Exercices corrigés - Matrices et applications linéaires
Exemples de matrices d'applications linéaires
Enoncé
Soient $S$ et $T$ les deux endomorphismes de $\mathbb R^2$ définis par
$$
S(x,y)=(2x-5y,\ -3x+4y)\quad\text{et}\quad T(x,y)=(-8y,\ 7x+y).
$$
- Déterminer les matrices de $S$ et $T$ dans la base canonique de $\mathbb R^2$.
- Déterminer les applications linéaires $S+T$, $S\circ T$, $T\circ S$ et $S\circ S$ ainsi que leurs matrices dans la base canonique de $\mathbb R^2$.
Enoncé
Soit $u$ l'application de $\mathbb R^3$ dans $\mathbb R^4$ définie par
\[
u(x,y,z)=(-x+y,x-y,-x+z,-y+z).
\]
- Montrer que $u$ est linéaire
- Soient $\{\mathcal E_1,\mathcal E_2,\mathcal E_3\}$ la base canonique de $\mathbb R^3$ et $\{\mathcal F_1,\mathcal F_2,\mathcal F_3,\mathcal F_4\}$ la base canonique de $\mathbb R^4$. Calculer $u(\mathcal E_1)$, $u(\mathcal E_2)$ et $u(\mathcal E_3)$ en fonction de $\mathcal F_1$, $\mathcal F_2$, $\mathcal F_3$ et $\mathcal F_4$.
- Écrire la matrice de $u$ dans les bases canoniques de $\mathbb R^3$ et $\mathbb R^4$.
- Montrer que $\{\mathcal F_1,\mathcal F_2,u(\mathcal E_1),u(\mathcal E_2)\}$ est une base de $\mathbb R^4$.
- Écrire la matrice de $u$ dans les bases $\{\mathcal E_1,\mathcal E_2,\mathcal E_3\}$ et $\{\mathcal F_1,\mathcal F_2,u(\mathcal E_1),u(\mathcal E_2)\}$.
Enoncé
Soit $( \mathcal{E}_1,\mathcal{E}_2,\mathcal{E}_3 )$ la base canonique de $\mathbb R^3$, $w_1=(1,-2,0)$, $w_2=(-1,2,0)$, $w_3=(0,0,2)$ et $u$ l'endomorphisme de $\mathbb R^3$ défini par la donnéee des images des vecteurs de la base :
$$u(\mathcal{E}_1) = w_1\; , u(\mathcal{E}_2)=w_2 \; , u(\mathcal{E}_3)=w_3.$$
-
- Exprimer $w_1$, $w_2$, $w_3$ en fonction de $\mathcal{E}_1$, $\mathcal{E}_2$ et $\mathcal{E}_3$. En déduire la matrice de $u$ dans la base canonique.
- Soit $W=(x,y,z) \in \mathbb R^3$. Calculer $u(W)$.
-
- Trouver une base de $\ker(u)$ et une base de $\textrm{Im}(u)$.
- Montrer que $\mathbb R^3 = \ker(u) \oplus \textrm{Im}(u)$.
- Déterminer $\ker(u-Id)$ et $\textrm{Im}(u-Id)$ où $Id$ désigne l'identité de $\mathbb R^3$. En déduire que $u-Id$ est un automorphisme de $\mathbb R^3$.
Enoncé
Soit $E=\mathbb R^3$. On note ${\cal B}=(\mathcal{E}_1,\mathcal{E}_2,\mathcal{E}_3)$ la base canonique de $E$ et $u$ l'endomorphisme de $\mathbb R^3$ défini par la donnée des images des vecteurs de la base :
$$u(\mathcal{E}_1) = -2\mathcal{E}_1 +2\mathcal{E}_3 \; , u(\mathcal{E}_2)=3\mathcal{E}_2 \; , u(\mathcal{E}_3)=-4\mathcal{E}_1 + 4 \mathcal{E}_3.$$
- Écrire la matrice de $u$ dans la base canonique.
- Déterminer une base de $\ker~u$. $u$ est-il injectif? peut-il être surjectif? Pourquoi?
- Déterminer une base de $\textrm{Im}~u$. Quel est le rang de u ?
- Montrer que $E=\ker~u\bigoplus \textrm{Im}~u$.
Enoncé
Soit $f$ l'application linéaire de $\mathbb R^4$ dans lui-même
défini par $f(x,y,z,t)=(x-y+z,y+z+t,0,x+y+3z+2t)$.
- Déterminer les images par $f$ des vecteurs de la base canonique $(e_1,e_2,e_3,e_4)$ de $\mathbb R^4$.
- Écrire la matrice $A$ représentant l'endomorphisme $f$ dans cette base.
- Montrer que $f(e_3)$ et $f(e_4)$ sont combinaisons linéaires de $f(e_1)$ et $f(e_2)$.
- En déduire la dimension de $\textrm{Im}(f)$ et une base de $\textrm{Im}(f)$.
- Quelle est la dimension du noyau de $f$? Montrer que la famille de vecteurs $(u,v)$ avec $u=(-2,-1,1,0)$ et $v=(-1,-1,0,1)$ forme une base de $\ker(f)$.
Enoncé
On considère l'endomorphisme $f$ de $\mathbb R^3$ dont la matrice
dans la base canonique est :
$$A=\left(
\begin{array}{ccc}
1&1&1\\
-1&2&-2\\
0&3&-1
\end{array}\right).$$
Donner une base de $\ker(f)$ et de $\textrm{Im}(f)$.
Enoncé
On considère l'endomorphisme $f$ de $\mathbb R^3$ dont la matrice
dans la base canonique est :
$$M=\left(
\begin{array}{ccc}
1&1&-1\\
-3&-3&3\\
-2&-2&2
\end{array}\right).$$
Donner une base de $\ker(f)$ et de $\textrm{Im}(f)$. En déduire que $M^n=0$ pour tout $n\geq 2$.
Exercice 8 - Application linéaire définie sur les matrices [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $A=\left(\begin{array}{cc}-1&2\\1&0\end{array}\right)$
et $f$ l'application de $M_2(\mathbb R)$ dans $M_2(\mathbb R)$
définie pour tout $M\in M_2(\mathbb R)$ par $f(M)=AM$.
- Montrer que $f$ est linéaire.
- Déterminer sa matrice dans la base canonique de $M_2(\mathbb R)$.
Exercice 9 - Matrice inverse et application linéaire sur les polynômes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $A$ la matrice de $\mathcal M_{n+1}(\mathbb R)$
définie par $a_{i,j}=\binom{j-1}{i-1}$ si $i\leq j$, $a_{i,j}=0$
sinon.
- Interpréter $A$ comme la matrice d'un endomorphisme de $\mathbb R_{n}[X]$.
- En déduire que $A$ est inversible, et calculer son inverse.
Enoncé
Soit $E$ un espace vectoriel de dimension $n$ et $\phi\in\mathcal L(E)$. On dit que $\phi$ est une transvection si
- $\textrm{Im}(\phi-Id_E)\subset \ker(\phi-Id_E)$;
- $\ker(\phi-Id_E)$ est un sous-espace vectoriel de dimension $n-1$.
Enoncé
Soit $A\in\mathcal M_{3,2}(\mathbb R)$, $B\in\mathcal M_{2,3}(\mathbb R)$ tels que
$$AB=\left(
\begin{array}{ccc}
0&0&0\\
0&1&0\\
0&0&1
\end{array}
\right).$$
Démontrer que $BA=I_2$.
Enoncé
Soit $E$ un espace vectoriel de dimension $n$. On souhaite démontrer qu'il existe une base de
$\mathcal L(E)$ constituée de projecteurs. On fixe une base $\mathcal B$ de $E$.
On note $E_{i,j}$ les matrices élémentaires de $\mathcal M_n(\mathbb R)$.
- A quelle condition une matrice $M\in\mathcal M_n(\mathbb R)$ est-elle la matrice dans la base $\mathcal B$ d'un projecteur de $E$.
- En déduire que pour tout $i,j\in\{1,\dots n\}$ avec $i\neq j$, les matrices $E_{i,i}$ et $E_{i,i}+E_{i,j}$ sont des matrices de projecteurs.
- Démontrer la propriété annoncée.
Enoncé
Soit $A\in M_n(\mathbb C)$ une matrice à diagonale dominante, c'est-à-dire que
pour tout $i\in\{1,\dots,n\}$, on a $|a_{i,i}|>\sum_{j\neq i}|a_{i,j}|$.
Montrer que la matrice $A$ est inversible.
Exercice 14 - Base adaptée à un endomorphisme dont le carré est nul [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f\in\mathcal L(\mathbb R^3)$ tel que $f\neq 0$ et $f^2=0$.
- Démontrer que $\dim(\ker(f))=2$.
- En déduire qu'il existe une base $\mathcal B$ de $\mathbb R^3$ dans laquelle la matrice de $f$ est $\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}$.
Changement de bases
Enoncé
Soit $u$ l'application linéaire de $\mathbb R^3$ dans $\mathbb R^2$ dont la matrice dans leur base
canonique respective est
$$A=\left(
\begin{array}{ccc}
2&-1&1\\
3&2&-3
\end{array}\right).$$
On appelle $(e_1,e_2,e_3)$ la base canonique de $\mathbb R^3$ et $(f_1,f_2)$ celle de $\mathbb R^2$. On pose
$$e_1'=e_2+e_3,\ e_2'=e_3+e_1,\ e_3'=e_1+e_2\textrm{ et }f_1'=\frac{1}{2}(f_1+f_2),\ f_2'=\frac{1}{2}(f_1-f_2).$$
- Montrer que $(e_1',e_2',e_3')$ est une base de $\mathbb R^3$ puis que $(f_1',f_2')$ est une base de $\mathbb R^2$.
- Quelle est la matrice de $u$ dans ces nouvelles bases?
Enoncé
Soient $u:\mathbb R^2\rightarrow \mathbb R^3$ et $v:\mathbb R^3\rightarrow\mathbb R^2$ définies par $u(x,y)=(x+2y,2x-y,2x+3y)$ et $v(x,y,z)=(x-2y+z,2x+y-3z)$.
- Montrer que $u$ et $v$ sont linéaires et donner les matrices de $u,v,u\circ v$ et $v\circ u$ dans les bases canoniques de leurs espaces de définition respectifs. En déduire les expressions de $u\circ v(x,y,z)$ et $v\circ u(x,y)$.
- Soit $\mathcal{B}_2=\{\mathcal{E}_1,\mathcal{E}_2\}$ et $\mathcal{B}_3=\{\mathcal{F}_1,\mathcal{F}_2,\mathcal{F}_3\}$ les bases canoniques de $\mathbb R^2$ et $\mathbb R^3$. Montrer que $\mathcal{B}^\prime_2:=\{\mathcal{E}^\prime_1,\mathcal{E}^\prime_2\}$ et $\mathcal{B}^\prime_3:=\{\mathcal{F}^\prime_1,\mathcal{F}^\prime_2,\mathcal{F}^\prime_3\}$ sont des bases de $\mathbb R^2$ et $\mathbb R^3$ resp., où $\mathcal{E}^\prime_1:=\mathcal{E}_1$, $\mathcal{E}^\prime_2:=\mathcal{E}_1-\mathcal{E}_2$, $\mathcal{F}^\prime_1:=\mathcal{F}_1$, $\mathcal{F}^\prime_2:=\mathcal{F}_1+\mathcal{F}_2$ et $\mathcal{F}^\prime_3:=\mathcal{F}_1+\mathcal{F}_2 + \mathcal{F}_3$.
- Donner la matrice $P$ de passage de la base $\mathcal{B}_2$ à la base $\mathcal{B}^\prime_2$ puis la matrice $Q$ de passage de la base $\mathcal{B}_3$ à la base $\mathcal{B}^\prime_3$.
- Écrire la matrice de $u$ dans les bases $\mathcal{B}^\prime_2$ et $\mathcal{B}_3$ puis dans les bases $\mathcal{B}^\prime_2$ et $\mathcal{B}^\prime_3$ et enfin celle de $v$ dans les bases $\mathcal{B}^\prime_3$ et $\mathcal{B}^\prime_2$.
Enoncé
Soient, dans $\mathbb R^3$, $P$ le plan d'équation $z=x-y$ et $D$ la droite
d'équation $x=-y=z$. Trouver la matrice dans la base canonique de $\mathbb R^3$
de la projection $p$ de $\mathbb R^3$ sur $P$ parallèlement à $D$.
Rang de matrices
Enoncé
Calculer le rang des matrices suivantes :
$$\begin{array}{lcl}
\displaystyle
\mathbf{1.}\ A=\left(
\begin{array}{ccc}
1&2&3\\
2&3&4\\
3&4&5
\end{array}\right)&\quad\quad&
\displaystyle
\mathbf{2.}\
B=\left(
\begin{array}{ccc}
1&1&1\\
1&2&4\\
1&3&9
\end{array}\right)
\\
\displaystyle
\mathbf{3.}\
C=\left(\begin{array}{cccc}
1&2&3&2\\
2&3&4&2\\
3&4&5&2\\
\end{array}
\right)
&&\displaystyle
\mathbf 4.\ D=\left(\begin{array}{cccc}
1&2&1&2\\
-2&-3&0&-5\\
4&9&6&7\\
1&-1&-5&5
\end{array}
\right)
\end{array}.$$
Enoncé
Soient $\alpha,\beta$ deux réels et
$$M_{\alpha,\beta}=\left(\begin{array}{cccc}
1&3&\alpha&\beta\\
2&-1&2&1\\
-1&1&2&0
\end{array}\right).$$
Déterminer les valeurs de $\alpha$ et $\beta$ pour lesquelles l'application linéaire associée à $M_{\alpha,\beta}$
est surjective.
Enoncé
Déterminer, suivant la valeur du réel $a$, le rang de la matrice suivante :
$$A=\left(
\begin{array}{cccc}
1&a&a^2&a^3\\
a&a^2&a^3&1\\
a^2&a^3&1&a\\
a^3&1&a&a^2
\end{array}\right).$$
Enoncé
Soit $B$ la matrice diagonale par blocs
$$B=\left(
\begin{array}{cccc}
A_1&0&\dots&0\\
0&A_2&\ddots&\vdots\\
\vdots&\dots&\ddots&\vdots\\
0&\dots&0&A_n
\end{array}
\right).$$
Calculer le rang de $B$ en fonction du rang des $A_i$.
Matrices équivalentes
Enoncé
Prouver qu'une matrice $A$ de $M_{n,p}(\mathbb K)$ de rang $r$ s'écrit comme somme de $r$ matrices de rang 1.
Exercice 23 - Matrices équivalentes et matrices nilpotentes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Montrer qu'une matrice de $\mathcal M_n(\mathbb K)$ qui n'est pas inversible est
équivalente à une matrice nilpotente.
Matrices semblables
Enoncé
Montrer que les matrices $A$, $B$, $C$ et $D$ suivantes sont semblables :
$$A=\begin{pmatrix}
0&0&0\\
0&0&1\\
0&0&0
\end{pmatrix},\ B=\begin{pmatrix}
0&0&0\\
0&0&0\\
0&1&0
\end{pmatrix}$$
$$C=\begin{pmatrix}
0&1&0\\
0&0&0\\
0&0&0
\end{pmatrix},\ D=\begin{pmatrix}
0&0&0\\
4&0&0\\
0&0&0
\end{pmatrix}.$$
Enoncé
Soit $A\in\mathcal M_n(\mathbb K)$ une matrice de rang $r$.
- Démontrer que $A$ est semblable à une matrice par blocs $\begin{pmatrix}B&0\\C&0\end{pmatrix}$ avec $B\in\mathcal M_r(\mathbb K)$ et $C\in\mathcal M_{n-r,r}(\mathbb K)$.
- On suppose de plus que $\textrm{Im}(A)$ et $\ker(A)$ sont supplémentaires. Démontrer que l'on peut demander $C=0$. Que dire de $B$?
Enoncé
Soit $M=\begin{pmatrix}0&2&-1\\
3&-2&0\\
-2&2&1\end{pmatrix}$ et $D=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&-4\end{pmatrix}$. Le but de l'exercice est de démontrer que $M$ et $D$ sont semblables. On note $f$ l'endomorphisme de $\mathbb R^3$ dont la matrice dans la base canonique est $M$.
- Démontrer qu'il existe $u_1\in\mathbb R^3$ tel que $\textrm{vect}(u_1)=\ker(f-Id)$. De même, prouver l'existence de $u_2,u_{-4}\in\mathbb R^3$ tels que $\textrm{vect}(u_2)=\ker(f-2 Id)$ et $\vect(u_{-4})=\ker(f+4Id)$.
- Démontrer que $(u_1,u_2,u_{-4})$ est une base de $\mathbb R^3$.
- Conclure.
Enoncé
- Soit $E$ un espace vectoriel et $f\in\mathcal L(E)$. Montrer que $f$ est une homothétie si et seulement si, pour tout $x\in E$, la famille $(x,f(x))$ est liée.
- Soit $M\in M_n(\mathbb K)$ de trace nulle. Montrer que $M$ est semblable à une matrice n'ayant que des zéros sur la diagonale.