Exercices corrigés - Espaces vectoriels : combinaisons linéaires, familles libres, génératrices
Combinaisons linéaires
Enoncé
Les vecteurs $u$ suivants sont-ils combinaison linéaire des vecteurs $u_i$?
- $E=\mathbb R^2$, $u=(1,2)$, $u_1=(1,-2)$, $u_2=(2,3)$;
- $E=\mathbb R^2$, $u=(1,2)$, $u_1=(1,-2)$, $u_2=(2,3)$, $u_3=(-4,5)$;
- $E=\mathbb R^3$, $u=(2,5,3)$, $u_1=(1,3,2)$, $u_2=(1,-1,4)$;
- $E=\mathbb R^3$, $u=(3,1,m)$, $u_1=(1,3,2)$, $u_2=(1,-1,4)$ (discuter suivant la valeur de $m$).
Enoncé
Émile achète pour sa maman une bague contenant 2g d'or, 5g de cuivre et 4g d'argent. Il la paie 6200 euros.
Paulin achète pour sa maman une bague contenant 3g d'or, 5g de cuivre et 1g d'argent. Il la paie 5300 euros.
Frédéric achète pour sa chérie une bague contenant 5g d'or, 12g de cuivre et 9g d'argent. Combien va-t-il la payer?
Paulin achète pour sa maman une bague contenant 3g d'or, 5g de cuivre et 1g d'argent. Il la paie 5300 euros.
Frédéric achète pour sa chérie une bague contenant 5g d'or, 12g de cuivre et 9g d'argent. Combien va-t-il la payer?
Enoncé
- Dans l'espace vectoriel $\mathbb R[X]$, le polynôme $P(X)=16X^3-7X^2+21X-4$ est-il combinaison linéaire de $P_1(X)=8X^3-5X^2+1$ et $P_2(X)=X^2+7X-2$?
- Dans l'espace vectoriel $\mathcal F(\mathbb R,\mathbb R)$ des fonctions de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$, la fonction $x\mapsto \sin(2x)$ est-elle combinaison linéaire des fonctions $\sin$ et $\cos$?
Enoncé
Dans $E=\mathcal F(\mathbb R,\mathbb R)$ l'espace vectoriel des fonctions de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$, est-ce que la fonction $\arctan$ est combinaison linéaire de $e^{x^2}$, $e^{-x}$ et $\sin$?
Familles libres
Enoncé
Les familles suivantes sont-elles libres dans $\mathbb R^3$ (ou $\mathbb R^4$ pour la dernière famille)?
- $(u,v)$ avec $u=(1,2,3)$ et $v=(-1,4,6)$;
- $(u,v,w)$ avec $u=(1,2,-1)$, $v=(1,0,1)$ et $w=(0,0,1)$;
- $(u,v,w)$ avec $u=(1,2,-1)$, $v=(1,0,1)$ et $w=(-1,2,-3)$;
- $(u,v,w,z)$ avec $u=(1,2,3,4)$, $v=(5,6,7,8)$, $w=(9,10,11,12)$ et $z=(13,14,15,16)$.
Enoncé
On considère dans $\mathbb R^3$ les vecteurs
$v_1=(1,1,0)$, $v_2=(4,1,4)$ et $v_3=(2,-1,4)$.
- Montrer que la famille $(v_1,v_2)$ est libre. Faire de même pour $(v_1,v_3)$, puis pour $(v_2,v_3)$.
- La famille $(v_1,v_2,v_3)$ est-elle libre?
Enoncé
On considère dans $\mathbb R^3$ les vecteurs
$$v_1=(1,-1,1),\ v_2=(2,-2,2),\ v_3=(2,-1,2).$$
- Peut-on trouver un vecteur $w$ tel que $(v_1,v_2,w)$ soit libre? Si oui, construisez-en un.
- Même question en remplaçant $v_2$ par $v_3$.
Enoncé
Soit $(P_1,\dots,P_n)$ une famille de polynômes de $\mathbb C[X]$ non nuls, à degrés échelonnés, c'est-à-dire
$\deg(P_1)<\deg(P_2)<\dots<\deg(P_n)$. Montrer que $(P_1,\dots,P_n)$ est une famille libre.
Enoncé
Soit $E=\mathcal F(\mathbb R,\mathbb R)$ l'espace vectoriel des fonctions de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$. Étudier l'indépendance linéaire des familles suivantes :
- $(\sin x,\cos x)$;
- $(\sin 2x,\sin x,\cos x)$;
- $(\cos 2x,\sin^2 x,\cos^2 x)$;
- $(x,e^x,\sin(x))$.
Enoncé
Démontrer que les familles suivantes sont libres dans $\mathcal F(\mathbb R,\mathbb R)$:
- $(x\mapsto e^{ax})_{a\in\mathbb R}$;
- $(x\mapsto |x-a|)_{a\in\mathbb R}$;
- $(x\mapsto \cos(ax))_{a>0}$;
- $(x\mapsto (\sin x)^n)_{n\geq 1}$.
Enoncé
Dans $\mathbb R^n$, on considère une famille de 4 vecteurs libres $(e_1,e_2,e_3,e_4)$. Les familles suivantes sont-elles libres?
- $(e_1,2e_2,e_3)$;
- $(e_1,e_3)$;
- $(e_1,2e_1+e_4,e_3+e_4)$;
- $(2e_1+e_2,e_1-2e_2,e_4,7e_1-4e_2)$.
Enoncé
Soit $E$ un espace vectoriel et $u_1,\dots,u_n\in E$. Pour $k=1,\dots,n$, on pose $v_k=u_1+\cdots+u_k$. Démontrer que la famille $(u_1,\dots,u_n)$ est libre si et seulement si la famille $(v_1,\dots,v_n)$ est libre.
Enoncé
Soit $(v_1,\dots,v_n)$ une famille libre d'un $\mathbb R$-espace vectoriel $E$.
Pour $k=1,\dots,n-1$, on pose $w_k=v_k+v_{k+1}$ et $w_n=v_n+v_1$. Etudier
l'indépendance linéaire de la famille $(w_1,\dots,w_n)$.