$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Exercices corrigés - Matrices par blocs

Exercice 1 - Matrice triangulaire par blocs inversible [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $A\in GL_n(\mathbb K)$, $B\in GL_m(\mathbb K)$, $C\in\mathcal M_{n,m}(\mathbb K)$ et $T$ la matrice triangulaire par blocs donnée par $$T=\begin{pmatrix}A&C\\0&B\end{pmatrix}.$$ Justifier que $T$ est inversible et donner son inverse.
Corrigé
Exercice 2 - Trace du produit tensoriel de deux matrices [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Pour $A\in\mathcal M_n(\mathbb R)$ et $B\in\mathcal M_p(\mathbb R)$, on définit le produit tensoriel de $A$ et $B$ par $$A\otimes B=\left(\begin{array}{ccc} a_{1,1}B&\dots&a_{1,n}B\\ \vdots&&\vdots\\ a_{n,1}B&\dots&a_{n,n}B \end{array}\right).$$ Quelle est la taille de la matrice $A\otimes B$? Démontrer que $\textrm{tr}(A\otimes B)=\textrm{tr}(A)\textrm{tr}(B)$.
Corrigé
Exercice 3 - Déterminant d'une matrice par blocs et complément de Schur [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $M=\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}$ où $A\in GL_p(\mathbb R)$ et $D\in\mathcal M_q(\mathbb R).$
  1. Déterminer une matrice triangulaire supérieure par blocs $N$ telle que $$MN=\begin{pmatrix} A&0\\ C&S \end{pmatrix}$$ où $S=D-CA^{-1}B$.
  2. En déduire que $$\det(M)=\det(A)\det(D-CA^{-1}B).$$
Indication
Corrigé
Exercice 4 - Rang d'une matrice triangulaire par blocs [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $A\in GL_p(\mathbb R)$, $B\in\mathcal M_{q,p}(\mathbb R)$, $C\in\mathcal M_{q}(\mathbb R)$ et $M\in\mathcal M_{p+q}(\mathbb R)$ la matrice définie par blocs $$M=\begin{pmatrix} A&0\\ B&C \end{pmatrix}.$$ Démontrer que $\textrm{rg}(M)=\textrm{rg}(A)+\textrm{rg}(C)$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $B$ la matrice diagonale par blocs $$B=\left( \begin{array}{cccc} A_1&0&\dots&0\\ 0&A_2&\ddots&\vdots\\ \vdots&\dots&\ddots&\vdots\\ 0&\dots&0&A_n \end{array} \right).$$ Calculer le rang de $B$ en fonction du rang des $A_i$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $A\in\mathcal M_n(\mathbb K)$ une matrice de rang $r$.
  1. Démontrer que $A$ est semblable à une matrice par blocs $\begin{pmatrix}B&0\\C&0\end{pmatrix}$ avec $B\in\mathcal M_r(\mathbb K)$ et $C\in\mathcal M_{n-r,r}(\mathbb K)$.
  2. On suppose de plus que $\textrm{Im}(A)$ et $\ker(A)$ sont supplémentaires. Démontrer que l'on peut demander $C=0$. Que dire de $B$?
Corrigé