Exercices corrigés - Matrices - Inverses de matrices
Calculs abstraits
Exercice 1 - Calcul algébrique avec des inverses [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $A,B \in M_{n}(\mathbb{R})$, supposées inversibles. Simplifier au maximum les expressions suivantes :
- $\displaystyle (2I_{n} + B^{-1})B + A(B-A^{-1}+2A^{-1}B) - AB$
- $\displaystyle A(7I_{n} + A^{-1}) - B(5B^{-1}A + B^{-1} + A) + A(B-2I_{n})$
Enoncé
Soit $n\geq 1$ et $A\in\mathcal M_n(\mathbb R)$ tel que $A^2=0.$
- Démontrer que $A$ n'est pas inversible.
- Démontrer que $I_n+A$ est inversible.
Inverse de petites matrices
Enoncé
On considère les matrices $A=\left(\begin{array}{ccc}
1&0&0\\
0&1&1\\
3&1&1\end{array}\right)$, $B=\left(\begin{array}{ccc}
1&1&1\\
0&1&0\\
1&0&0\end{array}\right)$ et $C=\left(\begin{array}{ccc}
1&1&1\\
1&2&1\\
0&-1&-1\end{array}\right)$. Calculer $AB$, $AC$. Que constate-t-on? La matrice $A$ peut-elle être inversible?
Trouver toutes les matrices $F\in\mathcal M_3(\mathbb R)$ telles que $AF=0$ (où $0$ désigne la matrice nulle).
Exercice 4 - Inverser une matrice à partir d'une égalité [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
- Soit $\dis A=\left( \begin{array}{ccc} -1&1&1\\ 1&-1&1\\ 1&1&-1 \end{array}\right)$. Montrer que $A^2=2I_3-A$, en déduire que $A$ est inversible et calculer $A^{-1}$.
- Soit $ A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \cr 0 & -1 & 1 \cr 1 & -2 & 0 \cr \end{pmatrix} .$ Calculer $ A^3-A .$ En déduire que $ A $ est inversible puis déterminer $ A^{-1} .$
- Soit $A=\begin{pmatrix} 0&1&-1\\ -1&2&-1\\ 1&-1&2 \end{pmatrix}$. Calculer $A^2-3A+2I_3$. En déduire que $A$ est inversible, et calculer $A^{-1}$.
Enoncé
Dire si les matrices suivantes sont inversibles et, le
cas échéant, calculer leur inverse :
$$A=\left(
\begin{array}{rcl}
1&1&2\\
1&2&1\\
2&1&1
\end{array}
\right),\quad
B=\left(
\begin{array}{rcl}
0&1&2\\
1&1&2\\
0&2&3
\end{array}
\right),\quad
C=\left(
\begin{array}{rcl}
1&4&7\\
2&5&8\\
3&6&9
\end{array}\right),\quad
I=\left(
\begin{array}{rcl}
i&-1&2i\\
2&0&2\\
-1&0&1
\end{array}\right).$$
Enoncé
Pour tout couple $(a,b)$ de $\mathbb R^2$, on pose $A(a,b)=\begin{pmatrix}a&0&-b\\0&1&0\\b&0&a\end{pmatrix}\in M_{3,3}(\mathbb R)$.
- Soit $c \in \mathbb{R}$. Calculer $A(ac,-bc)A(a,b)$.
- Pour quels couples $(a,b)$ la matrice $A$ est-elle inversible? Si elle l'est, donner son inverse.
Enoncé
Pour quelles valeurs du paramètre $m$ la matrice $A=\begin{pmatrix} 1&1&m\\1&m&1\\m&1&1 \end{pmatrix}$ admet-elle un inverse? On ne demande pas de calculer l'inverse.
Enoncé
Pour quelles valeurs du paramètre $t$ la matrice suivante est-elle inversible? Dans ce cas, déterminer son inverse.
$$A=\left(
\begin{array}{rcl}
1&0&t\\
2&1&0\\
0&1&1
\end{array}\right)
$$
Inverse de grandes matrices
Enoncé
Démontrer que la matrice suivante est inversible, et calculer son inverse.
$$A=\left(
\begin{array}{cccc}
1&1&\dots&1\\
0&1&1&\dots\\
\vdots&\ddots&\ddots&\vdots\\
0&\dots&\dots&1
\end{array}
\right).$$
Enoncé
Soit $A\in\mathcal M_n(\mathbb R)$ une matrice nilpotente, c'est-à-dire qu'il existe $p\geq 1$ tel que $A^p=0$. Démontrer que la matrice $I_n-A$ est inversible, et déterminer son inverse.
Enoncé
Pour $n\geq 1$, on note $\mathcal D$ l'ensemble des matrices $A$ de $\mathcal M_n(\mathbb R)$ telles que $a_{i,j}\geq 0$ pour tout $i,j$ et
$$\sum_{j=1}^n a_{i,j}=1$$
pour tout $i=1,\dots,n$.
- Démontrer que $\mathcal D$ est stable par produit.
- Déterminer les matrices $A$ de $\mathcal D$ qui sont inversibles et telles que $A^{-1}\in\mathcal D$.
Application à la résolution de systèmes linéaires
Enoncé
- Soit $M=\begin{pmatrix} 1&0&-1\\ -2&3&4\\ 0&1&1\end{pmatrix}$. Démontrer que $M$ est inversible et calculer $M^{-1}$.
- En déduire les solutions du système $$\left\{ \begin{array}{rcl} x-z&=&m\\ -2x+3y+4z&=&1\\ y+z&=&2m \end{array}\right.$$