Exercices corrigés - Espaces préhilbertiens, familles totales

Remarquons que, pour tout $g\in\mathcal C([0,1])$, on a $$\|g\|_2=\left(\int_0^1|g(t)|^2dt\right)^{1/2}\leq \|g\|_\infty.$$ Prenons maintenant $f\in\mathcal C([0,1])$ et $\veps>0$. D'après le théorème de Weierstrass, il existe un polynôme $P$ tel que $\|f-P\|_\infty\leq\veps$. On en déduit que $\|f-P\|\leq \veps$ ce qui prouve bien que la famille $(X^n)_{n\geq 0}$ est totale.

Pour $N\geq 1$, notons $p_N$ la projection orthogonale sur l'espace vectoriel $\textrm{vect}(e_1,\dots,e_N)$. Alors puisque la famille $(e_n)_{n\geq 1}$ est totale, on sait que $\|x-p_N(x)\|\to 0$ lorsque $N\to+\infty$. Mais par le théorème de Pythagore, $$\|x\|^2=\|x-p_N(x)\|^2+\|p_N(x)\|^2=\|x-p_N(x)\|^2+\sum_{n=1}^N \langle x,e_n\rangle^2.$$ Faisant tendre $N$ vers $+\infty$, on trouve bien le résultat demandé.