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Exercices corrigés - Espaces préhilbertiens complexes, espaces hermitiens

Exercice 1 - Polynômes sur le cercle unité [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On définit une application $\phi:\mathbb C[X]\to\mathbb C[X]$ par $$\phi(P,Q)=\frac 1{2\pi}\int_0^{2\pi}\overline{P(e^{i\theta})}Q(e^{i\theta})d\theta.$$
  1. Démontrer que $\phi$ définit un produit scalaire hermitien sur $\mathbb C[X]$.
  2. Démontrer que la famille $(X^k)_{k\in\mathbb N}$ est une base orthonormée pour le produit scalaire précédent.
  3. Soit $Q=X^n+a_{n-1}X^{n-1}+\dots+a_0$. Calculer $\|Q\|^2$.
  4. On pose $M=\sup_{|z|=1}|Q(z)|$. Démontrer que $M\geq 1$ et étudier les cas d'égalité.
Indication
Corrigé
Exercice 2 - Image orthogonale au vecteur [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un espace préhilbertien complexe et soit $u\in\mathcal L(E)$ tel que, pour tout $x\in E$, $\langle u(x),x\rangle=0$. Démontrer que $u=0$. Le résultat subsiste-t-il si $E$ est un espace préhilbertien réel?
Indication
Corrigé