Exercices corrigés - Réduction des endomorphismes : exercices pratiques
Enoncé
- En dimension finie, un endomorphisme admet un nombre fini de vecteurs propres.
- Si $A$ est diagonalisable, alors $A^2$ est diagonalisable.
- Si $A^2$ est diagonalisable, alors $A$ est diagonalisable.
- Tout endomorphisme d'un espace vectoriel réel de dimension impaire admet au moins une valeur propre (réelle).
- La somme de deux matrices diagonalisables est diagonalisable.
Valeurs propres, vecteurs propres, sous-espaces stables
Enoncé
Soit $E=\mathbb R[X]$ et soit $u$ l'endomorphisme de $E$ défini par $u(P)=XP.$
Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de $u.$
Enoncé
Soit $E=\mathcal C^{\infty}(\mathbb R)$ et $D$ l'endomorphisme de $E$ qui à $f$ associe $f'$. Déterminer les valeurs propres de $D$ et les sous-espaces propres associés.
Enoncé
Soit $E=\mathcal C^\infty(\mathbb R_+^*,\mathbb R)$ et $u\in\mathcal L(E)$ défini par, pour $f\in E,$
$u(f)(t)=tf'(t).$
Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de $u.$ En déduire que $(f_\lambda)_{\lambda\in\mathbb R}$ est une famille libre de $E,$ où $f_\lambda(t)=t^\lambda$ (on interprètera $f_0(t)=1$).
Enoncé
Soit $E=\mathbb C^\mathbb N$ l'espace des suites à coefficients complexes, et $\phi$ l'endomorphisme de $E$ qui à une suite $(u_n)$ associe la suite $(v_n)$ définie par $v_0=u_0$ et pour tout $n\geq 1$,
$$v_n=\frac{u_n+u_{n-1}}2.$$
Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de $\phi$.
Exercice 6 - Valeurs propres des matrices stochastiques [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Une matrice $A\in\mathcal M_n(\mathbb R)$ est dite stochastique si ses coefficients sont des réels positifs ou nuls et si la somme des coefficients de chacune de ses lignes est égale à $1$.
- Démontrer que si $\lambda\in\mathbb C$ est une valeur propre de $A$, alors $|\lambda|\leq 1$.
- Démontrer que $1$ est valeur propre et donner un vecteur propre associé.
Diagonalisation de matrices sur $\mathbb R$
Enoncé
Diagonaliser les matrices suivantes :
$$A=\left(\begin{array}{ccc}
0&2&-1\\
3&-2&0\\
-2&2&1
\end{array}\right),\textrm{ } B=\left(\begin{array}{ccc}
0&3&2\\
-2&5&2\\
2&-3&0
\end{array}\right), C=\left(\begin{array}{ccc}
1&0&0\\
0&1&0\\
1&-1&2
\end{array}\right).$$
On donnera aussi la matrice de passage de la base canonique à la base de vecteurs propres.
Enoncé
Expliquer sans calculs pourquoi la matrice suivante n'est pas diagonalisable :
$$A=\left(\begin{array}{ccc}
\pi&1&2\\
0&\pi&3\\
0&0&\pi
\end{array}\right).$$
Enoncé
Soit $m$ un nombre réel et $f$ l'endomorphisme de $\mathbb R^3$
dont la matrice dans la base canonique est
$$A=\left(\begin{array}{rcl}
1&0&1\\
-1&2&1\\
2-m&m-2&m
\end{array}\right).$$
- Quelles sont les valeurs propres de $f$?
- Pour quelles valeurs de $m$ l'endomorphisme est-il diagonalisable?
- On suppose $m=2$. Calculer $A^k$ pour tout $k\in\mathbb N$.
Enoncé
Soit $(a,b,c)\in\mathbb R^3$. La matrice $A=\left(\begin{array}{ccc}
0&-b&c\\
a&0&-c\\
-a&b&0
\end{array}\right)$ est-elle diagonalisable?
Enoncé
Soit $a\in\mathbb R$ et soit $A=\left(
\begin{array}{ccc}
a^2&a(a+2)&a(a+2)\\
0&2-a^2&a+1\\
0&0&a
\end{array}\right).$
Déterminer les valeurs de $a$ pour lesquelles $A$ est diagonalisable.
Exercice 12 - Réduction d'une matrice par polynôme annulateur [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $J=\left(\begin{array}{cc}
\frac 12&\frac 12\\
\frac 12&\frac 12
\end{array}\right)$
et $A=\left(\begin{array}{c|c}
0&J \\ \hline J& 0
\end{array}\right).$
- Calculer $A^2$, puis $A^3$.
- A l'aide d'un polynôme annulateur de $A$, démontrer que $A$ est diagonalisable.
- Sans chercher à calculer le polynôme caractéristique de $A$, donner un ensemble fini contenant toutes les valeurs propres de $A$, puis donner les valeurs propres elles-mêmes ainsi que la dimension du sous-espace propre associé.
- En déduire le polynôme caractéristique de $A$.
Enoncé
Parmi les matrices élémentaires $E_{i,j}$, lesquelles sont diagonalisables???
Enoncé
Soit $A=\left(\begin{array}{cccc}
1&1&1&1\\
2&2&2&2\\
3&3&3&3\\
4&4&4&4
\end{array}\right)$.
- Déterminer, sans calculer le polynôme caractéristique, les valeurs propres de $A$. $A$ est-elle diagonalisable?
- Plus généralement, donner une condition nécessaire et suffisante pour qu'une matrice de rang 1 soit diagonalisable.
Enoncé
On note $\mathcal B=(e_1,\dots,e_n)$ la base canonique de $\mathbb R^n$, $n\geq 2$. Soit $f$ l'endomorphisme
de $\mathbb R^n$ dont la matrice $A$ dans $\mathcal B$ vérifie $a_{i,j}=1$ pour tout $(i,j)\in\{1,\dots,n\}^2$.
- Déterminer la dimension de $\ker(f)$.
- Soit $v=\sum_{i=1}^n e_i$. Calculer $f(v)$.
- Démontrer que $f$ est diagonalisable. Préciser les valeurs propres et les dimensions des sous-espaces propres associés.
Enoncé
- Soit $A=\left(\begin{array}{cc}0&a\\b&0\end{array}\right)$ dans $\mathcal M_2(\mathbb R)$. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que $A$ soit diagonalisable.
- Soient $p\geq 1$ et $\alpha_1,\dots,\alpha_{2p}$ des réels. Soit $A=(a_{i,j})\in\mathcal M_{2p}(\mathbb R)$ tel que $a_{i,2p+1-i}=\alpha_i$ si $1\leq i\leq 2p$ et $a_{i,j}=0$ sinon. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que $A$ soit diagonalisable sur $\mathbb R$.
Enoncé
Soient $a,b\in\mathbb R$ tels que $|a|\neq |b|$. On considère la matrice carrée de taille $2n$
$$A=\left(\begin{array}{ccccc}
a&b&a&b&\dots\\
b&a&b&a&\dots\\
a&b&a&b&\dots\\
b&a&b&a&\dots\\
\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots
\end{array}\right).$$
- Calculer le rang de $A$. En déduire que si $n>1$, alors $0$ est valeur propre de $A$ et déterminer la dimension du sous-espace propre associé.
- Déterminer deux vecteurs propres associés à deux autres valeurs propres, et en déduire que $A$ est diagonalisable.
Enoncé
Soit, pour $n\geq 1$, la matrice $M_n$ de $\mathcal M_n(\mathbb R)$ dont les coefficients diagonaux
sont égaux à $1,2,\dots,n$ et les autres coefficients sont tous égaux à 1. Soit $P_n$ le polynôme caractéristique de
$M_n$.
- Démontrer que, pour tout $n\geq 2$, $P_{n}(X)=(X-(n-1))P_{n-1}(X)-X(X-1)\dots(X-(n-2))$.
- Démontrer que, pour tout $n\geq 1$ et tout $k\in\{0,\dots,n-1\}$, $(-1)^{n+k} P_n(k)>0$.
- En déduire que $M_n$ est diagonalisable et que chaque intervalle $]0,1[$, $]1,2[,\dots,]n-1,+\infty[$ contient exactement une valeur propre de $M_n$.
Enoncé
Pour $n\geq 1$, soit
$$A_n=\left(\begin{array}{ccccc}
0&1&0&\dots&0\\
1&\ddots&\ddots&\ddots&\vdots\\
0&\ddots&\ddots&\ddots&\vdots\\
\vdots&\ddots&\ddots&\ddots&1\\
0&\dots&0&1&0
\end{array}\right)$$
et $P_n(x)=\det(xI_n-A_n)$ son polynôme caractéristique.
- Démontrer que pour tout $n\geq 2$, on a $$P_n(x)=xP_{n-1}(x)-P_{n-2}(x).$$ Calculer $P_1$ et $P_2$.
- Pour tout $x\in ]-2,2[$, on pose $x=2\cos \alpha$ avec $\alpha\in ]0,\pi[$. Démontrer que $$P_n(x)=\frac{\sin((n+1)\alpha)}{\sin\alpha}.$$
- En déduire que $A_n$ est diagonalisable.
Enoncé
On considère, pour $n\geq 4$, la matrice $A=(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}$ telle que $a_{i,j}=1$ si $i=1$ ou $i=n$ ou $j=1$ ou $j=n$, et $a_{i,j}=0$ sinon.
Démontrer que $A$ est diagonalisable.
Diagonalisation de matrices sur $\mathbb C$
Exercice 21 - Réduction d'une matrice circulante [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Pour $a,b,c$ des nombres complexes, on pose
$$M(a,b,c)=\begin{pmatrix}
a&b&c\\
c&a&b\\
b&c&a
\end{pmatrix}$$
et $J=M(0,1,0)$.
- Exprimer $M(a,b,c)$ en fonction de $I_3$, $J$ et $J^2$.
- Démontrer que $J$ est diagonalisable, et donner son spectre.
- En déduire que $M(a,b,c)$ est diagonalisable et donner son spectre.
Enoncé
Soit $A\in\mathcal M_n(\mathbb C)$ une matrice diagonalisable et
$B=\left(\begin{array}{c|c}0&A \\\hline I_n&0\end{array}\right)\in\mathcal M_{2n}(\mathbb C)$.
Donner les valeurs propres de $B$ et la dimension des sous-espaces propres correspondants.
À quelle condition $B$ est-elle diagonalisable?
Application de la diagonalisation
Enoncé
Soit $A$ la matrice suivante :
$$A=\left(\begin{array}{ccc}
3&0&-1\\
2&4&2\\
-1&0&3
\end{array}
\right).$$
Démontrer que $A$ est diagonalisable et donner une matrice $P$ inversible et une matrice $D$ diagonale telles que $A=PDP^{-1}$. En déduire la valeur de $A^n$ pour tout $n\in\mathbb N$.
Enoncé
Soit $A=\left(\begin{array}{cc}
-5&3\\
6&-2
\end{array}\right).$
Montrer que $A$ est diagonalisable et calculer ses valeurs propres. En déduire qu'il existe une matrice $B$ telle que
$B^3=A$.
Exercice 25 - Application à des suites récurrentes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $A$ la matrice
$\left(\begin{array}{ccc}
-4&-6&0\\
3&5&0\\
3&6&5\end{array}\right)$.
- Diagonaliser $A$.
- Calculer $A^n$ en fonction de $n$.
- On considère les suites $(u_n)$, $(v_n)$ et $(w_n)$ définies par leur premier terme $u_0$, $v_0$ et $w_0$ et les relations suivantes : $$\left\{ \begin{array}{rcl} u_{n+1}&=&-4u_n-6v_n\\ v_{n+1}&=&3u_n+5v_n\\ w_{n+1}&=&3u_n+6v_n+5w_n \end{array} \right.$$ pour $n\geq 0$. On pose $X_n=\left( \begin{array}{c}u_n\\v_n\\w_n\end{array}\right)$. Exprimer $X_{n+1}$ en fonction de $A$ et $X_n$. En déduire $u_n$, $v_n$ et $w_n$ en fonction de $n$.
Enoncé
Soit $A$ la matrice
$$A=\left(\begin{array}{ccc}
1&0&-1\\
1&2&1\\
2&2&3
\end{array}\right).$$
- Diagonaliser $A$.
- En déduire toutes les matrices $M$ qui commutent avec $A$.
Enoncé
Les matrices
$$A=\left(\begin{array}{ccc}
0&0&4\\
1&0&-8\\
0&1&5
\end{array}\right)\textrm{ et }
B=\left(\begin{array}{ccc}
2&1&1\\
0&0&-2\\
0&1&3
\end{array}\right)$$
sont-elles semblables?
Exercice 28 - Application au calcul d'un déterminant circulant [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $a_0,\dots,a_{n-1}$ des nombres complexes, et soient $A,J$ les matrices de $\mathcal M_n(\mathbb C)$ définies par
$$A=\left(
\begin{array}{cccc}
a_0&a_1&\dots&a_{n-1}\\
a_{n-1}&\ddots&\ddots&\vdots\\
\vdots&\ddots&\ddots&a_1\\
a_1&\dots&a_{n-1}&a_0
\end{array}\right),\
J=\left(
\begin{array}{cccc}
0&1&0&\dots\\
\vdots&\ddots&\ddots&\vdots\\
0&\ddots&\ddots&1\\
1&0&\dots&0
\end{array}\right).$$
- Démontrer que $J$ est diagonalisable et calculer ses valeurs propres.
- Déterminer un polynôme $Q$ tel que $A=Q(J)$.
- En déduire le déterminant de $A$.
Trigonalisation de matrices
Enoncé
Soit $f$ l'endomorphisme de $\mathbb R^3$ dont la matrice dans la base canonique est donnée par
$$A=\left(\begin{array}{ccc}
1&0&1\\
-1&2&1\\
1&-1&1\\
\end{array}\right).$$
- Montrer que $f$ est trigonalisable.
- Montrer que l'espace propre associé à la valeur propre 1 est de dimension 1. Montrer que $u=(1,1,0)$ est un vecteur non-nul de cet espace propre.
- Montrer que $v=(0,0,1)$ est tel que $(f-\textrm{id}_{\mathbb R^3})(v)=u$.
- Chercher un vecteur propre $w$ associé à la valeur propre 2. Montrer que $(u,v,w)$ est une base de $\mathbb R^3$. Calculer la matrice $T$ de $f$ dans la base $(u,v,w)$.
- Calculer $f^k(v)$ pour tout $k\in\mathbb N$. En déduire $T^k$.
- Calculer $A^k$ pour tout $k\in\mathbb N$.
Exercice 30 - Trigonalisation - avec indications [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:\mathbb R^3\to\mathbb R^3$ l'endomorphisme dont la matrice dans la base canonique $(e_1,e_2,e_3)$ est
$$A=\left(\begin{array}{ccc}
0&1&0\\
-4&4&0\\
-2&1&2
\end{array}\right).$$
- Calculer le polynôme caractéristique de $A$. En déduire que $f$ est trigonalisable.
- Démontrer que $f$ n'est pas diagonalisable.
- Notons $g=f-2\textrm{id}_{\mathbb R^3}$ et $B=A-2I_3$ sa matrice dans la base canonique.
- Calculer $B^2$.
- Déterminer une base de $\ker(g)$, puis démontrer que $\ker(g)$ et $\textrm{vect}(e_2)$ sont supplémentaires dans $\mathbb R^3$.
- Déterminer une base de $\mathbb R^3$ dans laquelle la matrice de $g$ est triangulaire supérieure.
- Donner la matrice de $f$ dans cette base.
- Déduire de 3.1. la valeur de $A^n$ pour tout $n\geq 1$.
Enoncé
On considère la matrice
$$A=\left(
\begin{array}{ccc}
1&0&0\\
0&0&-1\\
0&1&2
\end{array}\right).$$
A est-elle diagonalisable? Montrer que $A$ est semblable à la matrice
$$B=\left(\begin{array}{ccc}
1&0&0\\
0&1&1\\
0&0&1
\end{array}\right).$$
Exercice 32 - Trigonalisation - sans indications [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Trigonaliser les matrices suivantes :
$$A=\left(\begin{array}{ccc}
1&4&-2\\
0&6&-3\\
-1&4&0
\end{array}\right),\
B=\left(\begin{array}{ccc}
2&-1&-1\\
2&1&-2\\
3&-1&-2
\end{array}\right).$$
Réduction d'autres endomorphismes
Exercice 33 - Un endomorphisme sur les polynômes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E=\mathbb R_n[X]$ et soit $\phi$ l'endomorphisme de $E$ défini par $\phi( P)= P-(X+1)P'$.
Justifier que $\phi$ est diagonalisable et donner les valeurs propres de $\phi$.
Exercice 34 - Endomorphisme d'un espace de polynômes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $n\in\mathbb N^*$. On considère l'application linéaire $f:\mathbb R_n[X]\to\mathbb R_n[X]$, $P\mapsto (X^2-1)P'(X)-(nX+1)P(X)$.
- Justifier que $f$ est bien définie.
- Pour $k=0,\dots,n$, on note $P_k(X)=(1-X)^k (1+X)^{n-k}$. Calculer $f(P_k)$.
- En déduire que $f$ est diagonalisable. Préciser ses valeurs propres et les vecteurs propres associés.
- Pour quelles valeurs de $n$ l'endomorphisme $f$ est-il bijectif?
Enoncé
Soit $\phi:M\in\mathcal M_n(\mathbb R)\to\mathcal M_n(\mathbb R),\ M\mapsto {}^tM$. Déterminer les valeurs propres de $\phi$.
$\phi$ est-elle diagonalisable?
Enoncé
Soit $L$ l'endomorphisme de $\mathbb R_n[X]$ défini par $L(P)=X^n P\left(\frac 1X\right)$. Démontrer que $L$ est un endomorphisme diagonalisable de $\mathbb R_n[X]$, déterminer ses valeurs propres et une base de vecteurs propres associés.
Enoncé
Soit $n\geq 1$ et $A,B\in\mathcal M_n(\mathbb R)$ tels que $AB-BA=A$. Le but de l'exercice est de démontrer
que $A$ est nilpotente, c'est-à-dire qu'il existe $k\geq 1$ tel que $A^k=0$.
- Montrer que, pour tout $k\geq 0$, on a $A^k B-BA^k=kA^k$.
- On considère \begin{eqnarray*} \phi_B:\mathcal M_n(\mathbb R)&\to&\mathcal M_n(\mathbb R)\\ M&\mapsto&MB-BM. \end{eqnarray*} Vérifier que $\phi_B$ est un endomorphisme de $\mathcal M_n(\mathbb R)$.
- Justifier que si $A^k\neq 0$, alors $k$ est une valeur propre de $\phi_B$.
- En déduire l'existence d'un entier $k>0$ tel que $A^k=0$.
Enoncé
Soit $E$ un $\mathbb K$-espace vectoriel de dimension finie et soit $f\in\mathcal L(E)$. On considère l'endomorphisme $\phi$ de $\mathcal L(E)$ défini par $\phi(g)=f\circ g$.
- Démontrer que toute valeur propre de $f$ est une valeur propre de $\phi$ puis, si $\lambda$ est une valeur propre de $f$, déterminer $E_{\lambda}(\phi)$.
- En déduire que si $f$ est diagonalisable, alors $\phi$ est diagonalisable.
Enoncé
Soit $E=\mathbb R_n[X]$ et soient $A,B$ deux éléments de $E$ premiers entre eux tels qu'en outre $B$ est scindé à racines simples. On notera $x_1,\dots,x_p$ ses racines. On note $\phi$ l'application de $E$ dans lui-même qui à un polynôme $P$ associe le reste de $AP$ dans la division euclidienne par $B$.
- Démontrer que $\phi$ est un endomorphisme de $E$. Est-ce un isomorphisme?
- Démontrer que $0$ est une valeur propre de $\phi$ et déterminer le sous-espace propre associé.
- Démontrer que, pour chaque $k=1,\dots,p$, $P_k(X)=\prod_{j\neq k}(X-x_j)$ est un vecteur propre de $\phi$.
- En déduire que $\phi$ est diagonalisable.