Exercices corrigés - Polynômes d'endomorphisme
Enoncé
Soit $E$ un $\mathbb K$-espace vectoriel de dimension finie, et $u\in\mathcal L(E)$. Dire si les assertions suivantes sont vraies ou fausses :
- Si $F$ et $G$ sont deux sous-espaces supplémentaires de $E$ stables par $u$, alors $u$ est diagonalisable si et seulement si les deux endomorphismes induits $u_F$ et $u_G$ sont diagonalisables.
- Deux matrices semblables ont le même polynôme caractéristique et le même polynôme minimal.
- Si le polynôme caractéristique d'une matrice est égal à son polynôme minimal, alors la matrice est diagonalisable.
Polynôme annulateur
Exercice 2 - Diagonalisable avec un polynôme annulateur [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Déterminer toutes les matrices $A\in\mathcal M_n(\mathbb R)$ diagonalisables telles que $A^3+2A=3I_n.$
Enoncé
Soit $M$ une matrice triangulaire par blocs $\left(\begin{array}{cc}
A&C\\
0&B
\end{array}\right)$ avec $A\in\mathcal M_p(\mathbb K)$ et $B\in\mathcal M_q(\mathbb K)$. On suppose que $P$ est un polynôme annulateur de $A$ et que $Q$ est un polynôme annulateur de $B$. Déterminer un polynôme annulateur de $M$.
Enoncé
Soit $u$ un endomorphisme d'un $\mathbb K$-espace vectoriel $E$ de dimension finie. Soit $P$ un polynôme annulateur de $u$. On suppose que $P=QR$, où $Q$ et $R$ sont premiers entre eux. Démontrer que $\textrm{Im}(R(u))=\ker(Q(u))$.
Exercice 5 - Puissance d'une matrice et polynôme d'endomorphisme [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $J\in\mathcal M_n(\mathbb R)$ la matrice ne comportant que des $1$. Déterminer un polynôme annulateur pour $J$. En déduire la valeur de $J^k$ pour $k\geq 2$.
Enoncé
Soient $E$ un $\mathbb R$-espace vectoriel et $u\in\mathcal L(E)$. Existe-t-il toujours un polynôme
annulateur de $u$ (autre que le polynôme nul)?
Exercice 7 - Une autre réduction avec un polynôme annulateur [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f\in\mathcal L(\mathbb R^3)$ tel que $f^3+f=0.$
- Démontrer que $\ker(f)\oplus \textrm{Im}(f)=\mathbb R^3.$
- On suppose de plus que $f\neq 0.$ Démontrer qu'il existe une base $\mathcal B$ de $\mathbb R^3$ telle que la matrice de $f$ dans cette base est égale à $\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&-1&0\end{pmatrix}.$
Exercice 8 - Polynôme annulateur, image et somme [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $E$ un espace vectoriel réel de dimension finie
et $f\in\mathcal L(E)$. On suppose que $f$ possède un polynôme annulateur $P$
vérifiant $P(0)=0$ et $P'(0)\neq 0$. Montrer qu'on a alors
$\textrm{Im}(f)\oplus\ker(f)=E$.
Exercice 9 - Polynômes annulateurs de $A$ et propriétés de $A$ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $n\geq 1$ et $A\in\mathcal M_n(\mathbb R)$.
- Démontrer que si $\omega$ est une valeur propre de $A$ de multiplicité $s$, alors $\bar\omega$ est une valeur propre de $A$ de multiplicité $s$.
- On suppose que $A^3-3A-4I_n=0.$ Montrer que $A$ est de déterminant strictement positif.
- On suppose que $A^2+A+I_n=0$. Montrer que $n$ est pair.
- On suppose que $A^3+A^2+A=0$. Montrer que le rang de $A$ est pair.
- On suppose que $A^3+A^2+A=0$. Démontrer que $\textrm{Tr}(A)\in\mathbb Z^-$.
Enoncé
Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie et soit $f$ un endomorphisme de $E$. On suppose qu'il existe des réels $a,b$ et $c$ tels que $af^2+bf+c\textrm{Id}_E=0$, avec $a> 0$ et $\Delta=b^2-4ac>0$.
- Montrer que $f$ satisfait une relation de la forme $(f-\alpha\textrm{Id}_E)\circ(f-\beta \textrm{Id}_E)=0$ où $\alpha$ et $\beta$ sont des réels tels que $\alpha>\beta$ que l'on précisera.
- Déterminer, en fonction de $a,b$ et $c$, deux réels $u$ et $v$ tels que $s=u(f+v\textrm{Id}_E)$ soit une symétrie.
- On pose $p=(s+\textrm{Id}_E)/2$ et $q=\textrm{Id}_E-p$.
- Vérifier que $p$ et $q$ sont des projections.
- Montrer la relation $f=\alpha p+\beta q$.
- En déduire une expression de $f^n$ pour $n\in\mathbb N$.
- On suppose $c\neq 0$.
- Démontrer que $f$ est inversible.
- Exprimer $f^{-1}$ en fonction de $p$ et $q$, $\alpha$ et $\beta$.
- En déduire une expression de $f^n$ pour $n\in\mathbb Z$.
Exercice 11 - Endomorphisme sur un espace de matrices [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $A\in\mathcal M_n(\mathbb R)$ et soit $\phi_A$ l'endomorphisme de $\mathcal M_n(\mathbb R)$ défini par $\phi_A(M)=AM$.
- Démontrer que $\phi_A=0$ si et seulement si $A=0$.
- Soit $P\in\mathbb R[X]$. Exprimer $P(\phi_A)$ en fonction de $P(A)$.
- En déduire que $\phi_A$ est diagonalisable si et seulement si $A$ est diagonalisable.
Enoncé
Soit $E$ un $\mathbb C$-espace vectoriel de dimension finie et $u\in\mathcal L(E)$.
- On suppose que $u$ est diagonalisable, et on note $\lambda_1,\dots,\lambda_r$ ses valeurs propres. Justifier qu'il existe des projections $p_1,\dots,p_r$ de $E$ tels que, pour tout $k\geq 1$, $$u^k=\sum_{i=1}^r \lambda_i^k p_i.$$
- Réciproquement, on suppose qu'il existe $p_1,\dots,p_r\in\mathcal L(E)$ et $\lambda_1,\dots,\lambda_r$ des complexes distincts tels que, pour tout $k\geq 1$, $$u^k=\sum_{i=1}^r \lambda_i^k p_i.$$ Démontrer que $u$ est diagonalisable.
Enoncé
Soit $A,B\in\mathcal M_n(\mathbb R)$ telles que $AB=BA$. On pose $M=\left(\begin{array}{c|c}
A&B\\
\hline
0&A
\end{array}\right).$
- Pour $P\in\mathbb C[X],$ calculer $P(M).$
- En déduire une condition nécessaire et suffisante portant sur $A$ et $B$ pour que $M$ soit diagonalisable.
Polynôme caractéristique
Exercice 14 - Polynôme caractéristique d'une matrice compagnon [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $a_1,\dots,a_n\in\mathbb C^n$ et
$$A=\begin{pmatrix}0&\dots&\dots&0&a_n\\
1&\ddots&\ddots&\vdots&\vdots\\
0&\ddots&\ddots&\vdots&\vdots\\
\vdots&\ddots&\ddots&0&a_2\\
0&\dots&\dots&1&a_1
\end{pmatrix}.$$
Calculer le polynôme caractéristique de $A.$
Exercice 15 - Polynôme caractéristique évalué en une autre matrice [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
- Soient $M,N\in\mathcal M_n(\mathbb C)$. Démontrer que $MN$ est inversible si et seulement si $M$ et $N$ sont inversibles.
- Soient $A,B\in\mathcal M_n(\mathbb C)$. Démontrer que $$\chi_A(B)\in GL_n(\mathbb C)\iff \textrm{Sp}(A)\cap \textrm{Sp}(B)=\varnothing.$$
Enoncé
- Démontrer qu'il existe $(a_{0},\ldots,a_{n-1})\in\mathbb C^{n}$ tel que : $$ \forall P \in\mathbb C_{n-1}[X],\quad P(X+n) + \sum_{k=0}^{n-1} a_{k}P(X+k)=0 $$
- Déterminer une telle famille.
Exercice 17 - Polynôme caractéristique de l'inverse [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $A\in GL_n(\mathbb C)$. On note $P$ le polynôme caractéristique de $A$ et $Q$ celui de $A^{-1}$.
Quelle relation a-t-on pour tout $\lambda\in\mathbb C^*$ entre $Q(\lambda)$ et $P(\lambda^{-1})$?
Exercice 18 - Les puissances sont triangulaires supérieures [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $A\in\mathcal M_n(\mathbb K)$ une matrice inversible. Démontrer que $A$ est triangulaire supérieure si et seulement si, pour tout $k\geq 2$, $A^k$ est triangulaire supérieure. Le résultat subsiste-t-il si on ne suppose plus que $A$ est inversible?
Exercice 19 - Endomorphisme sur un espace vectoriel réel [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f$ un endomorphisme d'un $\mtr-$espace vectoriel $E$ de dimension finie. Montrer qu'il existe toujours une droite ou un plan de $E$ stable par $f$.
Exercice 20 - Une application étonnante du théorème de Cayley-Hamilton [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $a_1,\dots,a_n$ des nombres complexes vérifiant
$$\sum_{k=1}^n a_k^p=0$$
pour tout $p>0.$ On souhaite prouver que tous les $a_i$ sont nuls.
On note $D$ la matrice diagonale dont les coefficients sont $a_1,\dots,a_n.$
- Quelle est la trace de $D^p$, pour $p\geq 1$?
- En utilisant le théorème de Cayley-Hamilton, prouver que l'un des $a_i$ est nul.
- Conclure.
Exercice 21 - Polynôme caractéristique de $AB$ et de $BA$. [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $A,B\in\mathcal M_n(\mathbb K)$. On souhaite prouver que $\chi_{AB}=\chi_{BA}$.
- Démontrer le résultat si $A$ ou $B$ est inversible.
- Dans le cas général, on considère les matrices de $\mathcal M_{2n}(\mathbb K)$ $$M=\left(\begin{array}{cc} BA&-B\\ 0&0 \end{array}\right),\ N=\left(\begin{array}{cc} 0&-B\\ 0&AB \end{array}\right),\ P=\left(\begin{array}{cc} I_n&0\\ A&I_n \end{array}\right).$$ Vérifier que $PN=MP$ et conclure.
Exercice 22 - Polynôme caractéristique de la comatrice [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $A\in\mnr$. Calculer le polynôme caractéristique de la comatrice de $A$.
Polynôme minimal
Exercice 23 - Diagonalisation par polynôme minimal [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $U$ la matrice $$U=\left(\begin{array}{cccc}
0&1&1&1\\
1&0&1&1\\
1&1&0&1\\
1&1&1&0
\end{array}\right).$$
- Calculer $U^2$ et en déduire une relation simple liant $U^2$, $U$ et $I_4$.
- En déduire que $U$ est diagonalisable et donner ses valeurs propres.
- Diagonaliser $U$.
Enoncé
Déterminer le polynôme minimal des matrices suivantes :
$$A=\left(\begin{array}{cc}
1&1\\
0&1
\end{array}\right),\
B=\left(\begin{array}{ccc}
1&1&1\\
1&1&1\\
1&1&1
\end{array}\right),\
C=\left(\begin{array}{ccc}
1&2&-2\\
2&1&-2\\
2&2&-3
\end{array}\right)\textrm{ et }
D=\left(\begin{array}{ccc}
3&0&8\\
3&-1&6\\
-2&0&-5
\end{array}\right).$$
Exercice 25 - Polynôme minimal par reconstruction [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $E$ un $\mathbb K$-espace vectoriel de dimension finie, soit $u$ un endomorphisme de $E$ et soit $F,G$ deux sous-espaces de $E$ supplémentaires stables par $u$. On note $\pi_u$ le polynôme minimal de $u$, $\pi_F$ le polynôme minimal de $u_{|F}$ et $\pi_G$ le polynôme minimal de $u_{|G}$. Démontrer que
$$\pi_u=\textrm{ppcm}(\pi_F,\pi_G).$$
Exercice 26 - Racines du polynôme minimal et valeurs propres [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $u$ un endomorphisme de $E$, $\mathbb K$-espace vectoriel de dimension finie. Démontrer que les valeurs propres de $u$ sont exactement les racines du polynôme minimal de $u$.
Exercice 27 - $X^2+1$ est-il un polynôme minimal? [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Existe-t-il dans $\mathcal M_n(\mathbb R)$ une matrice dont le polynôme minimal est $X^2+1$?
Exercice 28 - Inversibilité d'un polynôme en $u$ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $u$ un endomorphisme d'un $\mathbb K$-espace vectoriel $E$ de dimension finie, et soit $\pi_u$ son polynôme minimal. Soit $P\in\mathbb K[X]$. Démontrer que $P(u)$ est inversible si et seulement si $P$ et $\pi_u$ sont premiers entre eux.
Exercice 29 - Diagonalisable et carré diagonalisable? [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $A\in GL_n(\mathbb C)$ . Démontrer que $A$ est diagonalisable si et seulement si $A^2$ est diagonalisable. Le résultat subsiste-t-il si $A$ n'est pas inversible?
Enoncé
Soit $M\in M_n(\mathbb C)$ et $p\geq 1$. Montrer que $M$ est diagonalisable
si et seulement si $M^p$ est diagonalisable et $\ker(M)=\ker(M^p)$. Le résultat subsiste-t-il si on travaille dans $\mathbb R$?
Enoncé
Soit $E$ un $\mathbb K$-espace vectoriel de dimension finie $n$ et soit $f\in\mathcal L(E)$ diagonalisable. Démontrer que les assertions suivantes sont équivalentes :
- Les valeurs propres de $f$ sont simples.
- Il existe $x\in E$ tel que $\{x,f(x),\dots,f^{n-1}(x)\}$ soit une base de $E$.
- La famille $\{Id,f,\dots,f^{n-1}\}$ est libre.
Exercice 32 - Facteurs irréductibles du polynôme minimal et du polynôme caractéristique [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f$ un endomorphisme de $\mathbb R^n$, on note $\pi_f$ (resp. $\chi_f$) son polynôme minimal (resp. son polynôme caractéristique). Montrer que $\pi_f$ et $\chi_f$ ont les mêmes facteurs irréductibles.