$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Exercices corrigés - Systèmes linéaires

Systèmes linéaires
Enoncé
Résoudre les systèmes linéaires suivants : $$\left\{ \begin{array}{rcl} x+y+2z&=&3\\ x+2y+z&=&1\\ 2x+y+z&=&0 \end{array}\right. \quad\quad\quad \left\{ \begin{array}{rcl} x+2z&=&1\\ -y+z&=&2\\ x-2y&=&1 \end{array}\right.$$
Indication
Corrigé
Exercice 2 - Trop d'inconnues ou d'équations [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Résoudre les systèmes suivants : \begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{rcl} x+y+z-3t&=&1\\ 2x+y-z+t&=&-1 \end{array}\right. \quad\quad\quad \left\{ \begin{array}{rcl} x+2y-3z&=&4\\ x+3y-z&=&11\\ 2x+5y-5z&=&13\\ x+4y+z&=&18 \end{array}\right. \end{eqnarray*}
Indication
Corrigé
Exercice 3 - Systèmes proches, et pourtant! [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Résoudre les deux systèmes suivants. Qu'en pensez-vous? \begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{rcl} x+5y+9z&=&180\\ 9x+10y+5z&=&40\\ 10x+9y+z&=&-50\\ \end{array}\right. &\quad\quad& \left\{ \begin{array}{rcl} x+5y+9z&=&180\\ 9x+10y+5z&=&41\\ 10x+9y+z&=&-50\\ \end{array}\right. \end{eqnarray*}
Corrigé
Systèmes linéaires à paramètres
Exercice 4 - Paramètre dans le second membre [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Déterminer, selon la valeur du paramètre $m\in\mathbb R$ et en utilisant l'algorithme de Gauss, l'ensemble des solutions du système :$$\left\{ \begin{array}{rcl} x+y-z&=&1\\ 3x+y-z&=&1\\ x-2y+2z&=&m\\ \end{array}\right.$$
Indication
Corrigé
Exercice 5 - Système et interprétation géométrique [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $m$ un réel. Résoudre le système suivant $$\left\{ \begin{array}{rcl} x+my&=&-3\\ mx+4y&=&6 \end{array}\right.$$ (on pourra discuter en fonction de $m$). Quelle interprétation géométrique du résultat faites-vous?
Indication
Corrigé
Exercice 6 - Deux équations et deux paramètres [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Déterminer suivant la valeur des paramètres $a,b\in\mathbb R$ l'ensemble des solutions du système :$$\left\{ \begin{array}{rcl} ax+y&=&b\\ x+ay&=&b\\ \end{array}\right.$$
Indication
Corrigé
Exercice 7 - Nombre de solutions + quelques cas [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Pour tout paramètre $m\in\mathbb R$, on considère le système : $$(S_m)\: : \; \left\{ \begin{array}{ccccccc} x & & &+&2z &=&4\\ 2x&+&my&+&4z &=&8-m\\ -x&-&my&+&(m^2-3m-2)z&=&2m-4\\ \end{array}\right.$$
  1. Indiquer le nombre de solutions en fonction du paramètre $m$.
  2. Donner l'ensemble des solutions dans le cas $m=0$, puis dans le cas $m=1$.
Indication
Corrigé
Exercice 8 - Discussion suivant deux valeurs [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Résoudre le système suivant, en discutant suivant la valeur du paramètre $m$. $$\left\{ \begin{array}{rcl} x+y+mz&=&0\\ x+my+z&=&0\\ mx+y+z&=&0 \end{array}\right.$$
Indication
Corrigé
Enoncé
Discuter suivant la valeur du paramètre $a\in\mathbb R$ le système $$\left\{ \begin{array}{rcl} ax+(1-a)y+(1-a)z&=&a^2\\ ax+(1+a)y+(1+a)z&=&a-a^2\\ x+y+z&=&1-a \end{array}\right.$$
Corrigé
Enoncé
Discuter, suivant la valeur du paramètre $m\in\mathbb C$, le nombre de solutions du système suivant : $$\left\{ \begin{array}{rcl} x-my+m^2z&=&m\\ mx-m^2y+mz&=&1\\ mx+y-m^3z&=&-1 \end{array}\right.$$
Corrigé
Enoncé
Étudier, suivant les valeurs des paramètres $a,b\in\mathbb R,$ l'existence de solutions du système : $$\left\{\begin{array}{ccccccc} x &+& by &+& az &=& 1\\ x &+& aby &+& z &=& b \\ ax &+& by &+& z &=& 1 \\ \end{array}\right.$$
Corrigé
Applications
Exercice 12 - Équilibrer des équations chimiques [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Équilibrer les équations chimiques suivantes :
  1. $NH_3+O_2\rightarrow NO+H_2O$;
  2. $C_2H_6+O_2\rightarrow CO_2+H_2O$.
Indication
Corrigé
Exercice 13 - Système géométrique [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
L'espace est muni d'un repère $(O,\vec i,\vec j,\vec k)$. On considère $\mathcal P_1$ (respectivement $\mathcal P_2$, $\mathcal P_3$) l'ensemble des points $M(x,y,z)$ de l'espace vérifiant : \[ \begin{array}{cccccccc} \mathcal P_1:& 2x&-&3y&+&4z&=&-3\\ \mathcal P_2:& -x&+&2y&+&z&=&5\\ \mathcal P_3:&4x&-&5y&+&14z&=&1 \end{array} \]
  1. Quelle est la nature géométrique de chacun des $\mathcal P_i$?
  2. Déterminer l'intersection de $\mathcal P_1$, $\mathcal P_2$ et $\mathcal P_3$. Quelle est sa nature géométrique?
Corrigé
Exercice 14 - Polynômes vérifiant certaines propriétés [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Déterminer tous les triplets $(a,b,c)\in\mathbb R^3$ tels que le polynôme $P(x)=ax^2+bx+c$ vérifie
  1. $P(-1)=5$, $P(1)=1$ et $P(2)=2$;
  2. $P(-1)=4$ et $P(2)=1$.
Indication
Corrigé
Exercice 15 - Fraction rationnelle avec décomposition en éléments simples [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f(x)=\frac{5x^2+21x+22}{(x-1)(x+3)^2}$, $x\in ]1,+\infty[$.
  1. Démontrer qu'il existe trois réels $a$, $b$ et $c$ tels que $$\forall x\in ]1,+\infty[,\ f(x)=\frac a{x-1}+\frac b{x+3}+\frac c{(x+3)^2}.$$
  2. En déduire la primitive de $f$ sur $]1,+\infty[$ qui s'annule en 2.
Indication
Corrigé
Exercice 16 - Système non linéaire [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Résoudre le système suivant, où $x$, $y$ et $z$ sont des réels positifs : $$\left\{ \begin{array}{rcl} x^3y^2z^6&=&1\\ x^4y^5z^{12}&=&2\\ x^2y^2z^5&=&3. \end{array}\right.$$
Indication
Corrigé
Exercice 17 - Application géométrique [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $n\geq 3$. Discuter l'existence et l'unicité dans le plan d'un polygone à $n$ côtés dont les milieux des côtés sont fixés.
Indication
Corrigé