Exercices corrigés - Matrices par blocs
Exercice 1 - Matrice triangulaire par blocs inversible [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $A\in GL_n(\mathbb K)$, $B\in GL_m(\mathbb K)$, $C\in\mathcal M_{n,m}(\mathbb K)$ et $T$ la matrice triangulaire par blocs donnée par
$$T=\begin{pmatrix}A&C\\0&B\end{pmatrix}.$$
Justifier que $T$ est inversible et donner son inverse.
Exercice 2 - Trace du produit tensoriel de deux matrices [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Pour $A\in\mathcal M_n(\mathbb R)$ et $B\in\mathcal M_p(\mathbb R)$, on définit le produit tensoriel de $A$ et $B$ par
$$A\otimes B=\left(\begin{array}{ccc}
a_{1,1}B&\dots&a_{1,n}B\\
\vdots&&\vdots\\
a_{n,1}B&\dots&a_{n,n}B
\end{array}\right).$$
Quelle est la taille de la matrice $A\otimes B$? Démontrer que $\textrm{tr}(A\otimes B)=\textrm{tr}(A)\textrm{tr}(B)$.
Exercice 3 - Déterminant d'une matrice par blocs et complément de Schur [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $M=\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}$
où $A\in GL_p(\mathbb R)$ et $D\in\mathcal M_q(\mathbb R).$
- Déterminer une matrice triangulaire supérieure par blocs $N$ telle que $$MN=\begin{pmatrix} A&0\\ C&S \end{pmatrix}$$ où $S=D-CA^{-1}B$.
- En déduire que $$\det(M)=\det(A)\det(D-CA^{-1}B).$$
Exercice 4 - Rang d'une matrice triangulaire par blocs [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $A\in GL_p(\mathbb R)$, $B\in\mathcal M_{q,p}(\mathbb R)$, $C\in\mathcal M_{q}(\mathbb R)$ et $M\in\mathcal M_{p+q}(\mathbb R)$ la matrice définie par blocs
$$M=\begin{pmatrix}
A&0\\
B&C
\end{pmatrix}.$$
Démontrer que $\textrm{rg}(M)=\textrm{rg}(A)+\textrm{rg}(C)$.
Enoncé
Soit $B$ la matrice diagonale par blocs
$$B=\left(
\begin{array}{cccc}
A_1&0&\dots&0\\
0&A_2&\ddots&\vdots\\
\vdots&\dots&\ddots&\vdots\\
0&\dots&0&A_n
\end{array}
\right).$$
Calculer le rang de $B$ en fonction du rang des $A_i$.
Enoncé
Soit $A\in\mathcal M_n(\mathbb K)$ une matrice de rang $r$.
- Démontrer que $A$ est semblable à une matrice par blocs $\begin{pmatrix}B&0\\C&0\end{pmatrix}$ avec $B\in\mathcal M_r(\mathbb K)$ et $C\in\mathcal M_{n-r,r}(\mathbb K)$.
- On suppose de plus que $\textrm{Im}(A)$ et $\ker(A)$ sont supplémentaires. Démontrer que l'on peut demander $C=0$. Que dire de $B$?