit $f\in L^p(\mathbb R)$ où $p\in[1,+\infty]$. On pose pour tout $x\in\mathbb R$
$$F(x)=\int_x^{x+1}f(y)dy.$$
- Exprimer $F$ à l'aide d'un produit de convolution.
- Montrer que si $p\in ]1,+\infty[,$ alors $F\in\mathcal C_0(\mathbb R)\cap L^p(\mathbb R)$.
- Montrer que si $p=1,$ alors $F\in\mathcal C_0(\mathbb R)\cap \bigcap_{q\in[1,+\infty[}L^q(\mathbb R)$.
- Que peut-on dire sur $F$ lorsque $p=+\infty?$
Enoncé 

- Soit $f,g$ deux fonctions mesurables définies sur $\mathbb R$, nulles sur $]-\infty,0[$ et localement bornées sur $[0,+\infty[$ (c'est-à-dire bornées sur tout segment de $[0,+\infty[)$. Montrer que le produit de convolution $f\star g$ a un sens.
- Soit $K\in L^\infty_{loc}(\mtr_+)$. Pour $n\in\mtn$, on note $K_n=K^{\star n}=K\star\dots\star K$ ($n$ facteurs). Montrer que pour tout $a>0$, pour tout $x\in [0,a]$ et tout $n\in\mtn^*$, on a $$|K_n(x)|\leq M(a)^n\frac{x^{n-1}}{(n-1)!},$$ où $M(a)=\sup_{x\in[0,a]}|K(x)|$.
Enoncé 

Pour $(m,\sigma)\in\mtr\times\mtr_+^*$, on considère la fonction $g_{m,\sigma}$ définie par
$$g_{m,\sigma}(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x-m)^2}{2\sigma^2}}.$$
Si $(p,\sigma)$ et $(q,\tau)$ sont dans $\mtr\times\mtr_+^*$, peut-on définir $g_{p,\sigma}\star g_{q,\tau}$? Que dire de cette fonction? La calculer. On rappelle que
$\int_{\mtr}e^{-x^2/2}dx={\sqrt{2\pi}}$.
Enoncé 

Pour $a>0$, on pose $g_a(x)=e^{-a|x|}.$ Démontrer que pour $a,b>0,$
on a $g_a\star g_b\in C(\mathbb R)\cap \bigcap_{p\in[1,+\infty]}L^p(\mathbb R)$
puis calculer explicitement $g_a\star g_b.$
Exercice 7 
- Quand $C^1\star C^1$ donne $C^2$... [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]


Enoncé 

Soit $f$ et $g$ deux fonctions continues sur $\mtr$ de classe $C^1$, bornées, et dont les dérivées sont bornées.
On suppose que $f$ et $g'$ sont dans $L^1(\mtr)$. Montrer que $f\star g$ est bien définie, et qu'elle est de classe $C^2$.
Enoncé 

Soit $f\in L^1$ à support compact et $g:\mathbb R\to\mathbb R$ une fonction continue $\alpha$-höldérienne, avec $\alpha\in ]0,1]$ :
$$\exists C>0,\ \forall (x,y)\in\mathbb R^2,\ |g(x)-g(y)|\leq C|x-y|^\alpha.$$
Démontrer que $f\star g$ existe et est une fonction $\alpha$-höldérienne.
Divers
Enoncé 

Soit $f$ et $g$ deux fonctions convolables paires. Démontrer que $f\star g$ est paire.
Exercice 10 
- Pas d'élément neutre dans $L^1(\mathbb R)$ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]


Enoncé 

Démontrer que l'algèbre $(L^1(\mathbb R),\star)$ n'admet pas d'élément neutre. On pourra procéder par l'absurde, supposer l'existence d'un élément neutre $f$, considérer $\alpha>0$ tel que $\int_{|x|<\alpha}|f|<1$ et $g=\mathbf 1_{[-\alpha,\alpha]}$.
Enoncé 

Soit $f$ et $g$ deux fonctions continues sur $\mathbb R,$ dont l'une au moins est à support compact. Soit $n\geq 1.$ Démontrer que
$$x^n (f\star g)=\sum_{k=0}^n \binom nk (x^k f)\star (x^{n-k}g).$$
Enoncé 

Soit $f\in L^1(\mtr^n)$. Montrer que l'opérateur
$$\begin{array}{rcl}
T:L^2(\mtr^n)&\to&L^2(\mtr^n)\\
g&\mapsto&f\star g
\end{array}$$
est continu. Calculer son adjoint.
Exercice 13 
- Opérateur commutant avec les translations [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]


Enoncé 

Pour tout fonction $f:\mathbb R\to\mathbb C,$ et pour tout $a\in\mathbb R,$ on note $\tau_a f$ la translatée de $f$ par $a,$ définie par $\tau_a f(x)=f(x-a)$. On dit qu'un opérateur $T:L^2(\mathbb R)\to \mathcal C_0(\mathbb R)$ commute avec les translations si, pour tout $f\in L^2(\mathbb R)$ et tout $a\in \mathbb R,$ on a $T\circ \tau_a(f)=\tau_a\circ T(f).$
- Soit $\varphi\in L^2(\mathbb R)$. Démontrer que l'opérateur $T_\varphi:L^2(\mathbb R)\to \mathcal C_0(\mathbb R)$, défini par $T_\varphi f = f\star \varphi$ commute avec les translations.
- Soit $T:L^2(\mathbb R)\to \mathcal C_0(\mathbb R)$ un opérateur qui commute avec les translations.
- Démontrer qu'il existe une fonction $\varphi\in L^2(\mathbb R)$ telle que $$(Tf)(0)=\int_{\mathbb R}f(y)\varphi(-y)dy$$ pour tout $f\in L^2(\mathbb R)$.
- En déduire que $T=T_\varphi.$
Enoncé 

- Donner un exemple de partie mesurable $A$ de $\mtr$ de mesure (de Lebesgue) non nulle, mais ne contenant aucun ouvert (on rappelle que l'on dit alors que $A$ est d'intérieur vide).
- Soient $A$ et $B$ deux parties mesurables de $\mtr^d$, de mesure finie mais non nulle. Montrer que la fonction $\mathbf{1}_A\star \mathbf{1}_B$ est continue. En calculant son intégrale sur $\mtr^d$, montrer qu'elle est non nulle. En déduire que l'ensemble $A+B=\{a+b;\ a\in A,\ b\in B\}$ est d'intérieur non vide.
- Reprendre la question précédente si $A$ et/ou $B$ peuvent maintenant être de mesure infinie.
Enoncé 

- Montrer que si $f$ et $g$ sont deux fonction de $L^1(\mtr)$ paires, alors $f\star g$ est encore paire.
- Généralisation : on dit qu'une fonction $f:\mtr^n\to\mtc$ est radiale si la valeur de $f(x)$ ne dépend que de la distance de $x$ à l'origine (la norme choisie ici est la norme euclidienne classique). Montrer que le produit de convolution de deux fonctions radiales de $L^1(\mtr^n)$ est encore une fonction radiale.
Suites régularisantes
Exercice 16 
- Fonction dont toutes les intégrales sont nulles [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]


Enoncé 

Soit $f:\mathbb R\to\mathbb C$ intégrable.
- Soit $x\in\mathbb R$ et soit $I$ un intervalle centré en $x$ de longueur $2h.$ Vérifier que $$\int_I f(t)dt=\mathbf 1_{[-h,h]}\star f(x).$$
- En déduit que si $\int_I f(t)dt=0$ pour tout intervalle borné $I\subset\mathbb R,$ alors $f=0$ presque partout.
Exercice 17 

- Norme de l'opérateur de convolution [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]



Enoncé 

- Soit $p\in[1,+\infty]$, et $h\in L^p(\mtr^d)$.On sait que $T_h:f\mapsto f\star h$ est un opérateur linéaire borné de $L^1$ dans $L^p$, et que $$\|T_h\|_{\mcl(L^1,L^p)}\leq \|h\|_p.$$ En testant $T_h$ sur une approximation de l'unité, démontrer que $$\|T_h\|_{\mcl(L^1,L^p)}= \|h\|_p.$$
- Soit $p\in[1,+\infty[$ et $h\in L^1(\mtr^d)$ une fonction positive. On sait que $T_h:f\mapsto f\star h$ est un opérateur
linéaire borné sur $L^p$, et que
$$\|T_h\|_{\mcl(L^p)}\leq \|h\|_1.$$
- On note $h_n(x)=\frac{1}{\|h\|_1}n^d h(nx)$ et pour $f\in L^p(\mathbb R^d)$, $f_n(x)=f(x/n).$ Vérifier que pour presque tout $x\in\mathbb R^d,$ $$f\star h_n(x)=\frac1{\|h\|_1}f_n\star h(nx).$$
- En observant que la suite $(h_n)$ est une unité approchée, montrer que $$\|T_h\|_{\mcl(L^p)}=\|h\|_1.$$
Exercice 18 

- Convergence du taux d'accroissement [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]



Enoncé 

Soit $f\in L^1(\mtr)$.
- Pour $h\in\mtr$, exprimer la fonction $x\mapsto \int_x^{x+h}f(t)dt$ comme le produit de convolution de $f$ par une fonction $\alpha_h$.
- On pose $F(x)=\int_0^xf(t)dt$, et on pose $G_h(x)=\frac{F(x+h)-F(x)}{h}$. Justifier que $G_h$ converge vers $f$ dans $L^1(\mtr)$ quand $h$ tend vers 0.
Enoncé 

Pour tout $n\geq 1$, on pose
$$a_n=\int_{-1}^1(1-t^2)^ndt\textrm{ et }p_n:\mtr\to\mtc,\ t\mapsto\left\{
\begin{array}{ll}
(1-t^2)^n/a_n&\textrm{si }|x|\leq 1\\
0&\textrm{sinon.}
\end{array}\right.$$
- Montrer que $(p_n)$ est une unité approchée.
- Soit $f$ une fonction continue sur $\mtr$, nulle en dehors de $I=[-1/2,1/2]$. Montrer que $f\star p_n$ est une fonction polynomiale sur $I$.
- En déduire le théorème de Weierstrass : si $J$ est un segment de $\mtr$, et si $f:J\to\mtc$ est une fonction continue, alors $f$ est limite uniforme sur $J$ d'une suite de fonctions polynomiales.
Enoncé 

Si $f$ et $g$ sont deux fonctions continues et $2\pi$-périodiques, on définit leur produit de convolution par
$$f\star g(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x-t)g(t)dt.$$
Dans toute la suite, $f$ désigne une telle fonction continue $2\pi-$périodique. Pour $k\in\mtz$, on note $e_k(x)=e^{ikx}$. On note
$$S_n=e_{-n}+e_{-(n-1)}+\dots+e_0+\dots+e_{n-1}+e_n,\textrm{ }C_n=\frac{S_0+S_1+\dots+S_n}{n+1}.$$
- Montrer que $f\star S_n$ est un polynôme trigonométrique. Quel nom donne-t-on usuellement à $f\star S_n$?
- Montrer que si $x\notin \mtr\backslash 2\pi\mtz$, on a : $$C_n(x)=\frac{1}{n+1}\left(\frac{\sin((n+1)x/2)}{\sin(x/2)}\right)^2.$$
- Montrer que $C_n\geq 0$, que $\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi C_n(t)dt=1$, et que pour tout $\alpha\in]0,\pi]$, $C_n$ converge uniformément vers 0 sur $[-\pi,\pi]\backslash [-\alpha,\alpha]$.
- Montrer que $f\star C_n$ converge uniformément vers $f$ sur $\mtr$.
Produit de convolution de mesures
Enoncé 

Pour $a\in\mtr$, on note $\delta_a$ la masse de Dirac en $a$, c'est-à-dire la mesure telle que
$$\delta_a(A)=1\iff a\in A,\ \delta_a(A)=0\textrm{ sinon}.$$
- Si $\mu$ est une mesure de Borel positive sur $\mtr$, exprimer $\mu\star\delta_a$ comme une certaine mesure image de $\mu$. Etudier le cas particulier de $\mu=\delta_b$, et $\mu$ la mesure de Lebesgue.
- Pour $m\geq 1$ un entier, et $p\in[0,1]$, on considère la mesure $$B(m,p)=\sum_{k=0}^m \binom mk p^k(1-p)^{m-k}\delta_k.$$ Montrer que $B(m,p)=B(1,p)\star B(1,p)\star\dots\star B(1,p)$.