$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Exercices corrigés - Matrices - Inverses de matrices

Calculs abstraits
Exercice 1 - Calcul algébrique avec des inverses [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $A,B \in M_{n}(\mathbb{R})$, supposées inversibles. Simplifier au maximum les expressions suivantes :
  1. $\displaystyle (2I_{n} + B^{-1})B + A(B-A^{-1}+2A^{-1}B) - AB$
  2. $\displaystyle A(7I_{n} + A^{-1}) - B(5B^{-1}A + B^{-1} + A) + A(B-2I_{n})$
Indication
Corrigé
Exercice 2 - Matrice dont le carré est nul [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $n\geq 1$ et $A\in\mathcal M_n(\mathbb R)$ tel que $A^2=0.$
  1. Démontrer que $A$ n'est pas inversible.
  2. Démontrer que $I_n+A$ est inversible.
Indication
Corrigé
Inverse de petites matrices
Enoncé
On considère les matrices $A=\left(\begin{array}{ccc} 1&0&0\\ 0&1&1\\ 3&1&1\end{array}\right)$, $B=\left(\begin{array}{ccc} 1&1&1\\ 0&1&0\\ 1&0&0\end{array}\right)$ et $C=\left(\begin{array}{ccc} 1&1&1\\ 1&2&1\\ 0&-1&-1\end{array}\right)$. Calculer $AB$, $AC$. Que constate-t-on? La matrice $A$ peut-elle être inversible? Trouver toutes les matrices $F\in\mathcal M_3(\mathbb R)$ telles que $AF=0$ (où $0$ désigne la matrice nulle).
Indication
Corrigé
Exercice 4 - Inverser une matrice à partir d'une égalité [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
  1. Soit $\dis A=\left( \begin{array}{ccc} -1&1&1\\ 1&-1&1\\ 1&1&-1 \end{array}\right)$. Montrer que $A^2=2I_3-A$, en déduire que $A$ est inversible et calculer $A^{-1}$.
  2. Soit $ A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \cr 0 & -1 & 1 \cr 1 & -2 & 0 \cr \end{pmatrix} .$ Calculer $ A^3-A .$ En déduire que $ A $ est inversible puis déterminer $ A^{-1} .$
  3. Soit $A=\begin{pmatrix} 0&1&-1\\ -1&2&-1\\ 1&-1&2 \end{pmatrix}$. Calculer $A^2-3A+2I_3$. En déduire que $A$ est inversible, et calculer $A^{-1}$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Dire si les matrices suivantes sont inversibles et, le cas échéant, calculer leur inverse : $$A=\left( \begin{array}{rcl} 1&1&2\\ 1&2&1\\ 2&1&1 \end{array} \right),\quad B=\left( \begin{array}{rcl} 0&1&2\\ 1&1&2\\ 0&2&3 \end{array} \right),\quad C=\left( \begin{array}{rcl} 1&4&7\\ 2&5&8\\ 3&6&9 \end{array}\right),\quad I=\left( \begin{array}{rcl} i&-1&2i\\ 2&0&2\\ -1&0&1 \end{array}\right).$$
Indication
Corrigé
Exercice 6 - Une famille de matrices [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Pour tout couple $(a,b)$ de $\mathbb R^2$, on pose $A(a,b)=\begin{pmatrix}a&0&-b\\0&1&0\\b&0&a\end{pmatrix}\in M_{3,3}(\mathbb R)$.
  1. Soit $c \in \mathbb{R}$. Calculer $A(ac,-bc)A(a,b)$.
  2. Pour quels couples $(a,b)$ la matrice $A$ est-elle inversible? Si elle l'est, donner son inverse.
Indication
Corrigé
Enoncé
Pour quelles valeurs du paramètre $m$ la matrice $A=\begin{pmatrix} 1&1&m\\1&m&1\\m&1&1 \end{pmatrix}$ admet-elle un inverse? On ne demande pas de calculer l'inverse.
Indication
Corrigé
Enoncé
Pour quelles valeurs du paramètre $t$ la matrice suivante est-elle inversible? Dans ce cas, déterminer son inverse. $$A=\left( \begin{array}{rcl} 1&0&t\\ 2&1&0\\ 0&1&1 \end{array}\right) $$
Indication
Corrigé
Inverse de grandes matrices
Enoncé
Démontrer que la matrice suivante est inversible, et calculer son inverse. $$A=\left( \begin{array}{cccc} 1&1&\dots&1\\ 0&1&1&\dots\\ \vdots&\ddots&\ddots&\vdots\\ 0&\dots&\dots&1 \end{array} \right).$$
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $A\in\mathcal M_n(\mathbb R)$ une matrice nilpotente, c'est-à-dire qu'il existe $p\geq 1$ tel que $A^p=0$. Démontrer que la matrice $I_n-A$ est inversible, et déterminer son inverse.
Indication
Corrigé
Exercice 11 - Matrices stochastiques [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Pour $n\geq 1$, on note $\mathcal D$ l'ensemble des matrices $A$ de $\mathcal M_n(\mathbb R)$ telles que $a_{i,j}\geq 0$ pour tout $i,j$ et $$\sum_{j=1}^n a_{i,j}=1$$ pour tout $i=1,\dots,n$.
  1. Démontrer que $\mathcal D$ est stable par produit.
  2. Déterminer les matrices $A$ de $\mathcal D$ qui sont inversibles et telles que $A^{-1}\in\mathcal D$.
Indication
Corrigé
Application à la résolution de systèmes linéaires
Exercice 12 - Inverse et résolution de système [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
  1. Soit $M=\begin{pmatrix} 1&0&-1\\ -2&3&4\\ 0&1&1\end{pmatrix}$. Démontrer que $M$ est inversible et calculer $M^{-1}$.
  2. En déduire les solutions du système $$\left\{ \begin{array}{rcl} x-z&=&m\\ -2x+3y+4z&=&1\\ y+z&=&2m \end{array}\right.$$
Indication
Corrigé