Exercices corrigés -Matrices : autres exercices

Exercice 1 - Un sous-espace vectoriel de matrices ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Soit $ E $ le sous ensemble de $ M_3({\mathbb R}) $ défini par $$ E = \Bigl \{ M(a,b,c)=\left( \begin{array}{ccc} a & 0 & c \\ 0 & b & 0 \\ c & 0 & a \\ \end{array}\right):\;\; a , b , c \in {\mathbb R} \Bigr \} .$$ Montrer que $ E $ est un sous-espace vectoriel de $ M_3(\mathbb R) $ stable pour la multiplication des matrices. Calculer $ \hbox{dim} (E) .$

Indication

Corrigé

Exercice 2 - Matrices symétriques et anti-symétriques ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Enoncé

Montrer que l'ensemble des matrices symétriques ($A=\ ^t\!A$) et l'ensemble des matrices anti-symétriques ($A=-\ ^t\!A$) sont deux sous-espaces vectoriels supplémentaires de $\mathcal M_n(\mathbb R)$.

Indication

Corrigé

Exercice 3 - Matrices magiques ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Enoncé

Soit $n\geq 3$. On dit qu'une matrice $M\in\mathcal M_n(\mathbb R)$ est magique si, pour tout $j\in\{1,\dots,n\}$, on a $$\sum_{i=1}^n m_{i,j}=\sum_{i=1}^n m_{j,i}=\sum_{i=1}^n m_{i,i}=\sum_{i=1}^n m_{i,n+1-i}.$$ On note $MG(n)$ l'ensemble des matrices magiques d'ordre $n$.

Que signifie être une matrice magique?
Montrer que $MG(n)$ est un espace vectoriel.
Montrer que l'application $\phi:MG(n)\to\mathcal M_{n-2,n-1}(\mathbb R)\times\mathbb R^{n-2}$, qui envoie la matrice $M$ qui s'écrit $$M=\left( \begin{array}{ccccc} &&&&m_{1,n}\\ &M_1&&&\vdots\\ &&&&m_{n-2,n}\\ m_{n-1,1}&\dots&\dots&m_{n-1,n-1}&m_{n-1,n}\\ m_{n,1}&\dots&\dots&m_{n,n-1}&m_{n,n} \end{array}\right)$$ sur $(M_1,m_{1,n},m_{n-1,1},m_{n-1,3},m_{n-1,4},\dots,m_{n-1,n-2})$ est un isomorphisme d'espace vectoriel.
En déduire la dimension de $MG(n)$.

Indication

Corrigé

La condition signifie que les sommes des coefficients de toutes les lignes, de toutes les colonnes, et des deux diagonales de la matrice sont égales.
On laisse au lecteur le soin de vérifier que $MG(n)$ est un sous-espace vectoriel de $\mathcal M_n(\mathbb R)$.
L'application $\phi$ est clairement linéaire. Pour prouver que c'est un isomorphisme d'espace vectoriel, on va prouver directement qu'il est bijectif (on ne connait pas la dimension de l'espace de départ, impossible de se contenter de l'injectivité de $\phi$). Soit donc $(A,a_1,\dots,a_{n-2})\in \mathcal M_{n-2,n-1}(\mathbb R)\times\mathbb R^{n-2}$ et on cherche une matrice $M$ de $MG(n)$ vérifiant $\phi(M)=(A,a_1,\dots,a_{n-2})$. On sait déjà ce que vaut $m_{i,j}$ pour $1\leq i\leq n-2$ et $1\leq j\leq n-1$. On sait aussi ce que doit valoir $m_{1,n}$ ainsi que $m_{n-1,1},m_{n-1,3},m_{n-1,4},\dots,m_{n-1,n-2}$. Cherchons les autres coefficients, et notons $S=\sum_{i=1}^n m_{1,i}$ (valeur déjà déterminée). Puisqu'on connait tous les coefficients de la $j$-ième ligne, avec $j\leq n-2$, sauf $m_{j,n}$, et que la somme des coefficients de la ligne doit valoir $S$, on détermine uniquement $m_{j,n}$ (qui vaut $S-\sum_{i<n}m_{j,i}$). On connait aussi tous les coefficients de la première colonne, sauf $m_{n,1}$, et on sait que la somme fait $S$ : ceci détermine uniquement $m_{n,1}$. On connait ensuite tous les coefficient de la diagonale en bas à gauche vers en haut à droite sauf $m_{n-1,2}$. Ceci détermine uniquement ce coefficient (puisque la somme doit valoir $S$). On peut alors répéter le processus pour toutes les colonnes de la $2$-ème à la $n-2$ème : ceci détermine uniquement $m_{n,i}$ pour $i\leq n-2$. Reste à déterminer les quatre derniers coefficients, $m_{n-1,n-1}$, $m_{n-1,n}$, $m_{n,n-1}$ et $m_{n,n}$. Notons $S_1$ et $S_2$ la somme des coefficients déjà connus sur la colonne $n-1$ et sur la colonne $n$, $S_3$ et $S_4$ les sommes des coefficients déjà connus sur les lignes $n-1$ et $n$ et $S_5$ la somme des coefficients déjà connus sur la diagonale principale. Une matrice magique solution doit vérifier le système d'équation : $$\left\{ \begin{array}{rcl} m_{n-1,n-1}+m_{n-1,n}&=&S-S_1\\ m_{n,n-1}+m_{n,n}&=&S-S_2\\ m_{n-1,n-1}+m_{n,n-1}&=&S-S_3\\ m_{n-1,n}+m_{n,n}&=&S-S_4\\ m_{n-1,n-1}+m_{n,n}&=&S-S_5. \end{array}\right.$$ Cela nous fait cinq équations pour quatre inconnues...mais une équation est en trop. En effet, si on fait $L_1+L_2-L_3$, on trouve à gauche $m_{n-1,n}+m_{n,n}$, comme dans le membre de gauche de $L_4$. Pour la partie droite, on trouve : \begin{eqnarray*} S-S_1-S_2+S_3&=& S-\sum_{i=1}^{n-2}(m_{n-1,i}+m_{n,i})+S_3\\ &=&S-\sum_{i=1}^{n-2} (S-\sum_{j=1}^{n-2}m_{j,i})+S_3\\ &=&S-\big((n-2)S-\sum_{j=1}^{n-2}\sum_{i=1}^{n-2}m_{j,i}-\sum_{j=1}^{n-2}m_{j,n-1}\big)\\ &=&S-\sum_{j=1}^{n-2}\big(S-\sum_{i=1}^{n-1}m_{j,i}\big)\\ &=&S-\sum_{j=1}^{n-2}m_{j,n}=S-S_4. \end{eqnarray*} L'équation $L_4$ est donc redondante puisqu'égale à $L_1+L_2-L_3$. On peut donc l'éliminer du système d'équations, et on prouve facilement que ce système de quatre équations à quatre inconnues à une unique solution. Ceci conclut quant à la bijectivité de $\phi$.
Puisque $\phi$ est un isomorphisme d'espace vectoriel, on a $$\dim(MG(n))=\dim\big(\mathcal M_{n-2,n-1}(\mathbb R)\times\mathbb R^{n-2}\big)=n(n-2).$$

Exercice 4 - Puissance de matrices et suites récurrentes ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Enoncé

Dans cet exercice, on va calculer la puissance d'une matrice par une méthode susceptible de généralisation, puis on va appliquer ce résultat au calcul du terme général de deux suites récurrentes. Dans la suite, on note $$A=\begin{pmatrix} 0&1\\-2&3\end{pmatrix},\ D=\begin{pmatrix} 1&0\\0&2\end{pmatrix},\ P=\begin{pmatrix} 1&1\\1&2\end{pmatrix}.$$

1. Justifier que $P$ est inversible et calculer $P^{-1}$.
2. Calculer $PDP^{-1}$.
3. Calculer $D^2,\ D^3$. Conjecturer une formule pour $D^n$ et la démontrer.
4. Démontrer que, pour tout $n\geq 1$, $A^n=PD^{n}P^{-1}$.
5. En déduire que, pour tout $n\geq 1$, $$A^n=\begin{pmatrix} -2^n+2 & 2^n-1\\ -2^{n+1}+2&2^{n+1}-1 \end{pmatrix}.$$
1. On considère $(u_n)_n$ et $(v_n)_n$ les deux suites de nombres réels définies par $u_0=1$, $v_0=2$ et $$\left\{ \begin{array}{rcl} u_{n+1}&=&v_n\\ v_{n+1}&=&-2u_n+3v_n. \end{array}\right.$$ On pose, pour $n\geq 0$, le vecteur $U_n=\begin{pmatrix}u_n\\v_n\end{pmatrix}$. Quelle est la relation qui lie $U_{n+1}$, $U_n$ et $A$?
2. En déduire la valeur exacte de $u_n$ et de $v_n$ pour tout $n\geq 0$.

Indication

Corrigé

1. $P$ est inversible car son déterminant vaut $2-1=1\neq 0$. On vérifie facilement que $$P^{-1}=\begin{pmatrix} 2&-1\\-1&1\end{pmatrix}.$$
2. Un calcul facile montre que $PDP^{-1}=A$.
3. On trouve $$D^2=\begin{pmatrix} 1&0\\0&2^2\end{pmatrix}\quad\quad D^3=\begin{pmatrix} 1&0\\0&2^3\end{pmatrix}.$$ Ceci nous amène à considérer, pour $n\geq 1$, la propriété $$\mathcal P(n)=" D^n=\begin{pmatrix} 1&0\\0&2^n\end{pmatrix} ".$$ On prouve par récurrence que $\mathcal P(n)$ est vraie pour tout $n\geq 1$.
  Initialisation : Puisque $D=\begin{pmatrix} 1&0\\0&2\end{pmatrix}$, $\mathcal P(1)$ est vraie.
  Hérédité : Soit $n\in\mathbb N$ tel que $\mathcal P(n)$ est vraie. Alors $$D^{n+1}=D^n D=\begin{pmatrix} 1&0\\0&2^n\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1&0\\0&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1&0\\0&2^{n+1}\end{pmatrix}.$$ Ainsi, $\mathcal P(n+1)$ est vraie.
  Conclusion : Par le principe de récurrence, $\mathcal P(n)$ est vraie pour tout $n\geq 1$.
4. On va là encore procéder par récurrence. Pour $n\geq 1$, on note cette fois $$\mathcal P(n)="A^n=PD^nP^{-1}".$$ Initialisation : On a déjà vérifié dans une question précédente que $A=PDP^{-1}$ et donc $\mathcal P(1)$ est vraie.
  Hérédité : Soit $n\geq 1$ tel que $\mathcal P(n)$ est vraie. Alors on a $$A^{n+1}=A^n A=PD^nP^{-1} PDP^{-1}$$ en ayant utilisé que $\mathcal P(n)$ est vraie et que $\mathcal P(1)$ est vraie. On conclut que $$A^{n+1}=PD^n I_nD P^{-1}=PD^n D P^{-1}=PD^{n+1}P^{-1}.$$ Ainsi, $\mathcal P(n+1)$ est vraie.
  Conclusion : Par le principe de récurrence, $\mathcal P(n)$ est vraie pour tout $n\geq 1$.
5. C'est un simple calcul. On commence par remarquer que $$P D^n =\begin{pmatrix} 1&2^n\\ 1&2^{n+1} \end{pmatrix}$$ et on multiplie encore par $P^{-1}$ pour obtenir le résultat.
1. On vérifie facilement que $U_{n+1}=AU_n.$
2. Par récurrence, on prouve facilement que, pour tout $n\geq 1$, $U_n=A^n U_0$ (la suite $(U_n)$ est une suite géométrique de matrices). En effectuant le produit de matrices, et en utilisant le résultat trouvé auparavant pour $A^n$, on trouve que, pour tout $n\geq 1$, on a $$u_n=-2^n+2+2(2^n-1)=2^n$$ et $$v_n=-2^{n+1}+2+2(2^{n+1}-1)=2^{n+1}.$$

Exercice 5 - Application à l'étude de suites récurrentes ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Enoncé

On considère les matrices \[ A=\frac 12\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1\\ 1&0&1\\ 1&1&0 \end{pmatrix}\textrm{ et }P=\begin{pmatrix} 1&-1&-1\\ 1&1&0\\ 1&0&1 \end{pmatrix}. \]

Démontrer que $P$ est inversible, et déterminer son inverse.
On pose $D=P^{-1}AP$. Calculer $D$.
Calculer $D^n$ pour tout $n\geq 1$.
Démontrer que, pour tout $n\geq 1$, $A^n=PD^n P^{-1}$. On en déduit que pour tout entier $n$, $$A^n=\begin{pmatrix} \frac 13+\frac 23\cdot \left(\frac{-1}2\right)^n &\frac{1}{3}-\frac13\cdot\left(\frac{-1}2\right)^n &\frac{1}{3}-\frac13\cdot\left(\frac{-1}2\right)^n \\[0.1cm] \frac{1}{3}-\frac13\cdot\left(\frac{-1}2\right)^n & \frac 13+\frac 23\cdot \left(\frac{-1}2\right)^n &\frac{1}{3}-\frac13\cdot\left(\frac{-1}2\right)^n \\[0.1cm] \frac{1}{3}-\frac13\cdot\left(\frac{-1}2\right)^n &\frac{1}{3}-\frac13\cdot\left(\frac{-1}2\right)^n &\frac 13+\frac 23\cdot \left(\frac{-1}2\right)^n \end{pmatrix}$$ (on ne demande pas de faire le calcul, mais vous pouvez vérifier vos résultats en calculant quelques coefficients).
On considère les trois suites réelles $(u_n)$, $(v_n)$ et $(w_n)$ définies par récurrence, pour $u_0$, $v_0$ et $w_0$ des réels, par \[ \left\{ \begin{array}{rcl} u_{n+1}&=&\displaystyle\frac{v_n+w_n}2\\[0.2cm] v_{n+1}&=&\displaystyle\frac{u_n+w_n}2\\[0.2cm] w_{n+1}&=&\displaystyle\frac{u_n+v_n}2. \end{array}\right.\] Pour $n\in\mathbb N$, on considère le vecteur $U_n=\begin{pmatrix}u_n\\v_n\\w_n\end{pmatrix}$. Quelle relation matricielle relie $U_{n+1}$, $U_n$ et $A$? En déduire l'expression de $U_n$ en fonction de $A^n$ et de $U_0$.
Démontrer que les trois suites $(u_n)$, $(v_n)$ et $(w_n)$ convergent, et en déduire leur limite.

Corrigé

Exercice 6 - Matrices et suites ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Enoncé

Soient $(a_n)$, $(b_n)$ et $(c_n)$ trois suites réelles telles que $a_0=1$, $b_0=2$, $c_0=7$, et vérifiant les relations de récurrence : $$ \left\{ \begin{array}{rcccc} a_{n+1}&=&3a_n+&b_n&\\ b_{n+1}&=&&3b_n+&c_n\\ c_{n+1}&=&&&3c_n \end{array} \right.$$ On souhaite exprimer $a_n$, $b_n$, et $c_n$ uniquement en fonction de $n$.

On considère le vecteur colonne $X_n=\left(\begin{array}{c}a_n\\b_n\\c_n\end{array}\right)$. Trouver une matrice $A$ telle que $X_{n+1}=AX_n$. En déduire que $X_n=A^n X_0$.
Soit $N=\left(\begin{array}{ccc}0&1&0\\ 0&0&1\\ 0&0&0\end{array}\right)$. Calculer $N^2$, $N^3$, puis $N^p$ pour $p\geq 3$.
Montrer que : $$A^n=3^{n}I+3^{n-1}nN+3^{n-2}\frac{n(n-1)}{2}N^2.$$
En déduire $a_n$, $b_n$ et $c_n$ en fonction de $n$.

Indication

Corrigé

Exercice 7 - Modèle proie-prédateur ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Enoncé

Dans un étang se trouvent deux populations de poissons : des gardons et des brochets. Le brochet est un prédateur naturel du gardon. Sa population d'une année sur l'autre varie donc en fonction

du nombre de brochets déjà présents dans l'étang (reproduction)
du nombre de gardons déjà présents dans l'étang (proies).

De la même façon, la population du gardon évolue en fonction

du nombre de gardons déjà présents dans l'étang (reproduction)
du nombre de brochets déjà présents dans l'étang (prédateurs).

Au premier janvier 2021, on relève 1000 gardons et 100 brochets dans l'étang. Pour $n\in\mathbb N$, on note $g_n$, respectivement $b_n$, le nombre de gardons, resp. de brochets, au 1er janvier de l'année 2021+$n$.

Partie 1.
Après une étude, des biologistes ont déterminé que les suites $(g_n)$ et $(b_n)$ vérifient les relations de récurrence croisées suivantes : $$ \left\{ \begin{array}{ccccccccc} g_{n+1}&=&1,\!1 g_n&-&0,\!2b_n\\ b_{n+1}&=&0,\!4 g_n&+&0,\!5 b_n. \end{array}\right.$$ Pour tout $n\in\mathbb N$, on note $U_n$ le vecteur $U_n=\begin{pmatrix} g_n\\b_n\end{pmatrix}$ et on note $A$ la matrice $A=\begin{pmatrix} 1,\!1 & -0,\!2\\ 0,\!4&0,\!5 \end{pmatrix}.$
1. Soit $n\in\mathbb N$. Quelle relation lie $U_n,\ U_{n+1}$ et $A$? En déduire une relation entre $U_n$, $A$ et $U_0$.
2. Soit $P$ la matrice $P=\begin{pmatrix} 1&1\\1&2\end{pmatrix}$. Justifier que $P$ est inversible et calculer $P^{-1}$.
3. On pose $D=P^{-1}AP$. Calculer $D$.
4. Calculer $D^n$ pour tout $n\geq 1$.
5. Démontrer que, pour tout $n\geq 1$, $A^n=PD^n P^{-1}$.
6. En déduire l'expression de $g_n$ et de $b_n$ pour tout $n\in\mathbb N$. Quelle est la limite des deux suites $(g_n)$ et $(b_n)$? Quelle interprétation en faites-vous?
Partie 2.
Pour enrayer l'extinction des espèces, on décide de relâcher chaque année 30 gardons dans l'étang. Dans cette deuxième modélisation, les deux suites $(g_n)$ et $(b_n)$ vérifient donc maintenant les relations $$ \left\{ \begin{array}{ccccccccc} g_{n+1}&=&1,\!1 g_n&-&0,\!2b_n&+&30\\ b_{n+1}&=&0,\!4 g_n&+&0,\!5 b_n. \end{array}\right.$$ de sorte que, en gardant les mêmes notations, on a $U_{n+1}=AU_n+B$ avec $B=\begin{pmatrix} 30 \\ 0\end{pmatrix}$.
1. Démontrer que la matrice $(A-I_2)$ est inversible et calculer son inverse.
2. On pose $C=(A-I_2)^{-1}B$. Calculer explicitement $C$.
3. Pour $n\in\mathbb N$, on pose $V_{n}=U_n+C$. Vérifier que $V_{n+1}=AV_n$.
4. Exprimer $V_n$ en fonction de $A^n$ et $V_0$. On note $(x_n)$ et $(y_n)$ les deux suites telles que $V_n=\begin{pmatrix}x_n\\y_n\end{pmatrix}$. Déterminer les limites des deux suites $(x_n)$ et $(y_n)$.
5. Quelles sont les limites des suites $(g_n)$ et $(b_n)$ dans ce cas? Interpréter...

Cet exercice est inspiré de travaux réels réalisées à la fin du XIXè siècle par deux spécialistes de la dynamique des populations : l'italien Vito Volterra et de l'américain James Lotka.

Corrigé

1. On a $U_{n+1}=AU_n$. Par une récurrence immédiate, on déduit que $U_n=A^n U_0$.
2. Par un calcul facile, on vérifie que $P$ est inversible et que $P^{-1}=\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 1\end{pmatrix}$.
3. On a $D=\begin{pmatrix} 0,\!9 & 0 \\ 0 & 0,\!7 \end{pmatrix}$.
4. Par récurrence, ou parce qu'on connait la formule pour les puissances de matrices diagonales, on obtient \[ D^n=\begin{pmatrix} 0,\!9^n & 0 \\ 0 & 0,\!7^n \end{pmatrix}. \]
5. On part de la relation $D=P^{-1}AP$. En multipliant à gauche par $P$, et à droite par $P^{-1},$ on trouve que $A=PDP^{-1}$. On démontre alors la relation par récurrence. Pour $n\geq 1,$ notons $\mathcal P(n)$ la propriété $A^n=PD^nP^{-1}$. Alors
  - Initialisation : la propriété est vraie pour $n=1.$
  - Hérédité : Soit $n\geq 1$ tel que $\mathcal P_n$ est vraie. Alors on a $$A^{n+1}=A^n\cdot A=PD^n P^{-1}APD^{-1}=PD^n DP^{-1}=PD^{n+1}P^{-1}.$$ Ainsi, $\mathcal P(n+1)$ est vraie.
  Par le principe de récurrence, la propriété est vraie pour tout $n\geq 1.$
6. Par un calcul facile, on trouve \[ A^n=\begin{pmatrix} 2\cdot 0,\!9^n-0,\!7^n & -0,\!9^n +0,\!7^n\\ 2\cdot 0,\!9^n -2\cdot 0,\!7^n & -0,\!9^n +2\cdot 0,\!7^n \end{pmatrix}.\] On en déduit que \[ \left\{ \begin{array}{rcl} g_n&=&(2\cdot 0,\!9^n-0,\!7^n)\times 1000 +( -0,\!9^n +0,\!7^n)\times 100\\ b_n&=&( 2\cdot 0,\!9^n -2\cdot 0,\!7^n)\times 1000 + (- 0,\!9^n +2\cdot 0,\!7^n)\times 100. \end{array} \right. \] Puisque les suites $(0,\!9^n)$ et $(0,\!7^n)$ tendent vers $0$, on en déduit que les suites $(g_n)$ et $(b_n)$ tendent toutes deux vers $0$. Les espèces vont s'éteindre!
1. Par un calcul facile, on vérifie que $A-I_2$ est inversible et que \[ (A-I_2)^{-1}=\begin{pmatrix} -\frac{50}3& \frac{20}3\\ -\frac{40}3& \frac{10}3\end{pmatrix}. \]
2. On obtient $C=\begin{pmatrix} -500\\-400\end{pmatrix}$.
3. Il suffit de faire le calcul! Par exemple, la première ligne de $V_{n+1}$ est \[ g_{n+1}-500=1,\!1 g_n -0,\!2b_n-470 \] et la première ligne de $AV_n$ est \[ 1,\!1 g_n-1,\!1\cdot 500-0,\!2b_n+0,\!2\cdot 400=1,\!1 g_n -0,\!2b_n-470. \]
4. Comme dans la partie 1, on a $V_n=A^n V_0$ et les suites $(x_n)$ et $(y_n)$ tendent vers $0$.
5. Puisque $g_n=x_n+500$, la suite $(g_n)$ tend vers $500$. De même, la suite $(b_n)$ tend vers $400$. Il suffit donc d'introduire 30 gardons chaque année pour arriver à des populations d'équilibre de $500$ gardons et $400$ brochets, ce qui est surprenant!

Exercice 8 - Matrice et systèmes linéaires ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Enoncé

Soit $I=[a,b]$ un intervalle, $\theta_1,\ \theta_2,\ \theta_3$ trois fonctions continues sur $I$, à valeurs réelles, et pour lesquelles on peut trouver des coefficients réels $a_1,\ a_2,\ a_3$ non tous nuls tels que la fonction $$\theta=a_1\theta_1+a_2\theta_2+a_3\theta_3$$ admette au moins trois racines distinctes $x_1,\ x_2,\ x_3$. Prouver qu'il existe des réels $\lambda_1,\ \lambda_2,\ \lambda_3$ non tous nuls tels que : $$\lambda_1\theta_k(x_1)+\lambda_2\theta_k(x_2)+\lambda_3\theta_k(x_3)=0,$$ pour $k=1,2$ ou 3.

Indication

Corrigé

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