Exercices corrigés - Systèmes linéaires
Systèmes linéaires
Enoncé
Résoudre les systèmes linéaires suivants :
$$\left\{
\begin{array}{rcl}
x+y+2z&=&3\\
x+2y+z&=&1\\
2x+y+z&=&0
\end{array}\right.
\quad\quad\quad
\left\{
\begin{array}{rcl}
x+2z&=&1\\
-y+z&=&2\\
x-2y&=&1
\end{array}\right.$$
Enoncé
Résoudre les systèmes suivants :
\begin{eqnarray*}
\left\{
\begin{array}{rcl}
x+y+z-3t&=&1\\
2x+y-z+t&=&-1
\end{array}\right.
\quad\quad\quad
\left\{
\begin{array}{rcl}
x+2y-3z&=&4\\
x+3y-z&=&11\\
2x+5y-5z&=&13\\
x+4y+z&=&18
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}
Enoncé
Résoudre les deux systèmes suivants. Qu'en pensez-vous?
\begin{eqnarray*}
\left\{
\begin{array}{rcl}
x+5y+9z&=&180\\
9x+10y+5z&=&40\\
10x+9y+z&=&-50\\
\end{array}\right.
&\quad\quad&
\left\{
\begin{array}{rcl}
x+5y+9z&=&180\\
9x+10y+5z&=&41\\
10x+9y+z&=&-50\\
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}
Systèmes linéaires à paramètres
Enoncé
Déterminer, selon la valeur du paramètre $m\in\mathbb R$ et en utilisant l'algorithme de Gauss, l'ensemble des solutions du système :$$\left\{
\begin{array}{rcl}
x+y-z&=&1\\
3x+y-z&=&1\\
x-2y+2z&=&m\\
\end{array}\right.$$
Exercice 5 - Système et interprétation géométrique [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $m$ un réel. Résoudre le système suivant
$$\left\{
\begin{array}{rcl}
x+my&=&-3\\
mx+4y&=&6
\end{array}\right.$$
(on pourra discuter en fonction de $m$).
Quelle interprétation géométrique du résultat faites-vous?
Enoncé
Déterminer suivant la valeur des paramètres $a,b\in\mathbb R$ l'ensemble des solutions du système :$$\left\{
\begin{array}{rcl}
ax+y&=&b\\
x+ay&=&b\\
\end{array}\right.$$
Enoncé
Pour tout paramètre $m\in\mathbb R$, on considère le système :
$$(S_m)\: : \; \left\{
\begin{array}{ccccccc}
x & & &+&2z &=&4\\
2x&+&my&+&4z &=&8-m\\
-x&-&my&+&(m^2-3m-2)z&=&2m-4\\
\end{array}\right.$$
- Indiquer le nombre de solutions en fonction du paramètre $m$.
- Donner l'ensemble des solutions dans le cas $m=0$, puis dans le cas $m=1$.
Enoncé
Résoudre le système suivant, en discutant suivant la valeur du paramètre $m$.
$$\left\{
\begin{array}{rcl}
x+y+mz&=&0\\
x+my+z&=&0\\
mx+y+z&=&0
\end{array}\right.$$
Enoncé
Discuter suivant la valeur du paramètre $a\in\mathbb R$ le système
$$\left\{
\begin{array}{rcl}
ax+(1-a)y+(1-a)z&=&a^2\\
ax+(1+a)y+(1+a)z&=&a-a^2\\
x+y+z&=&1-a
\end{array}\right.$$
Enoncé
Discuter, suivant la valeur du paramètre $m\in\mathbb C$, le nombre de solutions du système suivant :
$$\left\{
\begin{array}{rcl}
x-my+m^2z&=&m\\
mx-m^2y+mz&=&1\\
mx+y-m^3z&=&-1
\end{array}\right.$$
Enoncé
Étudier, suivant les valeurs des paramètres $a,b\in\mathbb R,$ l'existence de solutions du système :
$$\left\{\begin{array}{ccccccc}
x &+& by &+& az &=& 1\\
x &+& aby &+& z &=& b \\
ax &+& by &+& z &=& 1 \\
\end{array}\right.$$
Applications
Exercice 12 - Équilibrer des équations chimiques [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Équilibrer les équations chimiques suivantes :
- $NH_3+O_2\rightarrow NO+H_2O$;
- $C_2H_6+O_2\rightarrow CO_2+H_2O$.
Enoncé
L'espace est muni d'un repère $(O,\vec i,\vec j,\vec k)$. On considère $\mathcal P_1$ (respectivement $\mathcal P_2$, $\mathcal P_3$)
l'ensemble des points $M(x,y,z)$ de l'espace vérifiant :
\[
\begin{array}{cccccccc}
\mathcal P_1:& 2x&-&3y&+&4z&=&-3\\
\mathcal P_2:& -x&+&2y&+&z&=&5\\
\mathcal P_3:&4x&-&5y&+&14z&=&1
\end{array}
\]
- Quelle est la nature géométrique de chacun des $\mathcal P_i$?
- Déterminer l'intersection de $\mathcal P_1$, $\mathcal P_2$ et $\mathcal P_3$. Quelle est sa nature géométrique?
Exercice 14 - Polynômes vérifiant certaines propriétés [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Déterminer tous les triplets $(a,b,c)\in\mathbb R^3$ tels que le polynôme $P(x)=ax^2+bx+c$ vérifie
- $P(-1)=5$, $P(1)=1$ et $P(2)=2$;
- $P(-1)=4$ et $P(2)=1$.
Exercice 15 - Fraction rationnelle avec décomposition en éléments simples [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f(x)=\frac{5x^2+21x+22}{(x-1)(x+3)^2}$, $x\in ]1,+\infty[$.
- Démontrer qu'il existe trois réels $a$, $b$ et $c$ tels que $$\forall x\in ]1,+\infty[,\ f(x)=\frac a{x-1}+\frac b{x+3}+\frac c{(x+3)^2}.$$
- En déduire la primitive de $f$ sur $]1,+\infty[$ qui s'annule en 2.
Enoncé
Résoudre le système suivant, où $x$, $y$ et $z$ sont des réels positifs :
$$\left\{
\begin{array}{rcl}
x^3y^2z^6&=&1\\
x^4y^5z^{12}&=&2\\
x^2y^2z^5&=&3.
\end{array}\right.$$
Enoncé
Soit $n\geq 3$. Discuter l'existence et l'unicité dans le plan d'un polygone à $n$ côtés dont les milieux des côtés sont fixés.